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1.2. Paralelogramo en cuadrilátero

De Laplace

1 Enunciado

Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.

2 Solución

Sea O el origen de coordenadas. En ese caso los vectores de posición de los vértices son \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC} y \overrightarrow{OD}. Las posiciones de los puntos medios E, F, G y H se encuentran en

\overrightarrow{OE}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}        \overrightarrow{OF}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}        \overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}{2}        \overrightarrow{OH}=\frac{\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}}{2}

Para demostrar que estos cuatro puntos forman un paralelogramo, debemos probar que sus lados son paralelos dos a dos. El vector que une E y F es

\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}=\frac{\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}}{2}

El vector que une H y G se calcula de la misma forma

\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}=\frac{\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}}{2}=\overrightarrow{EF}

Resulta un vector idéntico al anterior y por tanto el vector ligado \overrightarrow{HG} es paralelo al \overrightarrow{EF}.

Operando del mismo modo se demuestra que \overrightarrow{FG} y \overrightarrow{EH} son también paralelos e iguales.

Por tanto, el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo, esto es, una figura plana con lados paralelos dos a dos.

Nótese que no se hace ninguna restricción sobre el cuadrilátero ABCD. Ni siquiera se exige que sea una figura plana. Puede ser una estructura articulada tridimensional y aun así, los puntos medios yacen en el mismo plano y forman un paralelogramo.

Archivo:paralelogramo-en-cuadrilatero.png

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