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1.6. Teoremas del seno y del coseno

De Laplace

1 Enunciado

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,cos(\gamma)

y del seno

\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}

en un triángulo de lados a, b y c, y ángulos opuestos α, β y γ.

2 Teorema del coseno

Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados, se verifica la ecuación vectorial

\vec{a}= \vec{b} + \vec{c}

o, equivalentemente

\vec{a}- \vec{b} = \vec{c}

Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma

(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{c}\cdot\vec{c}=c^2

Desarrollando el producto escalar

\vec{a}\cdot\vec{a}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=c^2

El ángulo que forman los vectores \vec{a} y \vec{b} es γ por lo que finalmente obtenemos

a^2 -2ab\,\cos\gamma + b^2 = c^2

que es el teorema del coseno.

Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos.

3 Teorema del seno

El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo y por tanto

A = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{b}\times\vec{c}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{c}\right|

Desarrollando los módulos de los productos vectoriales

A = \frac{ab\,\mathrm{sen}\,\gamma}{2}=\frac{bc\,\mathrm{sen}\,\alpha}{2}=\frac{ac\,\mathrm{sen}\,\beta}{2}

Dividiendo por el producto abc y multiplicando por 2 nos queda

\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}=\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}

que es el teorema del seno.

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