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Ejemplos de movimiento rectílineo

2025-09-25T07:37:04Z

Pedro: /* Caso 5 */

= Enunciado =
Una partícula se mueve sobre el eje <math>OX</math> según el movimiento dado por la siguientes expresiones. En todos los casos asumimos que el movimiento comienza en <math>t=0</math>.
#<math>x(t) = A\,t</math>.
#<math>x(t) = B\,(-1+t^2/T^2)</math>.
#<math>x(t) = C\,(1-t/T)(4-t^2/T^2)</math>.
#<math>x(t) = D\,\mathrm{sen}\,(2\pi t/T)</math>.
#<math>x(t) = D\,\left(1-e^{-t/T}\right)</math>.
Para cada caso, haz un dibujo aproximado de la gráfica que representa el movimiento. Determina en cada caso los instantes de tiempo en los que la partícula se encuentra en el origen, en la parte positiva y en la parte negativa del eje. Si <math>x</math> se mide en metros y <math>t</math> en segundos, determina las unidades de las constantes que aparecen en las expresiones.

= Solución =

== Caso 1 ==
<center>
<math>
x(t) = A\,t
</math>
</center>

[[File:GIC_p02_01_01.png|right]]

Las unidades de <math>A</math> deben ser las adecuadas para hacer coherente
dimensionalmente la expresión de <math>x(t)</math>. Como <math>x</math> se mide
ne metros y <math>t</math> en segundos tenemos
<center>
<math>
[A] = m/s
</math>
</center>

Esta curva es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente
<math>A</math>. Para que el punto esté en el origen debe ocurrir
<center>
<math>
x(t) = At = 0 \Longrightarrow t=0
</math>
</center>
Sólo está en el origen en el instante inicial. El resto del tiempo la coordenada
<math>x</math> es positiva.

La velocidad es
<center>
<math>
v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = A.
</math>
</center>
La partícula no se para nunca, pues <math>v(t)</math> nunca es cero.

La aceleración es
<center>
<math>
a(t) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0.
</math>
</center>

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = v\,\mathrm{d}t = A\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
El diferencial de velocidad es
<center>
<math>
\mathrm{d}v = a\,\mathrm{d}t = 0.
</math>
</center>
La velocidad no cambia nunca.

== Caso 2 ==
<center><math>x(t) = B\,(-1+t^2/T^2)</math></center>

Las unidades de las constantes son
<center>
<math>
[B]=m, \qquad \qquad [T]=s
</math>
</center>

Esta curva es una parábola pues es una función cuadrática en <math>t</math>.
Vamos a examinarla para poder bosquejar la gráfica
* En <math>t=0</math> tenemos <math>x(0)=-B</math>.

* Veamos para que instante se halla la partícula en el origen
<center>
<math>
x(t) = 0 \Longrightarrow t=\pm T \Longrightarrow t = T
</math>
</center>
Escogemos el valor positivo pues el movimiento ocurre en <math>t\geq 0</math>.
Tenemos
<center>
<math>
t<T \to x(t)<0, \qquad\qquad t>T\to x(t)>0
</math>
</center>
[[File:GIC_p02_01_02.png|right]]
*Buscamos los máximos y mínimos. La derivada se anula en
<center>
<math>
x'(t) = \dfrac{2B}{T^2}t=0 \Longrightarrow t=0
</math>
</center>
Es un mínimo pues
<center>
<math>
\left.x''(t)\right|_{t=0} = \dfrac{2B}{T} >0
</math>
</center>

La velocidad es
<center>
<math>
v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 2B\dfrac{t}{T^2}.
</math>
</center>
La velocidad sólo es cero en el instante inicial <math>t=0</math>.

La aceleración es
<center>
<math>
a(t) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \dfrac{2B}{T^2}.
</math>
</center>
La aceleración es constante y nunca se anula.

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = v\,\mathrm{d}t = 2B\dfrac{t}{T^2}\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
El de velocidad es
<center>
<math>
\mathrm{d}v = a\,\mathrm{d}t = \dfrac{2B}{T^2}\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
Este movimiento es rectilíneo y uniformemente acelerado. La gráfica muestra las curvas correspondientes a la posición (una parábola), la velocidad (una línea recta) y la aceleración (una constante).

== Caso 3 ==

<center>
<math>
x(t) = C(1-t/T)(4-t^2/T^2)
</math>
</center>

Las unidades de las constantes son
<center>
<math>
[C]=m, \qquad \qquad [T]=s
</math>
</center>

Esta curva es un polinomio de grado 3.
Vamos a examinarla para poder bosquejar la gráfica
* En <math>t=0</math> tenemos <math>x(0)=4C</math>.

* Veamos para que instante se halla la partícula en el origen
<center>
<math>
x(t) = 0 \Longrightarrow t=\pm T, \pm 2T \Longrightarrow t = T, 2T
</math>
</center>
Escogemos los valores positivos pues el movimiento ocurre en <math>t\geq 0</math>.
Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
t<T \to x(t)>0 \\
T<t<2T\to x(t)<0\\
t>2T \to x(t)>0
\end{array}
</math>
</center>
*Buscamos los máximos y mínimos para <math>t\geq0</math>. La derivada se anula en
<center>
<math>
x'(t) = \dfrac{C}{T^3}(3t^2-2tT-4T^2) =0 \Longrightarrow t=1.54T
</math>
</center>
Es un mínimo pues
<center>
<math>
\left.x''(t)\right|_{t=1.54T} =\left. \dfrac{A}{T^3}(6t-2T)\right|_{t=1.54T} =
7.21\dfrac{A}{T^3}>0
</math>
</center>

[[File:GIC_p02_01_03.png|right|450px]]
La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de <math>x(t)</math>
<center>
<math>
v(t) = x'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) =
\dfrac{C}{T^3}(3t^2-2tT-4T^2)
</math>
</center>
La partícula está en reposo cuando su derivada es cero
<center>
<math>
v(t)==0 \Longrightarrow
t = 1.54T.
</math>
</center>
De las dos soluciones hemos escogido la que corresponde al intervalo <math>t\geq0</math>.

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo
<center>
<math>
a(t) = v'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) =
\dfrac{C}{T^3}(6t-2T)
</math>
</center>
La aceleración es nula para
<center>
<math>
a(t)==0 \Longrightarrow t = 0.33T.
</math>
</center>
La figura de la derecha muestra las curvas correspondientes a <math>x(t)</math>, <math>v(t)</math> y <math>a(t)</math>.

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
v(t)\,\mathrm{d}x =
\dfrac{C}{T^3}(3t^2-2tT-4T^2)\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
Y el de velocidad
<center>
<math>
\mathrm{d}v = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
a(t)\,\mathrm{d}x =
\dfrac{C}{T^3}(6t-2T)\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>

== Caso 4 ==
<center><math>x(t) = D\,\mathrm{sen}\,(2\pi t/T)</math></center>
Esto es una sinusoide de período <math>T</math>.
El argumento de las funciones trigonómetricas debe ser adimensional. Entonces
las unidades de las constantes son
<center>
<math>
[D] = m, \qquad [T]=s
</math>
</center>

Buscamos los instantes en que
la partícula está en el origen
<center>
<math>
\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)=0
\to
\dfrac{2\pi}{T}t = n\pi\quad (n=0,1,2,\ldots)
\to
t_n = n\dfrac{T}{2}\quad (n=0,1,2,\ldots)
</math>
</center>
[[File:GIC_p02_01_04.png|right|450px]]
La posición empieza siendo positiva en el primer intervalo y luego cambia de
signo a cada intervalo de tiempo <math>T/2</math>.

La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de <math>x(t)</math>
<center>
<math>
v(t) = x'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) =
\dfrac{2\pi A}{T}\cos\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)
</math>
</center>
La partícula está en reposo cuando <math>v(t)=0</math>, es decir
<center>
<math>
\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)=0
\to
\dfrac{2\pi}{T}t = \left(n+\dfrac{1}{2}\right)\pi\quad (n=0,1,2,\ldots)
\to
t_n = \left(n+\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{T}{2}\quad (n=0,1,2,\ldots)
</math>
</center>
La aceleración es la derivada respecto al tiempo de la velocidad
<center>
<math>
a(t) = v'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) =
-\dfrac{4\pi^2 A}{T^2}\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)
</math>
</center>
Se anula en los mismos instantes de tiempo que la posición, como se puede ver en la gráfica.

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = v\,\mathrm{d}t =
\dfrac{2\pi A}{T}\cos\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
Y el de velocidad
<center>
<math>
\mathrm{d}v = a\,\mathrm{d}t =
-\dfrac{4\pi^2 A}{T^2}\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)
\mathrm{d}t.
</math>
</center>

== Caso 5 ==
<center><math>x(t) = D\,\left(1-e^{-t/T}\right)</math></center>
Esta curva involucra una exponencial.
El argumento de exponenciales y logaritmos debe ser adimensional. Entonces
las unidades de las constantes son
<center>
<math>
[D] = m, \qquad [T]=s
</math>
</center>

*Veamos cuando está la partícula en el origen
<center>
<math>
x(t)=0 \to e^{-t/T}=1 \to t=0
</math>
</center>
Sólo está en el origen en el instante inicial.
*Veamos los máximos y mínimos
<center>
<math>
x'(t) = \dfrac{D}{T}\,e^{-t/T} = 0
</math>
</center>
Eso no ocurre nunca, es decir la curva no tiene máximos ni mínimos. Ademas, es
siempre creciente pues <math>x'(t)>0</math> en todo instante.

*Pero también está acotada. Cuando <math>t\to\infty</math>, se tiene
<math>e^{-t/T}\to0</math>. Entonces
<center>
<math>
x(t)\leq D \qquad \forall t
</math>
</center>

La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de <math>x(t)</math>
<center>
<math>
v(t) = x'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) =
\dfrac{D}{T}\,e^{-t/T}.
</math>
</center>
[[File:GIC_p02_01_05.png|right|450px]]
La partícula está en reposo cuando su derivada es cero.
<center>
<math>
v(t)=0 \Longrightarrow
t \to \infty
</math>
</center>

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo
<center>
<math>
a(t) = v'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) =
-\dfrac{D}{T^2}\,e^{-t/T}.
</math>
</center>
Es siempre negativa y sólo se anula en el infinito.

La figura de la derecha muestra las curvas correspondientes a <math>x(t)</math>, <math>v(t)</math> y <math>a(t)</math>.
Podemos ver de la figura que cuando <math>t=5T</math> el valor de <math>x</math>
es casi indistinguible del de la asíntota. La constante <math>T</math> da una
idea de cuando tarda la función en alcanzar el valor asintótico, es decir, nos
da la escala de tiempo típica del sistema.

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
v(t)\,\mathrm{d}x =
\dfrac{D}{T}e^{-t/T}\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
Y el de velocidad
<center>
<math>
\mathrm{d}v = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
a(t)\,\mathrm{d}x =
-\dfrac{D}{T^2}e^{-t/T}\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]

Ejemplos de movimiento rectílineo

2025-09-25T07:33:01Z

Pedro: /* Caso 5 */

= Enunciado =
Una partícula se mueve sobre el eje <math>OX</math> según el movimiento dado por la siguientes expresiones. En todos los casos asumimos que el movimiento comienza en <math>t=0</math>.
#<math>x(t) = A\,t</math>.
#<math>x(t) = B\,(-1+t^2/T^2)</math>.
#<math>x(t) = C\,(1-t/T)(4-t^2/T^2)</math>.
#<math>x(t) = D\,\mathrm{sen}\,(2\pi t/T)</math>.
#<math>x(t) = D\,\left(1-e^{-t/T}\right)</math>.
Para cada caso, haz un dibujo aproximado de la gráfica que representa el movimiento. Determina en cada caso los instantes de tiempo en los que la partícula se encuentra en el origen, en la parte positiva y en la parte negativa del eje. Si <math>x</math> se mide en metros y <math>t</math> en segundos, determina las unidades de las constantes que aparecen en las expresiones.

= Solución =

== Caso 1 ==
<center>
<math>
x(t) = A\,t
</math>
</center>

[[File:GIC_p02_01_01.png|right]]

Las unidades de <math>A</math> deben ser las adecuadas para hacer coherente
dimensionalmente la expresión de <math>x(t)</math>. Como <math>x</math> se mide
ne metros y <math>t</math> en segundos tenemos
<center>
<math>
[A] = m/s
</math>
</center>

Esta curva es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente
<math>A</math>. Para que el punto esté en el origen debe ocurrir
<center>
<math>
x(t) = At = 0 \Longrightarrow t=0
</math>
</center>
Sólo está en el origen en el instante inicial. El resto del tiempo la coordenada
<math>x</math> es positiva.

La velocidad es
<center>
<math>
v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = A.
</math>
</center>
La partícula no se para nunca, pues <math>v(t)</math> nunca es cero.

La aceleración es
<center>
<math>
a(t) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0.
</math>
</center>

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = v\,\mathrm{d}t = A\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
El diferencial de velocidad es
<center>
<math>
\mathrm{d}v = a\,\mathrm{d}t = 0.
</math>
</center>
La velocidad no cambia nunca.

== Caso 2 ==
<center><math>x(t) = B\,(-1+t^2/T^2)</math></center>

Las unidades de las constantes son
<center>
<math>
[B]=m, \qquad \qquad [T]=s
</math>
</center>

Esta curva es una parábola pues es una función cuadrática en <math>t</math>.
Vamos a examinarla para poder bosquejar la gráfica
* En <math>t=0</math> tenemos <math>x(0)=-B</math>.

* Veamos para que instante se halla la partícula en el origen
<center>
<math>
x(t) = 0 \Longrightarrow t=\pm T \Longrightarrow t = T
</math>
</center>
Escogemos el valor positivo pues el movimiento ocurre en <math>t\geq 0</math>.
Tenemos
<center>
<math>
t<T \to x(t)<0, \qquad\qquad t>T\to x(t)>0
</math>
</center>
[[File:GIC_p02_01_02.png|right]]
*Buscamos los máximos y mínimos. La derivada se anula en
<center>
<math>
x'(t) = \dfrac{2B}{T^2}t=0 \Longrightarrow t=0
</math>
</center>
Es un mínimo pues
<center>
<math>
\left.x''(t)\right|_{t=0} = \dfrac{2B}{T} >0
</math>
</center>

La velocidad es
<center>
<math>
v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 2B\dfrac{t}{T^2}.
</math>
</center>
La velocidad sólo es cero en el instante inicial <math>t=0</math>.

La aceleración es
<center>
<math>
a(t) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \dfrac{2B}{T^2}.
</math>
</center>
La aceleración es constante y nunca se anula.

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = v\,\mathrm{d}t = 2B\dfrac{t}{T^2}\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
El de velocidad es
<center>
<math>
\mathrm{d}v = a\,\mathrm{d}t = \dfrac{2B}{T^2}\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
Este movimiento es rectilíneo y uniformemente acelerado. La gráfica muestra las curvas correspondientes a la posición (una parábola), la velocidad (una línea recta) y la aceleración (una constante).

== Caso 3 ==

<center>
<math>
x(t) = C(1-t/T)(4-t^2/T^2)
</math>
</center>

Las unidades de las constantes son
<center>
<math>
[C]=m, \qquad \qquad [T]=s
</math>
</center>

Esta curva es un polinomio de grado 3.
Vamos a examinarla para poder bosquejar la gráfica
* En <math>t=0</math> tenemos <math>x(0)=4C</math>.

* Veamos para que instante se halla la partícula en el origen
<center>
<math>
x(t) = 0 \Longrightarrow t=\pm T, \pm 2T \Longrightarrow t = T, 2T
</math>
</center>
Escogemos los valores positivos pues el movimiento ocurre en <math>t\geq 0</math>.
Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
t<T \to x(t)>0 \\
T<t<2T\to x(t)<0\\
t>2T \to x(t)>0
\end{array}
</math>
</center>
*Buscamos los máximos y mínimos para <math>t\geq0</math>. La derivada se anula en
<center>
<math>
x'(t) = \dfrac{C}{T^3}(3t^2-2tT-4T^2) =0 \Longrightarrow t=1.54T
</math>
</center>
Es un mínimo pues
<center>
<math>
\left.x''(t)\right|_{t=1.54T} =\left. \dfrac{A}{T^3}(6t-2T)\right|_{t=1.54T} =
7.21\dfrac{A}{T^3}>0
</math>
</center>

[[File:GIC_p02_01_03.png|right|450px]]
La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de <math>x(t)</math>
<center>
<math>
v(t) = x'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) =
\dfrac{C}{T^3}(3t^2-2tT-4T^2)
</math>
</center>
La partícula está en reposo cuando su derivada es cero
<center>
<math>
v(t)==0 \Longrightarrow
t = 1.54T.
</math>
</center>
De las dos soluciones hemos escogido la que corresponde al intervalo <math>t\geq0</math>.

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo
<center>
<math>
a(t) = v'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) =
\dfrac{C}{T^3}(6t-2T)
</math>
</center>
La aceleración es nula para
<center>
<math>
a(t)==0 \Longrightarrow t = 0.33T.
</math>
</center>
La figura de la derecha muestra las curvas correspondientes a <math>x(t)</math>, <math>v(t)</math> y <math>a(t)</math>.

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
v(t)\,\mathrm{d}x =
\dfrac{C}{T^3}(3t^2-2tT-4T^2)\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
Y el de velocidad
<center>
<math>
\mathrm{d}v = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
a(t)\,\mathrm{d}x =
\dfrac{C}{T^3}(6t-2T)\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>

== Caso 4 ==
<center><math>x(t) = D\,\mathrm{sen}\,(2\pi t/T)</math></center>
Esto es una sinusoide de período <math>T</math>.
El argumento de las funciones trigonómetricas debe ser adimensional. Entonces
las unidades de las constantes son
<center>
<math>
[D] = m, \qquad [T]=s
</math>
</center>

Buscamos los instantes en que
la partícula está en el origen
<center>
<math>
\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)=0
\to
\dfrac{2\pi}{T}t = n\pi\quad (n=0,1,2,\ldots)
\to
t_n = n\dfrac{T}{2}\quad (n=0,1,2,\ldots)
</math>
</center>
[[File:GIC_p02_01_04.png|right|450px]]
La posición empieza siendo positiva en el primer intervalo y luego cambia de
signo a cada intervalo de tiempo <math>T/2</math>.

La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de <math>x(t)</math>
<center>
<math>
v(t) = x'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) =
\dfrac{2\pi A}{T}\cos\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)
</math>
</center>
La partícula está en reposo cuando <math>v(t)=0</math>, es decir
<center>
<math>
\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)=0
\to
\dfrac{2\pi}{T}t = \left(n+\dfrac{1}{2}\right)\pi\quad (n=0,1,2,\ldots)
\to
t_n = \left(n+\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{T}{2}\quad (n=0,1,2,\ldots)
</math>
</center>
La aceleración es la derivada respecto al tiempo de la velocidad
<center>
<math>
a(t) = v'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) =
-\dfrac{4\pi^2 A}{T^2}\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)
</math>
</center>
Se anula en los mismos instantes de tiempo que la posición, como se puede ver en la gráfica.

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = v\,\mathrm{d}t =
\dfrac{2\pi A}{T}\cos\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
Y el de velocidad
<center>
<math>
\mathrm{d}v = a\,\mathrm{d}t =
-\dfrac{4\pi^2 A}{T^2}\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)
\mathrm{d}t.
</math>
</center>

== Caso 5 ==
<center><math>x(t) = D\,\left(1-e^{-t/T}\right)</math></center>
Esta curva involucra una exponencial.
El argumento de exponenciales y logaritmos debe ser adimensional. Entonces
las unidades de las constantes son
<center>
<math>
[D] = m, \qquad [T]=s
</math>
</center>

*Veamos cuando está la partícula en el origen
<center>
<math>
x(t)=0 \to e^{-t/T}=1 \to t=0
</math>
</center>
Sólo está en el origen en el instante inicial.
*Veamos los máximos y mínimos
<center>
<math>
x'(t) = \dfrac{D}{T}\,e^{-t/T} = 0
</math>
</center>
Eso no ocurre nunca, es decir la curva no tiene máximos ni mínimos. Ademas, es
siempre creciente pues <math>x'(t)>0</math> en todo instante.

*Pero también está acotada. Cuando <math>t\to\infty</math>, se tiene
<math>e^{-t/T}\to0</math>. Entonces
<center>
<math>
x(t)\leq D \qquad \forall t
</math>
</center>

La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de <math>x(t)</math>
<center>
<math>
v(t) = x'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) =
\dfrac{D}{T}\,e^{-t/T}.
</math>
</center>
[[File:GIC_p02_01_05.png|right|450px]]
La partícula está en reposo cuando su derivada es cero.
<center>
<math>
v(t)=0 \Longrightarrow
t \to \infty
</math>
</center>

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo
<center>
<math>
a(t) = v'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) =
-\dfrac{D}{T^2}\,e^{-t/T}.
</math>
</center>
Es siempre negativa y sólo se anula en el infinito.

La figura de la derecha muestra las curvas correspondientes a <math>x(t)</math>, <math>v(t)</math> y <math>a(t)</math>.
Podemos ver de la figura que cuando <math>t=5T</math> el valor de <math>x</math>
es casi indistinguible del de la asíntota. La constante <math>T</math> da una
idea de cuando tarda la función en alcanzar el valor asintótico, es decir, nos
da la escala de tiempo típica del sistema.

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
v(t)\,\mathrm{d}x =
\dfrac{D}{T}e^{-t/T}\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
Y el de velocidad
<center>
<math>
\mathrm{d}v = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
a(t)\,\mathrm{d}x =
-\dfrac{D}{T^2}e^{-t/T}\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]

Coches frenando en una autopista

2025-09-19T10:48:45Z

Pedro: /* Solución */

= Enunciado =

Dos coches ruedan por un tramo recto de autopista con la misma velocidad <math>v_0</math> y separados por una distancia <math>d_0</math>. En un instante dado, el coche que va delante frena con aceleración uniforme de módulo <math>a_0</math> hasta quedar parado. El coche que va detrás tarda un tiempo <math>t_f</math> en empezar a frenar con la misma aceleración que el primero.
#Determina como cambia la distancia entre los coches con el tiempo.
#Si <math>t_f=0.30\,\mathrm{s}</math>, <math>v_0=120\,\mathrm{km/h}</math> y <math>a_0=1.50\,\mathrm{m/s^2}</math>, calcula el valor mínimo de <math>d_0</math> para que los coches no colisionen.

= Solución =

[[Imagen:F1GIC_cochesAutopistaEsquema.png|right]]
El esquema mostrado a la derecha resume la situación descrita en el problema. En el instante inicial los dos coches tienen la misma velocidad y están separados una distancia <math>d_0</math>. En ese instante el coche que va delante (representado por <math>P_2</math>) empieza a frenar con aceleración constante <math>a_0</math>. El coche que va detras (<math>P_1</math>) sigue moviéndose con velocidad constante hasta el instante <math>t=t_f</math>. A partir de ese instante empieza a frenar con la misma aceleración que el 2.

Escogemos como eje <math>X</math> la recta sobre la que se mueven los coches. Colocamos el origen en la posición del coche 1 en el instante incial. El coche 2 se mueve siempre con aceleración <math>-a_0</math>, su velocidad inicial es <math>v_0</math> y su posición inicial es <math>d_0</math>. Como realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se tiene
<center>
<math>
P_2 \to
\left\{
\begin{array}{l}
v_2 =
\left\{\begin{array}{ll}
v_0 - a_0 t& 0 \leq t \leq t_{2}\\
0 & t\geq t_2
\end{array}
\right.
\\
\\
x_2 =
\left\{
\begin{array}{ll}
d_0 + v_0t - \dfrac{1}{2}a_0 t^2 & 0 \leq t \leq t_2\\
d_0 + \dfrac{v_0^2}{2a_0} & t\geq t_2
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
</math>
</center>
El valor <math>t_2 = v_0/a_0</math> se determina igualando a cero la expresión de <math>v_2(t)</math> válida para <math>t<t_2</math>. El valor de <math>x_2</math> para <math>t>t_2</math> se calcula poniento <math>t=t_2</math> en la expresión de <math>x_2(t)</math> válida para <math>t<t_2</math>.

Para el coche 1 hay que considerar dos intervalos de tiempo, <math>0<t<t_f</math> y <math>t>t_f</math>. En el primero realiza un movimiento rectilíneo uniforme y en el segundo un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Tenemos
<center>
<math>
P_1 \to
\left\{
\begin{array}{l}
v_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
v_0 & 0<t\leq t_f\\
v_0 - a_0(t-t_f) & t\geq t_f
\end{array}
\right.
\\
\\
x_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
v_0t & 0<t\leq t_f\\
\\
v_0t_f + v_0(t-t_f) - \dfrac{1}{2}a_0(t-t_f)^2 & t\geq t_f
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
</math>
</center>
En <math>t=t_f</math> el coche 1 se encuentra en la coordenada <math>v_0t_f</math> y tiene velocidad <math>v_0</math>. Este valor de tiempo es el instante inicial para el movimiento en el segundo intervalo de tiempo. Por eso en las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado ponemos <math>t-t_f</math> en vez de <math>t_f</math>.

Como se ve en el esquema la distancia entre los dos coches es <math>x_2(t) - x_1(t)</math>. Esta función tiene tres expresiones, según en que instante de tiempo estemos
<center>
<math>
d(t) = x_2(t) - x_1(t) =
\left\{
\begin{array}{ll}
d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t^2 & 0<t\leq t_f\\
\\
d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f(2t-t_f) & t_f \leq t\leq t_2\\
\\
d_0 + \dfrac{1}{2}a_0(t-t_f)^2 - v_0t + \dfrac{v_0^2}{2a_0} & t \geq t_2
\end{array}
\right.
</math>
</center>
La primera expresión corresponde a la situación en la que el coche el 2 está frenando pero el 1 aún no ha comenzado a frenar. La segunda describe la distancia cuando los dos coches están frenando. La tercera da la distancia cuando el coche 2 está parado y el 1 todavía está frenando.

Para que los coches no colisionen tiene que ocurrir que en el instante en que se pare el coche 1, <math>t=t_1</math>, esta distancia sea mayor que cero. Igualando a cero la expresión de <math>v_1(t)</math> válida cuando <math>t>t_f</math>, obtenemos
<center>
<math>
t_1 = t_f + \dfrac{v_0}{a_0}.
</math>
</center>
La distancia entre los coches en ese instante es
<center>
<math>
d(t_1) = d_0 - v_0t_f.
</math>
</center>

Así pues, para que no haya colisión debe ocurrir
<center>
<math>
d(t_1) \geq 0 \Longrightarrow d_0 \geq v_0 t_f.
</math>
</center>
Este resultado tiene sentido si los dos coches frenan con la misma aceleración. Una vez que empiezan a frenar los dos coches recorren la misma distancia antes de pararse. La condición dice que la distancia que separa los coches debe ser mayor que la que recorre el coche 1 antes de que empiece a frenar.

Usando los valores numéricos del apartado b obtenemos
<center>
<math>
d_0 = 10 \,\mathrm{m}.
</math>
</center>
Esta distancia corresponde a la longitud de dos coches, aproximadamente.

[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]

Coches frenando en una autopista

2025-09-19T10:25:05Z

Pedro: /* Solución */

= Enunciado =

Dos coches ruedan por un tramo recto de autopista con la misma velocidad <math>v_0</math> y separados por una distancia <math>d_0</math>. En un instante dado, el coche que va delante frena con aceleración uniforme de módulo <math>a_0</math> hasta quedar parado. El coche que va detrás tarda un tiempo <math>t_f</math> en empezar a frenar con la misma aceleración que el primero.
#Determina como cambia la distancia entre los coches con el tiempo.
#Si <math>t_f=0.30\,\mathrm{s}</math>, <math>v_0=120\,\mathrm{km/h}</math> y <math>a_0=1.50\,\mathrm{m/s^2}</math>, calcula el valor mínimo de <math>d_0</math> para que los coches no colisionen.

= Solución =

[[Imagen:F1GIC_cochesAutopistaEsquema.png|right]]
El esquema mostrado a la derecha resume la situación descrita en el problema. En el instante inicial los dos coches tienen la misma velocidad y están separados una distancia <math>d_0</math>. En ese instante el coche que va delante (representado por <math>P_2</math>) empieza a frenar con aceleración constante <math>a_0</math>. El coche que va detras (<math>P_1</math>) sigue moviéndose con velocidad constante hasta el instante <math>t=t_f</math>. A partir de ese instante empieza a frenar con la misma aceleración que el 2.

Escogemos como eje <math>X</math> la recta sobre la que se mueven los coches. Colocamos el origen en la posición del coche 1 en el instante incial. El coche 2 se mueve siempre con aceleración <math>-a_0</math>, su velocidad inicial es <math>v_0</math> y su posición inicial es <math>d_0</math>. Como realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se tiene
<center>
<math>
P_2 \to
\left\{
\begin{array}{l}
v_2 =
\left\{\begin{array}{ll}
v_0 - a_0 t& 0 \leq t \leq t_{2}\\
0 & t\geq t_2
\end{array}
\right.
\\
\\
x_2 =
\left\{
\begin{array}{ll}
d_0 + v_0t - \dfrac{1}{2}a_0 t^2 & 0 \leq t \leq t_2\\
d_0 + \dfrac{v_0^2}{2a_0} & t\geq t_2
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
</math>
</center>
El valor <math>t_2 = v_0/a_0</math> se determina igualando a cero la expresión de <math>v_2(t)</math> válida para <math>t<t_2</math>. El valor de <math>x_2</math> para <math>t>t_2</math> se calcula poniento <math>t=t_2</math> en la expresión de <math>x_2(t)</math> válida para <math>t<t_2</math>.

Para el coche 1 hay que considerar dos intervalos de tiempo, <math>0<t<t_f</math> y <math>t>t_f</math>. En el primero realiza un movimiento rectilíneo uniforme y en el segundo un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Tenemos
<center>
<math>
P_1 \to
\left\{
\begin{array}{l}
v_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
v_0 & 0<t\leq t_f\\
v_0 - a_0(t-t_f) & t\geq t_f
\end{array}
\right.
\\
\\
x_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
v_0t & 0<t\leq t_f\\
\\
v_0t_f + v_0(t-t_f) - \dfrac{1}{2}a_0(t-t_f)^2 & t\geq t_f
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
</math>
</center>
En <math>t=t_f</math> el coche 1 se encuentra en la coordenada <math>v_0t_f</math> y tiene velocidad <math>v_0</math>. Este valor de tiempo es el instante inicial para el movimiento en el segundo intervalo de tiempo. Por eso en las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado ponemos <math>t-t_f</math> en vez de <math>t_f</math>.

Como se ve en el esquema la distancia entre los dos coches es
<center>
<math>
d(t) = x_2 - x_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t^2 & 0<t\leq t_f\\
\\
d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f(2t-t_f) & t\geq t_f
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Para cada intervalo hemos usado la expresión correspondiente de <math>x_1</math>. La de <math>x_2</math> es la misma para todo tiempo. Se puede comprobar que si ponemos <math>t=t_f</math> en las expresiones anteriores los dos valores coinciden, como debe ser.

El instante de tiempo en que se para el coche 2 es
<center>
<math>
v_2(t_s) = 0 \longrightarrow t_s = v_0/a_0.
</math>
</center>
El coche 1 empieza a frenar después de que el otro frene.
Para que los dos coches no colisionen es necesario que en <math>t=t_s</math>la distancia entre ellos sea mayor que cero. Escogiendo la expresión de <math>d(t)</math> para <math>t>t_s</math> tenemos
<center>
<math>
d(t_s) = d_0 - v_0t_f + \dfrac{1}{2}a_0t_f^2>0
</math>
</center>
Pasando los dos últimos sumando a la derecha obtenemos la condición
<center>
<math>
d_0 > \dfrac{1}{2}t_f\,(2v_0-a_0t_f)
</math>
</center>
Usando los valores numéricos del apartado b obtenemos
<center>
<math>
d_0 = 9.92 \,\mathrm{m}.
</math>
</center>
Esta distancia corresponde a la longitud de dos coches, aproximadamente.

== Comentario ==
Si el valor de <math>d_0</math> es lo bastante pequeño puede ocurrir que el coche 1 choque con el 2 antes de que empiece a frenar, es decir, en el intervalo <math>t<t_f</math>. Para que esto no ocurra debe cumplirse
<center>
<math>
d(t) = d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 > 0
\longrightarrow
d_0 > \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 = 6.75\,\mathrm{cm}.
</math>
</center>
Hemos usado la expresión de <math>d(t)</math> para el intervalo de tiempo <math>t<t_f</math> y los valores numéricos del apartado b.

[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]

Coches frenando en una autopista

2025-09-19T08:31:33Z

Pedro: /* Solución */

= Enunciado =

Dos coches ruedan por un tramo recto de autopista con la misma velocidad <math>v_0</math> y separados por una distancia <math>d_0</math>. En un instante dado, el coche que va delante frena con aceleración uniforme de módulo <math>a_0</math> hasta quedar parado. El coche que va detrás tarda un tiempo <math>t_f</math> en empezar a frenar con la misma aceleración que el primero.
#Determina como cambia la distancia entre los coches con el tiempo.
#Si <math>t_f=0.30\,\mathrm{s}</math>, <math>v_0=120\,\mathrm{km/h}</math> y <math>a_0=1.50\,\mathrm{m/s^2}</math>, calcula el valor mínimo de <math>d_0</math> para que los coches no colisionen.

= Solución =

[[Imagen:F1GIC_cochesAutopistaEsquema.png|right]]
El esquema mostrado a la derecha resume la situación descrita en el problema. En el instante inicial los dos coches tienen la misma velocidad y están separados una distancia <math>d_0</math>. En ese instante el coche que va delante (representado por <math>P_2</math>) empieza a frenar con aceleración constante <math>a_0</math>. El coche que va detras (<math>P_1</math>) sigue moviéndose con velocidad constante hasta el instante <math>t=t_f</math>. A partir de ese instante empieza a frenar con la misma aceleración que el 2.

Escogemos como eje <math>X</math> la recta sobre la que se mueven los coches. Colocamos el origen en la posición del coche 1 en el instante incial. El coche 2 se mueve siempre con aceleración <math>-a_0</math>, su velocidad inicial es <math>v_0</math> y su posición inicial es <math>d_0</math>. Como realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se tiene
<center>
<math>
P_2 \to
\left\{
\begin{array}{l}
v_2 = v_0 - a_0 t\\
\\
x_2 = d_0 + v_0t - \dfrac{1}{2}a_0 t^2
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Para el coche 1 hay que considerar dos intervalos de tiempo, <math>0<t<t_f</math> y <math>t>t_f</math>. En el primero realiza un movimiento rectilíneo uniforme y en el segundo un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Tenemos
<center>
<math>
P_1 \to
\left\{
\begin{array}{l}
v_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
v_0 & 0<t\leq t_f\\
v_0 - a_0(t-t_f) & t\geq t_f
\end{array}
\right.
\\
\\
x_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
v_0t & 0<t\leq t_f\\
\\
v_0t_f + v_0(t-t_f) - \dfrac{1}{2}a_0(t-t_f)^2 & t\geq t_f
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
</math>
</center>
En <math>t=t_f</math> el coche 1 se encuentra en la coordenada <math>v_0t_f</math> y tiene velocidad <math>v_0</math>. Este valor de tiempo es el instante inicial para el movimiento en el segundo intervalo de tiempo. Por eso en las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado ponemos <math>t-t_f</math> en vez de <math>t_f</math>.

Como se ve en el esquema la distancia entre los dos coches es
<center>
<math>
d(t) = x_2 - x_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t^2 & 0<t\leq t_f\\
\\
d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f(2t-t_f) & t\geq t_f
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Para cada intervalo hemos usado la expresión correspondiente de <math>x_1</math>. La de <math>x_2</math> es la misma para todo tiempo. Se puede comprobar que si ponemos <math>t=t_f</math> en las expresiones anteriores los dos valores coinciden, como debe ser.

El instante de tiempo en que se para el coche 2 es
<center>
<math>
v_2(t_s) = 0 \longrightarrow t_s = v_0/a_0.
</math>
</center>
El coche 1 empieza a frenar después de que el otro frene.
Para que los dos coches no colisionen es necesario que en <math>t=t_s</math>la distancia entre ellos sea mayor que cero. Escogiendo la expresión de <math>d(t)</math> para <math>t>t_s</math> tenemos
<center>
<math>
d(t_s) = d_0 - v_0t_f + \dfrac{1}{2}a_0t_f^2>0
</math>
</center>
Pasando los dos últimos sumando a la derecha obtenemos la condición
<center>
<math>
d_0 > \dfrac{1}{2}t_f\,(2v_0-a_0t_f)
</math>
</center>
Usando los valores numéricos del apartado b obtenemos
<center>
<math>
d_0 = 9.92 \,\mathrm{m}.
</math>
</center>
Esta distancia corresponde a la longitud de dos coches, aproximadamente.

== Comentario ==
Si el valor de <math>d_0</math> es lo bastante pequeño puede ocurrir que el coche 1 choque con el 2 antes de que empiece a frenar, es decir, en el intervalo <math>t<t_f</math>. Para que esto no ocurra debe cumplirse
<center>
<math>
d(t) = d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 > 0
\longrightarrow
d_0 > \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 = 6.75\,\mathrm{cm}.
</math>
</center>
Hemos usado la expresión de <math>d(t)</math> para el intervalo de tiempo <math>t<t_f</math> y los valores numéricos del apartado b.

[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]

1.1. Ejemplos de análisis dimensional

2025-09-10T09:52:53Z

Pedro:

==Velocidad==
La velocidad se define como la derivada de la posición respecto al tiempo. Una derivada no es más que un cociente entre dos cantidades muy pequeñas y por tanto sus dimensiones serán las del numerador divididas por las del denominador, esto es,
<center><math>[v] = \frac{[r]}{[t]} = L T^{-1}</math></center>
La unidad en el SI de velocidad es 1 m/s.
==Cantidad de movimiento==
La cantidad de movimiento es el producto de la masa por la velocidad, por lo que sus dimensiones serán las del producto de estas dos cantidades:
<center><math>[p]= [m][v]= MLT^{-1}\,</math></center>
La unidad SI de la cantidad de movimiento es 1 kg·m/s.
==Aceleración==
La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, por tanto
<center><math>[a] = \frac{[v]}{[t]} = \frac{LT^{-1}}{T}=LT^{-2}</math></center>
La unidad de aceleración en el SI será 1 m/s².
==Fuerza==
La fuerza se define como la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo (aunque también suele expresarse como el producto de la masa por la aceleración). Por ello
<center><math>[F] = \frac{[p]}{[t]} = \frac{MLT^{-1}}{T}=MLT^{-2}</math></center>
La unidad SI de la fuerza es el newton, que equivale a
<center>
<math>
1\,\mathrm{N} = \,\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
</math>
</center>
==Trabajo==
El trabajo se define a partir de una integral, esto es, una suma de muchas cantidades muy pequeñas. Las dimensiones de la integral son entonces las mismas que las de cada uno de los sumandos. Cada sumando es un ''trabajo diferencial'', igual al producto escalar de una fuerza por un desplazamiento. Por ello
<center><math>[W]= [F][r] = (MLT^{-2})(L) = ML^2T^{-2}\,</math></center>
Vemos que el trabajo posee dimensiones de masa por velocidad al cuadrado, que son las mismas de la energía cinética
<center><math>K =\frac{1}{2}mv^2 \to [K] = [m][v]^2 = M(LT^{-1})^2 = ML^2T^{-2}\,</math></center>
La unidad de trabajo en el sistema internacional es el julio, equivalente a
<center><math>1\,\mathrm{J}=1\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}=1\,\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}</math></center>
==Potencia==
La potencia es el cociente entre un trabajo diferencial y el tiempo diferencial en que se realiza. Las dimensiones las da también el cociente
<center><math>[P]=\frac{[W]}{[t]}=\frac{ML^2T^{-2}}{T}=ML^2T^{-3}</math></center>
La unidad SI de potencia es el vatio, que equivale a
<center><math>1\,\mathrm{W}=1\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}} = 1\,\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}</math></center>
==Momento cinético==
El momento cinético es el producto vectorial de la posición por la cantidad de movimiento. Todo producto (de escalares, escalar, vectorial,…) tiene dimensiones del producto de las magnitudes, esto es,
<center><math>[L]=[r][p] = L(MLT^{-1}) = ML^2T^{-1}\,</math></center>
La unidad de momento cinético en el SI será 1 kg·m²/s.
==Momento de una fuerza==
Por último, el momento de una fuerza equivale al producto vectorial de un vector de posición (con dimensiones de distancia) y una fuerza
<center><math>[M] = [r][F] = (L)(MLT^{-2}) = ML^2T^{-2}\,</math></center>
La unidad de momento en el SI es el newton por metro
<center><math>1\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}=1\,\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}</math></center>
Aunque esta unidad es equivalente a un julio, no se utiliza 1 J como unidad de momento de una fuerza, debido a que esta magnitud no representa trabajo, calor o energía, cantidades para las que se reserva el uso del julio.
[[Categoría:Problemas de metrología (G.I.T.I.)]]

Física I (Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica)

2025-09-08T10:19:19Z

Pedro:

Ya a la venta:

[[Archivo:portada.jpg|266px]]

''[https://editorial.us.es/es/detalle-libro/720177/fisica-general-mecanica Física general: Mecánica]'', de Antonio González Fernández, editado por la Universidad de Sevilla (2020), que reúne y mejora gran parte del contenido de teoría y ejemplos de esta wiki. Disponible en, por ejemplo, la copistería de la ETSI de Sevilla.

==Programa==
# Introducción
## [[Metrología (G.I.T.I.)|Metrología]]
###[[Problemas de metrología]]
# Punto material
## [[Cinemática_del_movimiento_rectilíneo_(GIE)|Movimiento rectilíneo]]
###[[Problemas_de_movimiento_rectilíneo_(GIC) | Problemas de movimiento rectilíneo]]
## [[Vectores libres|Álgebra vectorial]]
###[[Problemas de vectores libres (GIC) | Problemas de álgebra vectorial]]
## [[Cinemática_tridimensional_de_la_partícula_(GIE)| Movimiento en dos y tres dimensiones]]
###[[Problemas de Cinemática del punto (G.I.C.)|Problemas de Cinemática del punto ]]
# [[Dinámica de la partícula (GIE)|Dinámica de la partícula]]
##[[Problemas_de_Dinámica_del_punto_(GIC)|Problemas de Dinámica de la partícula]]
#[[Energía_y_leyes_de_conservación_(GIE)| Cinética de la partícula ]]
## [[Problemas de cinética de la partícula | Problemas de Cinética de la partícula]]
#[[Cinemática del sólido rígido (G.I.T.I.)|Cinemática del sólido rígido]]
##[[Problemas de Cinemática del sólido rígido (MR G.I.C.)]]
#[[Movimiento relativo (G.I.T.I.)|Movimiento relativo]]
##[[Problemas de movimiento relativo y movimiento plano F1-GIERM| Problemas de movimiento relativo y movimiento plano]]
#[[Movimiento plano (G.I.T.I.)|Movimiento plano]]
##[[Problemas de Movimiento plano (MR G.I.C.)]]
# [[Dinámica de un sistema de partículas|Dinámica del Sólido Rígido]]
##[[Problemas de dinámica de un sistema de partículas F1-GIC| Problemas de Dinámica del Sólido Rígido]]
# [[Movimiento oscilatorio]]
##[[Problemas de Movimiento oscilatorio (GIC)]]
# [[Movimiento_ondulatorio |Ondas]]
##[[Problemas de Movimiento ondulatorio (GIC)]]

# Material didáctico auxiliar
## [[Tabla de fórmulas de trigonometría]]
## [[Tabla de fórmulas de variable compleja]]
## [[Tabla de derivadas y primitivas]]
## [[Vectores en física. Definiciones y operaciones]]
## [[Vectores en física. Coordenadas y componentes]]
##[[Coordenadas polares]]
## [[Problemas_de_herramientas_matemáticas_(GIE)|Problemas de herramientas matemáticas]]

# Exámenes
##[[Exámenes 2017/18 (G.I.E.R.M.)| Curso 2017/18]]
##[[Exámenes 2018/19 (G.I.E.R.M.)| Curso 2018/19]]
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Física I (Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica)

2025-09-08T10:18:59Z

Pedro:

Ya a la venta:

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''[https://editorial.us.es/es/detalle-libro/720177/fisica-general-mecanica Física general: Mecánica]'', de Antonio González Fernández, editado por la Universidad de Sevilla (2020), que reúne y mejora gran parte del contenido de teoría y ejemplos de esta wiki. Disponible en, por ejemplo, la copistería de la ETSI de Sevilla.

==Programa==
# Introducción
## [[Metrología (G.I.T.I.)|Metrología]]
###[[Problemas de metrología]]
# Punto material
## [[Cinemática_del_movimiento_rectilíneo_(GIE)|Movimiento rectilíneo]]
###[[Problemas_de_movimiento_rectilíneo_(GIC) | Problemas de movimiento rectilíneo]]
## [[Vectores libres|Álgebra vectorial]
###[[Problemas de vectores libres (GIC) | Problemas de álgebra vectorial]]
## [[Cinemática_tridimensional_de_la_partícula_(GIE)| Movimiento en dos y tres dimensiones]]
###[[Problemas de Cinemática del punto (G.I.C.)|Problemas de Cinemática del punto ]]
# [[Dinámica de la partícula (GIE)|Dinámica de la partícula]]
##[[Problemas_de_Dinámica_del_punto_(GIC)|Problemas de Dinámica de la partícula]]
#[[Energía_y_leyes_de_conservación_(GIE)| Cinética de la partícula ]]
## [[Problemas de cinética de la partícula | Problemas de Cinética de la partícula]]
#[[Cinemática del sólido rígido (G.I.T.I.)|Cinemática del sólido rígido]]
##[[Problemas de Cinemática del sólido rígido (MR G.I.C.)]]
#[[Movimiento relativo (G.I.T.I.)|Movimiento relativo]]
##[[Problemas de movimiento relativo y movimiento plano F1-GIERM| Problemas de movimiento relativo y movimiento plano]]
#[[Movimiento plano (G.I.T.I.)|Movimiento plano]]
##[[Problemas de Movimiento plano (MR G.I.C.)]]
# [[Dinámica de un sistema de partículas|Dinámica del Sólido Rígido]]
##[[Problemas de dinámica de un sistema de partículas F1-GIC| Problemas de Dinámica del Sólido Rígido]]
# [[Movimiento oscilatorio]]
##[[Problemas de Movimiento oscilatorio (GIC)]]
# [[Movimiento_ondulatorio |Ondas]]
##[[Problemas de Movimiento ondulatorio (GIC)]]

# Material didáctico auxiliar
## [[Tabla de fórmulas de trigonometría]]
## [[Tabla de fórmulas de variable compleja]]
## [[Tabla de derivadas y primitivas]]
## [[Vectores en física. Definiciones y operaciones]]
## [[Vectores en física. Coordenadas y componentes]]
##[[Coordenadas polares]]
## [[Problemas_de_herramientas_matemáticas_(GIE)|Problemas de herramientas matemáticas]]

# Exámenes
##[[Exámenes 2017/18 (G.I.E.R.M.)| Curso 2017/18]]
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Física I (Ingeniería Civil)

2025-09-04T15:47:16Z

Pedro:

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''[https://editorial.us.es/es/detalle-libro/720177/fisica-general-mecanica Física general: Mecánica]'', de Antonio González Fernández, editado por la Universidad de Sevilla (2020), que reúne y mejora gran parte del contenido de teoría y ejemplos de esta wiki. Disponible en, por ejemplo, la copistería de la ETSI de Sevilla.

# Introducción
## [[Metrología (G.I.T.I.)|Metrología]]
###[[Problemas de metrología]]
# Punto material
## [[Cinemática_del_movimiento_rectilíneo_(GIE)|Movimiento rectilíneo]]
###[[Problemas_de_movimiento_rectilíneo_(GIC) | Problemas de movimiento rectilíneo]]
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# Sistemas de partículas
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Física I (Ingeniería Civil)

2025-09-04T15:46:40Z

Pedro:

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''[https://editorial.us.es/es/detalle-libro/720177/fisica-general-mecanica Física general: Mecánica]'', de Antonio González Fernández, editado por la Universidad de Sevilla (2020), que reúne y mejora gran parte del contenido de teoría y ejemplos de esta wiki. Disponible en, por ejemplo, la copistería de la ETSI de Sevilla.

# Introducción
## [[Metrología (G.I.T.I.)|Metrología]]
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# Punto material
## [[Cinemática_del_movimiento_rectilíneo_(GIE)|Movimiento rectilíneo]]
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Problemas de dinámica impulsiva (CMR)

2024-12-19T15:31:02Z

Pedro: /* Percusión sobre una barra con resorte */

==Percusión sobre una mancuerna==
Supongamos dos masas iguales <math>m/2</math> unidas por una barra rígida de longitud <math>2b</math>, sin masa (lo que sería una mancuerna ideal). Las masas reposan sobre un plano horizontal, sobre el que pueden moverse sin rozamiento.
Se comunica una percusión <math>\vec{P}</math> perpendicular a la barra a una distancia <math>c</math> de su centro.
# ¿Cuánto valen la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al CM y la energía cinética de la barra tras la percusión?
# ¿Dónde se encuentra el centro instantáneo de rotación justo tras la percusión?
# ¿Cómo es el movimiento del sistema a partir de ese momento?

[[Percusión sobre una mancuerna y una barra|Solución]]

==Percusión sobre una barra==
¿Cómo cambian los resultados del problema anterior si en lugar de una mancuerna tenemos una barra homogénea de longitud <math>2b</math> y masa <math>m</math> a la cual se comunica una percusión <math>\vec{P}</math> perpendicular a la barra a una distancia <math>c</math> de su centro?

[[Percusión_sobre_una_mancuerna_y_una_barra#Caso_de_una_barra|Solución]]

==Percusión sobre una barra articulada==
¿Cómo cambian los resultados de los dos problemas anteriores si la barra está articulada a un punto fijo O, situado en uno de los extremos de la barra? ¿Cuánto valen las percusiones y momentos impulsivos de reacción en O?

¿Y sí en lugar de estar articulada, está empotrada en O?

[[Percusión sobre una barra articulada|Solución]]

==Percusión en sistema de tres masas==
Un sólido está formado por tres masas iguales <math>m</math> unidas por varillas rígidas de la misma longitud, de masa despreciable. El triángulo se encuentra situado sobre un plano horizontal, sin rozamiento. Se elige un sistema de ejes tal que el baricentro del triángulo es el origen de coordenadas y la masa A se encuentra en <math>b\vec{\imath}</math>, hallándose las masas B y C en las posiciones correspondientes del plano OXY.
Estando el triángulo en reposo, se golpea la masa A con una percusión <math>\vec{P}=P_0 \vec{\jmath}</math>. Para el instante inmediatamente posterior a la percusión determine (empleando mecánica vectorial o analítica o ambas):
# La velocidad del centro de masas del triángulo.
# La velocidad angular del triángulo.
# La velocidad de cada una de las masas.
# La posición del centro instantáneo de rotación.
# Calcule los valores de las percusiones de reacción que se producen en las tres varillas en el momento en que se aplica la percusión <math>\vec{P}_0</math>.

<center>[[Archivo:percusion-tres-masas.png|400px]]</center>

[[Percusión en sistema de tres masas|Solución]]

==[[Percusión sobre una barra. Estudio analítico]]==
Suponga una barra homogénea, de masa <math>m</math> y longitud <math>b</math>, situada horizontalmente sobre un plano sin rozamiento.

Estando la barra en reposo, se efectúa sobre ella una percusión <math>\vec{P}_0</math> perpendicular a la dirección de la barra y a una distancia c de su centro.

Empleando las técnicas de la mecánica analítica, determine la velocidad del centro de la barra y la velocidad angular de ésta, así como las posibles fuerzas y momentos impulsivos de reacción, en los casos siguientes:

# La barra puede moverse libremente por el plano.
# La barra se halla articulada por un extremo A a una pared inmóvil.
# La barra se halla empotrada por su extremo A a una pared inmóvil.

==[[Percusión sobre un sistema articulado]]==
Considerando el sistema de dos barras articuladas del problema “[[Dos barras articuladas (CMR)|dos barras articuladas]]” suponga que el sistema se halla completamente extendido y en reposo. Entonces, se efectúa una percusión <math>\vec{P}_0</math> perpendicular a la dirección de las barras y a una distancia c de la articulación A entre las dos barras.

Determine la velocidad angular de cada barra, así como la velocidad de los puntos A y B (extremo libre de la segunda barra) en los casos:

# Se golpea la barra OA en un punto D a una distancia c de la articulación A.
# Se golpea la barra AB en un punto D a una distancia c de la articulación A.

==[[Percusión sobre una barra con resorte]]==
Se tiene un sistema formado por una varilla de masa <math>m=1.2\,\mathrm{kg}</math> y longitud <math>b=1\,\mathrm{m}</math>, apoyada sin rozamiento en una pared vertical y un suelo horizontal. El extremo B, apoyado en la pared está conectado a la esquina mediante un resorte de constante <math>k=30\,\mathrm{N}/\mathrm{m}</math> y longitud natural <math>\ell_0=1\,\mathrm{m}</math>. Por efecto de la gravedad (tómese <math>g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>) la varilla resbala hasta que la compresión del resorte la detiene.
# Determine la posición de los extremos A y B de la barra en la posición de equilibrio.
# Suponiendo que se encuentra en la posición de equilibrio, se efectúa sobre la barra una percusión horizontal en un punto C a una altura <math>h=20\,\mathrm{cm}</math> y de magnitud <math>\vec{P}_C=-1.5\,\vec{\imath}\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}.</math> Calcule la velocidad del centro de masas inmediatamente después de la percusión, así como las percusiones de reacción en la pared y el suelo.
# Tras la percusión anterior, la varilla se acerca a la pared. Calcule la velocidad del centro de masas de la varilla en el momento en que impacta con la pared.
<center>[[Archivo:barra-apoyada-muelle.png|400px]]</center>

==[[Percusión sobre una barra articulada con muelle (MR-GIC) | Percusión sobre una barra articulada con muelle]]==
[[Archivo:Barra muelle articulada.png|sinmarco|derecha]]
El mecanismo de la figura está formado por una varilla delgada <math>OA</math> (sólido "2"), de masa <math>m</math> y longitud <math>L</math>, y un resorte ideal de constante recuperadora <math>k</math> y longitud natural nula. El extremo <math>O</math> de la varilla está unido mediante una rótula ideal al origen de un sistema de referencia fijo <math>OX_1Y_1Z_1</math> (sólido "1"). El otro extremo <math>A</math> de la varilla está conectado mediante el resorte a un pasador <math>C</math> de masa despreciable que puede deslizar libremente y sin rozamiento por el eje vertical <math>OZ_1</math>. En todo momento la orientación del eje del resorte es perpendicular a <math>OZ_1</math>. Todos los vínculos son lisos. En el instante inicial <math>t=0</math>, el sistema se halla en reposo en la posición <math>\theta(0)=\pi/4</math>, <math>\phi(0)=0</math>. Recibe entonces una percusión <math>\vec{\hat{F}}=[\hat{F}_x,\, \hat{F}_y,\,0]_1</math> en el extremo <math>A</math>. Justo después de la percusión tenemos <math>\dot{\theta}(0^+)=3\Omega/\sqrt{2}</math>, <math>\dot{\phi}(0^+)=3\sqrt{2}\Omega</math>, donde <math>\Omega</math> es una constante conocida. Calcula el valor de la percusión.

==[[Barra oscilante sometida a una percusión horizontal]]==
[[Imagen:Percusiones_barra_enunciado.jpg|right]]
Una barra homogénea de longitud <math>L</math> está articulada en un punto fijo <math>O</math> de modo que puede colgar libremente, sometida a la acción de la gravedad. En el instante inicial se encuentra en reposo y colgando verticalmente. Se aplica un percusión horizontal hacia la derecha a una distancia <math>x_P</math> del punto <math>O</math>. Determina la velocidad angular de la barra justo después de la percusión y las percusiones vinculares. Hazlo usando las herramientas de la Dinámica Vectorial y la Analítica.

==[[ Disco rodando sobre plataforma con muelle (Ene 2018 MR) | Disco rodando sobre plataforma con muelle ]]==
[[Imagen:MR_disco_placa_muelle_enunciado.png|right]]
Un disco de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una placa
rectangular de masa <math>m</math> (sólido "0"). La placa desliza sin rozamiento sobre el eje fijo
<math>O_1X_1</math>. Un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula conecta la placa con
el eje <math>O_1Y_1</math>.
#Encuentra la reducción cinemática del movimiento absoluto.
#Escribe la Lagrangiana del sistema.
#Escribe las ecuaciones de Lagrange.
#En el estado inicial los dos sólidos están en reposo y <math>x_0(0)=0</math>, <math>x_2(0)=L/2</math>. Se somete la placa a una percusión <math>\vec{\hat{F}} = \hat{F}_0\,\vec{\imath}_1</math> aplicada en su extremo izquierdo. ¿Cuánto valen las velocidades generalizadas inmediatamente después de la percusión? ¿Cuál es la frecuencia de las oscilaciones de la placa en el movimiento después de la percusión?

Problemas de dinámica vectorial (CMR)

2024-12-19T15:28:19Z

Pedro:

==[[Barra con centro deslizando sobre eje, Septiembre 2016 (MR G.I.C.)|Barra con centro deslizando sobre eje ]] ==
[[Imagen:MR_barra_centro_eje_enunciado.png|right]]
Una barra homogénea delgada (sólido "2") de masa <math>M</math> y longitud <math>2L</math> se mueve de modo que
su centro se encuentra siempre sobre el eje <math>OZ_1</math>. La barra tiene dos grados de libertad de rotación.
El sistema auxiliar <math>OX_0Y_0Z_0</math> se define de modo que la barra esté siempre contenida
en el plano <math>OX_0Z_0</math>. La barra está sometida a la acción de la gravedad, como se indica en
la figura. El contacto de la barra con el eje <math>OZ_1</math> es liso.

#Calcula las reducciones cinematicas en el centro de la barra de los tres movimientos que se pueden definir en el problema.
#Encuentra la expresión del momento cinético de la barra respecto de su centro.
#Encuentra la expresión de la energía cinética de la barra.
#Escribe la Lagrangiana del sistema, así como una integral primera que no sea la energía mecánica.
#En el instante inicial, el centro de la barra se encuentra en el punto <math>O</math> y los valores iniciales de las coordenadas angulares son <math>\theta(0) = \pi/2</math> y <math>\phi(0)=0</math>. La barra se encuentra en reposo. Se ejerce una percusión <math>\hat{\vec{F}} = \hat{F}_0\,(\vec{\jmath}_0 + \vec{k}_0)</math> aplicada en el punto <math>B</math>. Determina los valores de las velocidades generalizadas justo después de la percusión.

==Masa en plano inclinado==
Una partícula de masa ''m'' desliza sin rozamiento por un plano inclinado móvil, de masa <math>m_0</math>, altura ''h'' y ángulo de inclinación β, sometida a la fuerza de la gravedad y las fuerzas de reacción. No hay fricción entre la cuña y el suelo horizontal
# Suponga que <math>m_0\to{}\infty</math>. Para este caso, calcule la aceleración que adquiere la masa ''m'' y la cuña ''m_0'', tanto en módulo como en forma vectorial en el sistema de referencia ligado al suelo. Calcule la fuerza de reacción que ejerce la cuña sobre la masa y el suelo sobre la cuña.
# Suponga ahora que <math>m_0\to{}0</math>. Responda a las mismas cuestiones que en el apartado anterior.
# Responda a las mismas cuestiones para una masa <math>m_0</math> ni nula ni infinita. ¿Se reduce a los dos casos anteriores?
# Demuestre que en este sistema se conserva la energía mecánica y la componente horizontal de la cantidad de movimiento.
# Suponga ahora que existe un coeficiente de rozamiento μ entre la masa y la cuña.
## ¿Cómo queda la solución general en ese caso?
## ¿Se conserva la energía mecánica?
## ¿Y la componente horizontal de la cantidad de movimiento?
<center>[[Archivo:masa-plano-inclinado-movil.png]]</center>
[[Masa en plano inclinado|Solución]]

==Oscilador armónico en el plano==
Una partícula se mueve en tres dimensiones de forma tal que verifica la ecuación del oscilador armónico
<math>m\vec{a}=-k\vec{r}</math> con <math>k=m\omega_0^2</math> y <math>\omega_0=2.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}</math> . Su posición inicial es <math>\vec{r}_0=5\vec{\imath}\ (\mathrm{m})</math>
# Para el caso <math>\vec{v}_0=\vec{0}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}</math> . ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
# Para el caso <math>\vec{v}_0=10\vec{\jmath}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}</math>, ¿cómo es la trayectoria? ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
# Suponga ahora que <math>\vec{v}_0=8\vec{\jmath}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}</math> , ¿cómo es ahora la trayectoria de la partícula? ¿Cuál es la mínima distancia del origen a la que pasa la partícula?
# Demuestre que en todos los casos la cantidad calculada en coordenadas polares <math>m\rho^2 \theta \vec{k}</math> es constante.

==Anilla ensartada en dos varillas==
Para el sistema de la anilla ensartada en dos varillas, calcule la fuerza que cada una de las barras ejerce cada instante sobre la anilla, suponiendo ésta de masa m,
# despreciando el peso,
# considerando el peso en la dirección de OY negativo.
Suponga que no hay rozamiento, por lo que cada barra solo puede ejercer fuerza perpendicularmente a sí misma, no a lo largo de ella.

<center>[[Archivo:anilla-dos-varillas.png|400px]]</center>

[[Fuerzas sobre anilla ensartada en dos varillas (CMR)|Solución]]

==Sistema de poleas y masas==
Se tiene el sistema de poleas y masas de la figura.
# ¿Cuál es la ecuación de vínculo entre las coordenadas de las tres masas?
# Calcule la aceleración de cada una de las masas
# Calcule la tensión de la cuerda y la fuerza que realizan los soportes de las dos poleas pequeñas.

<center>[[Archivo:Sistema_poleas.png]]</center>
[[Sistema de poleas y masas|Solución]]

==Doble máquina de Atwood==
La doble máquina de Atwood de la figura está formada por tres masas unidas a través de dos cuerdas ideales (inextensibles y sin masa) y dos poleas también ideales (de masa despreciable y sin rozamiento).
# Escriba las ecuaciones de vínculo para las posiciones de las tres masas, medidas verticalmente hacia abajo desde la posición del centro de la polea grande. Escriba estos mismos vínculos en forma cinemática.
# Determine la aceleración de cada una de las masas, así como las tensiones de las dos cuerdas.

[[Archivo:Doble-maquina-atwood-color.png|sinmarco|centro]]

==Péndulo simple==
Un péndulo simple está formado por una masa m unida a una varilla rígida de longitud <math>\ell</math>, unida por su otro extremo a un punto fijo ''O'' mediante una articulación esférica. La masa está sometida a la acción del peso.
# Considere, en primer lugar, el movimiento en un plano vertical. Determine la ecuación de movimiento para el ángulo θ que la varilla forma con la vertical. ¿Qué puntos de equilibrio existen? ¿Son estables o inestables?
# Considere el caso de un péndulo cónico, el cual gira con velocidad angular constante <math>\dot{\phi}=\Omega</math> alrededor del eje vertical. ¿Cuál debe ser la relación entre Ω y el ángulo con la vertical, θ, para que este movimiento sea posible? ¿Puede conseguirse un movimiento circular sea cual sea Ω?
# Suponga ahora el movimiento general, en el cual puede cambiar tanto θ como el ángulo <math>\phi\,</math>, de giro alrededor del eje vertical. A partir de la 2ª ley de Newton, obtenga las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos. Esto puede hacerse de diferentes maneras:
## Empleando coordenadas esféricas.
## Empleando un sistema de referencia en rotación alrededor del eje vertical, y empleando las fuerzas ficticias necesarias.
## Considerando una composición de movimientos mediante tres sistemas de referencia: uno fijo “1”, uno intermedio “2” que gira alrededor del eje vertical un ángulo φ y uno ligado “3” que gira respecto a un eje horizontal un ángulo θ.
# Considerando el caso general, con movimiento en las dos coordenadas <math>\phi\,</math> y θ, suponga que con un motor se fuerza a una rotación constante <math>\dot{\phi}=\Omega</math>. En ese caso, ¿cómo queda la ecuación para θ? ¿Qué puntos de equilibrio hay? ¿Son estables o inestables?

[[Péndulo simple (CMR)|Solución]]

==Caja en pendiente==
Una caja cúbica de gran masa desciende sin rozamiento por un plano inclinado un ángulo β. En el interior de la caja se encuentra un péndulo (de masa mucho menor que la de la caja) que cuelga de su techo.
# Si el péndulo no oscila, determine el ángulo θ que forma el péndulo con la vertical.
# Suponga ahora que entre la caja y el plano hay una fricción dinámica de coeficiente μ. Determine el ángulo de inclinación en ese caso.
# Para los dos casos anteriores, supóngase que el péndulo se separa ligeramente de su posición de equilibrio, ¿cuál será la frecuencia de las oscilaciones que experimenta?

==Anilla ensartada en un aro giratorio==
Una pequeña anilla de masa m está ensartada en un aro vertical de radio ''R'' que puede girar alrededor del eje ''OZ'' (este sistema equivale a un péndulo simple formado por una masa ''m'' unida a una varilla rígida de longitud ''R'', unida por su otro extremo a un punto fijo O mediante una articulación esférica). La masa está sometida a la acción del peso.

<center>[[Archivo:anilla-aro-giratorio.png]]</center>

# Considere, en primer lugar, el movimiento en un plano vertical. Determine la ecuación de movimiento para el ángulo θ que la anilla forma con la vertical. ¿Qué puntos de equilibrio existen? ¿Son estables o inestables?
# Considere el caso de que el aro gira con velocidad angular constante <math>\dot{\phi}=\Omega</math> alrededor del eje vertical. ¿Cuál debe ser la relación entre Ω y el ángulo con la vertical, θ, para que la anilla ni suba ni baje en el aro, describiendo una circunferencia horizontal? ¿Puede conseguirse un movimiento circular sea cual sea Ω?
# Suponga ahora el movimiento general, en el cual puede cambiar tanto θ como el ángulo &straightphi;, de giro alrededor del eje vertical. A partir de la 2ª ley de Newton, obtenga las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos. Esto puede hacerse de diferentes maneras:
## Empleando un sistema de referencia en rotación alrededor del eje vertical, y empleando las fuerzas ficticias necesarias.
## Considerando una composición de movimientos mediante tres sistemas de referencia: uno fijo “1”, uno intermedio “2” que gira alrededor del eje vertical un ángulo &straightphi; y uno ligado “3” que gira respecto a un eje horizontal un ángulo θ.
# Considerando el caso general, con movimiento en las dos coordenadas &straightphi; y θ, suponga que con un motor se fuerza a una rotación constante <math>\dot{\phi}=\Omega</math>. En ese caso, ¿cómo queda la ecuación para θ? ¿Qué puntos de equilibrio hay? ¿Son estables o inestables?

[[Anilla ensartada en un aro giratorio|Solución]]

==Partícula en cono==
Una partícula está obligada a moverse por la superficie interior de un cono que tiene su vértice en el origen y que tiene un semiángulo de apertura β, es decir, la superficie del cono es, en cilíndricas <math>z=\rho/\tan(\beta)</math>. La partícula se mueve sin rozamiento por esta superficie y se halla sometida a la acción de la gravedad, que va en la dirección y sentido del eje OZ negativo
# Obtenga las ecuaciones de movimiento para esta partícula, empleando como coordenadas las cilíndricas, introduciendo las fuerzas de reacción oportunas.
# Reduzca este sistema a dos ecuaciones, una para la distancia al vértice, <math>r=\sqrt{\rho^2+z^2}</math> y otra para el ángulo θ, de manera que no aparezcan ρ, z ni la tensión.
# ¿A qué velocidad debe moverse la partícula si se desea que describa un movimiento circular horizontal, a una altura H respecto al vértice? ¿Cuánto vale la fuerza de reacción en ese caso?
# Supongamos que parte de una altura H con una velocidad horizontal menor que la del apartado anterior. ¿Cuánto vale la mínima altura a la que llega la partícula?
<center>
[[Archivo:Particula-en-cono.png|300px]]</center>

[[Partícula en cono (CMR)|Solución]]

==Alambre parabólico==
Una pequeña anilla de masa m está ensartada en un alambre de forma parabólica, situado en un plano vertical. Esta parábola tiene su vértice en <math>O(0,0,0)</math> y cuando la partícula se halla a una distancia <math>b</math> del eje, su altura es <math>(b/2)</math>, con <math>b</math> fijado. Este alambre parabólico se hace girar alrededor del eje con velocidad angular constante Ω. No hay rozamiento entre la anilla y el alambre
# Escriba las ecuaciones de vínculo para la posición de la anilla, en coordenadas cartesianas y en coordenadas cilíndricas. ¿De qué clase de vínculos se trata?
# Escriba las ecuaciones de vínculo en forma cinemática y en forma pfaffiana.
# Escriba las ecuaciones de movimiento para esta partícula, en cartesianas y en polares, incluyendo las fuerzas de reacción vincular necesarias.

[[Partícula en alambre parabólico|Solución]]

==Varilla apoyada en una esquina==
Dos masas iguales m están unidas por una varilla rígida ideal de longitud b. La varilla está apoyada en el suelo y en una pared vertical, formando la varilla un ángulo θ con la vertical. Todo el sistema está contenido en el plano vertical OXY
# Suponga que el sistema está en equilibrio. Calcule el mínimo valor que debe tener el coeficiente de rozamiento μ entre la varilla y el suelo para que esto ocurra. Para esta situación, ¿cuánto valen las reacciones normales del suelo y la pared, la fuerza de rozamiento y la tensión de la varilla?
# Suponga que no existe rozamiento y que la varilla va cayendo apoyada en el suelo y la pared. Para el momento en que la varilla forma un ángulo θ con la vertical y este ángulo varía con una velocidad <math>\dot{\theta}</math>, ¿cuánto valen las reacciones y la tensión?
# Determine la ecuación de movimiento para la varilla.
# Si inicialmente la varilla se encuentra en reposo en posición vertical y a partir de ahí comienza a deslizar, ¿para qué ángulo se separa de la pared?

<center>[[Archivo:barra-dos-masas.png|300px]]</center>

[[Varilla apoyada en una esquina (CMR)|Solución]]

==Esfera apoyada en el suelo==
Una esfera de radio R rueda y pivota sin deslizar sobre una superficie horizontal <math>z=-R</math>. las coordenadas del centro de la esfera <math>G(x,y,0)</math> están vinculadas a la rotación de la bola por la condición de no deslizamiento.
# Suponiendo una velocidad angular genérica <math>\vec{\omega}=\omega_x \vec{\imath}+\omega_y \vec{\jmath}+\omega_z \vec{k}</math> escriba los vínculos cinemáticos entre la velocidad de G y la angular.
# Si la velocidad angular se escribe en términos de los ángulos de Euler, ¿cómo quedan los vínculos entre las coordenadas {''x'',''y'',&straightphi;,θ,ψ}?
# Si la velocidad angular se escribe en términos de los ángulos de Tait-Bryan, ¿cómo quedan los vínculos entre las coordenadas {''x'',''y'',&straightphi;,θ,ψ}?

[[Esfera apoyada en el suelo|Solución]]

==Dos masas unidas sobre una cuchilla==
Dos masas iguales m están unidas por una varilla rígida ideal de longitud b. La varilla reposa sobre un plano horizontal. una de masas (la “2) puede deslizar sin rozamiento sobre el plano, pero la “1” está montada sobre una cuchilla que la obliga a desplazarse solo en la dirección paralela a la propia varilla
# ¿Qué vínculos ligan las posiciones y velocidades de las partículas?
# ¿Hacia dónde van dirigidas las fuerzas de reacción vincular?
# Escriba el sistema de ecuaciones de movimiento y de vínculos para este sistema empleando como variables las coordenadas cartesianas de la masa 1 y el ángulo que la varilla forma con el eje OX. Sugerencia: emplee tanto el sistema de referencia fijo “1” como el “2” ligado a la varilla.
# Introduciendo las variables adecuadas, reduzca este problema a un sistema de ecuaciones de primer orden.
<center>[[Archivo:Dos-masas-cuchilla.png|400px]]</center>
[[Dos masas unidas sobre una cuchilla|Solución]]

==Partícula en un tubo==
Una partícula de masa m se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular ω constante alrededor del eje OZ
# Halle la ecuación diferencial que debe satisfacer la coordenada radial ρ sabiendo que el tubo no puede ejercer fuerza en la dirección longitudinal (no hay rozamiento).
# Calcule la solución de esta ecuación de movimiento si la partícula se encuentra inicialmente a una distancia A del eje de giro con velocidad radial nula.
# Halle la fuerza ejercida por el tubo para una posición y velocidades arbitrarias y para la solución anterior.
# Si se analiza este movimiento desde un sistema de referencia ligado al tubo ¿qué fuerzas actúan sobre la partícula? ¿Cuál de ellas acelera a la partícula? ¿Por qué aparece una fuerza del tubo sobre la partícula?
<center>[[Archivo:Particula-tubo-giratorio.png]]</center>
[[Partícula en un tubo (CMR)|Solución]]

==Varilla articulada==
Se tiene un sistema horizontal en el que una partícula P, de masa m, se encuentra unida a una varilla de longitud <math>\ell</math> cuyo otro extremo, A, se halla articulado a una segunda varilla, de longitud b, cuyo segundo extremo, O, está fijo. La varilla OA gira en torno a O con velocidad angular constante Ω, mientras que la varilla AP puede girar libremente en torno a A. Sea θ el ángulo que AP forma con la prolongación de OA.
<center>[[Archivo:masa-varilla-articulada.png]]</center>
# ¿Qué vínculo hay entre las coordenadas cartesianas de P?
# Obtenga la ecuación de movimiento para el ángulo θ.
## Empleando un sistema de referencia exterior fijo.
## Empleando un sistema de referencia giratorio unido a la barra OA.
# ¿Qué puntos de equilibrio hay para el ángulo θ? ¿Son estables o inestables?

[[Dinámica de masa en varilla articulada (CMR)|Solución]]

==Masa y muelle en plataforma==
Una masa ''m'' se ata a un muelle horizontal de constante k y longitud natural <math>\ell_0</math>. El muelle está montado sobre una plataforma horizontal con un motor que permite un desplazamiento horizontal controlado. La masa puede deslizar sin rozamiento sobre la plataforma.
# Suponga, en primer lugar, que la plataforma se mueve a velocidad constante hacia adelante. En la posición de equilibrio de la masa, ¿está comprimido el muelle? ¿Cuánto? ¿Y si se mueve hacia atrás a velocidad constante?
# Suponga ahora que la plataforma avanza aceleradamente, siendo <math>a_0</math> su aceleración, ¿cuánto mide el muelle en la posición de equilibrio? Si se le pega un golpe a la masa, ¿con qué frecuencia oscila? Analice este caso tanto desde el punto de vista de un observador externo inercial como de un observador no inercial montado en la plataforma.
# ¿Cómo queda el balance de energía cinética y potencial en este segundo caso para el observador montado en la plataforma y el inercial exterior a ella?

<center>[[Archivo:masa-muelle-carrito.png]]</center>

[[Masa y muelle en plataforma|Solución]]

Problemas de mecánica analítica (CMR)

2024-12-19T12:55:20Z

Pedro: /* Dos barras en V con apoyos */

==[[ Dos barras en V con apoyos (MR G.I.C.) | Dos barras en V con apoyos]]==
[[Imagen:MR_barra_V_par_enunciado.png|right|250px]]
el Principio de los Trabajos Virtuales, determina las reacciones horizontal y vertical en el punto <math>C</math> para la estructura de la figura. La masa de las barras es despreciable. Calcula el valor numeŕico para los valores <math>a=1.00\,\mathrm{m}</math>, <math>|\vec{F}|=400\,\mathrm{N}</math>, <math>|\vec{\tau}|=500\,\mathrm{N\cdot m}</math>, <math>\theta=40^{\circ}</math>.

==[[ Engranaje sobre cremallera (MR G.I.C.) | Engranaje sobre cremallera ]]==
[[Imagen:MR_engranaje_cremallera.png|right]]
La figura muestra un sistema mecánico formado por un engranaje que rueda sobre una cremallera y está conectado a un deslizador con una ranura que desliza respecto al pasador en <math>B</math>. El deslizador está acoplado a un muelle, de constante elástica <math>k</math>, que se encuentra relajado cuando <math>x=2R</math>. En ese instante se tiene <math>\theta=0</math>. Las masas del engranaje, el deslizador y la cremallera son la misma e igual a <math>m</math>. El radio de giro del engranaje es <math>r_c</math>. El contacto entre el pasador y la ranura es liso. El mecanismo es accionado por una fuerza aplicada sobe la cremallera como se indica en la figura.
#Encuentra el número de grados de libertad y elige un conjunto de coordenadas generalizadas para describir el movimiento.
#Encuentra las ecuaciones diferenciales del movimiento.

==[[ Dos partículas unidas por una barra sin masa con una cuchilla, (MR) | Dos partículas unidas por una barra sin masa con una cuchilla]] ==
[[Imagen:MR_Masas_cuchilla.png|right]]
Dos partículas puntuales de masa <math>m</math> están unidas por una barra de longitud <math>L</math> y masa despreciable. Las partículas deslizan sobre un plano fijo <math>OX_1Y_1</math>, pero una de las partículas tiene una cuchilla, de modo que su velocidad sólo puede tener componente paralela a la cuchilla. Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\imath}_1</math> constante actúa sobre la partícula que no tiene la cuchilla.
#Encuentra la expresión del vínculo no holónomo del sistema.
#Escribe las ecuaciones de Lagrange utilizando la técnica de los multiplicadores de Lagrange.
#Identifica el significado físico del multiplicador de Lagrange.

==[[Deslizadera y disco rodando sin deslizar (MR G.I.C.) | Deslizadera y disco rodando sin deslizar]]==
[[File:MR_disco_deslizadera_enunciado.png|right]]
Un disco homogéneo (sólido "2") de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> puede rotar alrededor de su
centro <math>C</math>, que se mantiene fijo. Una deslizadera vertical (sólido "0"), de masa <math>m</math>
puede moverse a lo largo del
eje <math>O_1Y_1</math>, de modo que en el punto de contacto <math>A</math> el disco rueda sin deslizar sobre el
sólido "0". La deslizadera está conectada a un muelle de constante elástica <math>k</math> y
longitud natural <math>l_0</math>. El otro extremo del muelle está anclado en un punto fijo del eje
<math>O_1X_1</math>, de modo que se mantiene siempre vertical. El sistema está sometido a la acción de la gravedad como se indica en la figura.

#¿Cuantos grados de libertad tiene el sistema? Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21}, así como sus derivadas temporales. El resultado debe quedar en función del número de grados de libertad y sus derivadas temporales.
#Calcula las energías cinética y potencial del sistema en función de sus grados de libertad.
#Escribe la lagrangiana del sistema, así como las ecuaciones diferenciales de movimiento.
#Se aplica sobre el disco un par de fuerzas externo <math>\vec{\tau} = \tau_0\cos(\omega t)\,\vec{k}_1</math>. Encuentra las ecuaciones de movimiento en este caso. ¿Para qué valor de <math>\omega</math> aparece una resonancia mecánica?
#Ahora no hay par aplicado. Se aplica una percusión <math>\vec{\hat{F}}=[\hat{F}_0, \hat{F}_0,0]_1</math> sobre el punto <math>B</math> del sólido "2". En el instante de la percusión se cumple <math>s(0)=l_0</math>, <math>\theta(0)=0</math>, <math>\dot{s}(0^-)=0</math>, <math>\dot{\theta}(0^-)=0</math>. Calcula el estado del sistema inmediatamente después de la percusión.

==[[Aro colgando de una barra que rota, Enero 2015 (MR G.I.C.)|Aro colgando de una barra que rota ]] ==
[[Imagen:MR_aro_colgando_barra_enunciado.png|right]]
La barra homogénea <math>OA</math> (sólido "0") tiene masa <math>m</math> y longitud <math>L</math>. Está articulada en el punto
fijo <math>O</math> y rota de modo que está siempre contenida en el plano <math>OX_1Y_1</math>. En su extremo <math>A</math> está articulado un aro homogéneo de radio <math>R</math> y masa <math>m</math> (sólido "2"). El sistema está sometido a la acción de la gravedad. Se recomienda utilizar los ángulos <math>\{\theta, \psi\}</math> como coordenadas para resolver el problema.

#Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {21}, {20}.
#Calcula las energías cinética y potencial totales del sistema.
#Usando las herramientas de la Dinámica Analítica, encuentra las ecuaciones de movimiento.
#Se impone el vínculo cinemático <math>\dot{\theta}=\omega_0</math>. Determina el par necesario para imponer dicho vínculo. Supón que en el instante inicial se tiene <math>\theta(0)=0</math>, <math>\psi(0)=0</math>.
#Supongamos que las coordenadas <math>\{\theta, \psi\}</math> son de nuevo libres. Supón que se tiene <math>\theta(0)=0</math>, <math>\psi(0)=0</math>. En ese instante una percusión <math>\vec{\hat{F}}=[\hat{F}_0,\hat{F}_0,0]_1</math> actúa sobre el punto <math>A</math>. Determina el estado cinemático del sistema justo después de la percusión.

==[[ Sep. 2018 (M.R.) Barra rotando alrededor de barra horizontal con muelle | Barra rotando alrededor de barra horizontal con muelle]]==
[[Imagen:MR_2018_barras_muelle_enunciado.png|right]]

Una barra de longitud <math>2d</math> y masa despreciable (sólido "0") puede rotar alrededor del eje <math>OZ_1</math>. El punto <math>O</math> de la barra es fijo. La barra "0" siempre está contenida en el plano <math>OX_1Y_1</math>. Otra barra, también de longitud <math>2d</math> y masa <math>m</math> (sólido "2"), está conectada a la barra "0" por un pasador en el punto <math>A</math>. El pasador desliza sobre la barra "0". Además, la barra "2" gira alrededor de la barra "0". Un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula <math>l_0=d</math> conecta los puntos <math>O</math> y <math>A</math>.
#Determina las reducciones cinemáticas <math>\{01\}, \{20\}</math> y <math>\{21\}</math> en <math>G</math>.
#Calcula el momento cinético de la barra "2" respecto de <math>G</math>.
#A partir de ahora suponemos que <math>\phi=\dot{\phi}=\ddot{\phi}=0</math>, es decir, la coordenada <math>\phi</math> ya no es un grado de libertad. Escribe las ecuaciones de Lagrange del sistema.
#En <math>t=0</math> tenemos <math>s(0)=d</math>, <math>\theta(0)=-\pi/2</math>, <math>\dot{s}(0)=0</math> y <math>\dot{\theta}=0</math> (<math>\phi</math> sigue estando fijada). La barra "2" recibe una percusión <math>\vec{\hat{F}} = [\hat{F}_0, 0, \hat{F}_0]_1</math> en el punto B. Determina el estado del sistema justo después de la percusión.

==[[ Disco rodando sobre plataforma con muelle (Ene 2018 MR) | Disco rodando sobre plataforma con muelle ]]==
[[Imagen:MR_disco_placa_muelle_enunciado.png|right]]
Un disco de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una placa
rectangular de masa <math>m</math> (sólido "0"). La placa desliza sin rozamiento sobre el eje fijo
<math>O_1X_1</math>. Un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula conecta la placa con
el eje <math>O_1Y_1</math>.
#Encuentra la reducción cinemática del movimiento absoluto.
#Escribe la Lagrangiana del sistema.
#Escribe las ecuaciones de Lagrange.
#En el estado inicial los dos sólidos están en reposo y <math>x_0(0)=0</math>, <math>x_2(0)=L/2</math>. Se somete la placa a una percusión <math>\vec{\hat{F}} = \hat{F}_0\,\vec{\imath}_1</math> aplicada en su extremo izquierdo. ¿Cuánto valen las velocidades generalizadas inmediatamente después de la percusión? ¿Cuál es la frecuencia de las oscilaciones de la placa en el movimiento después de la percusión?

==[[Disco rodando en cavidad con muelle de torsión MR Dic 2016/17 | Disco rodando en cavidad con muelle de torsión]]==
[[Imagen:MR_disco_cavidad_muelle_torsion_enunciado.png|right]]
Un disco de radio <math>R</math> y masa <math>m</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre
una superficie circular cóncava (sólido "1") de radio <math>3R</math>. En el centro del
disco se articula una barra (sólido "0") de masa despreciable y longitud <math>2R</math>. El otro
extremo de la barra se articula en un punto fijo <math>O</math>. La barra está conectada
a su vez a un resorte de torsión en el punto <math>O</math>. Este resorte ejerce
un momento sobre la barra, perpendicular al plano de la figura, de modo que la energía potencial asociada a él
se puede expresar como <math>U_k = k \phi^2</math>, siendo <math>k</math> una constante.
#Encuentra la reducción cinemática de los movimientos {01}, {20} y {21}. ¿Cuál es la relación entre <math>\dot{\phi}</math> y <math>\dot{\psi}</math>?.
#Calcula la energía cinética del disco y su energía potencial.
#Escribe la Lagrangiana del sistema y la ecuación diferencial que rige el movimento. Si el ángulo <math>\phi</math> es pequeño, demuestra que el movimiento es armónico simple y encuentra el período de oscilación.
#Estando el disco en reposo y con <math>\phi=0</math>, se aplica al centro del disco una percusión <math>\hat{\vec{F}} = \hat{F}_0\,\vec{\jmath}_0</math>. Encuentra la velocidad del centro del disco después de la percusión así como el valor mínimo de esta para que el centro del disco llegue hasta el eje.

==[[Barra con muelle horizontal, Febrero 2016 (MR G.I.C.) | Barra con muelle horizontal]]==
[[Imagen:MR_GIC_Barra_muelle_horizontal.png|right]]
Una barra de longitud <math>2a</math> y masa <math>m</math> (sólido "2") desliza con un extremo (punto <math>A</math>) apoyado sobre un plano horizontal liso. El extremo <math>A</math> está unido a un muelle de constante elástica k y longitud natural nula anclado en <math>C</math> que se mantiene siempre horizontal. La gravedad actúa verticalmente hacia abajo. En <math>t=0</math> la barra estaba en reposo, el punto <math>A</math> coincidía con <math>O_1</math> y la barra estaba completamente vertical.
# Encuentra la expresión que da la cantidad de movimiento de la barra.
# Encuentra la expresión que da el momento cinético de la barra respecto del punto <math>A </math>.
#Determina las ecuaciones de movimiento del sistema.
#¿Cómo es la fuerza de ligadura en el punto <math>A </math>?
#Supongamos que se fuerza al punto <math>A</math> a moverse con velocidad uniforme <math>\vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_1</math>. ¿Cual de estas fuerzas aplicadas en <math>A</math> consigue ese efecto?

==[[Placa cuadrada pivotando con muelle, Septiembre 2016 (MR G.I.C.)|Placa cuadrada pivotando con muelle ]] ==
[[Imagen:MR_Placa_cuadrada_muelle_enunciado.png|right]]
El sólido "2' es una placa cuadrada y homogénea, de lado <math>2d</math> y masa <math>M</math>. La placa está articulada en
su vértice <math>A</math>, que permanece fijo. El vértice <math>C</math> de la placa está conectado a un muelle de constante elástica <math>k</math> y
longitud natural nula, anclado en el punto <math>O_1</math>. En el instante inicial la posición de la placa está
indicada en la figura por el cuadrado punteado. En esa posición inicial, el lado <math>AB_0</math> no está apoyado
en ninguna superficie. La gravedad actúa en la dirección vertical hacia abajo. Durante el movimiento de la
placa el muelle permanece siempre estirado.
#¿Qué valor debe tener <math>k</math> para que la posición inicial sea una posición de equilibrio? Encuentra la reducción vincular en <math>A</math> para la situación de equilibrio.
#Determina la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto <math>G</math> de la placa, así como su derivada temporal.
#Una pequeña perturbación hace que la placa empiece a girar con velocidad angular inicial <math>\dot{\theta}(0)=\omega_0</math>. Encuentra la expresión de la energía cinética de la placa durante su movimiento (ver Nota).
#Encuentra una integral primera del movimiento. Supón que el valor de <math>k</math> corresponde a la condición de equilibrio del apartado 1.
#Considerando el valor de <math>k</math> del apartado anterior, discute razonadamente la estabilidad del equilibrio del apartado 1.

'''Nota:''' El momento de inercia de una placa homogénea cuadrada de masa <math>M</math> y lado <math>l</math>, respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su centro es <math>Ml^2/6</math>.

==[[Barra con centro deslizando sobre eje, Septiembre 2016 (MR G.I.C.)|Barra con centro deslizando sobre eje ]] ==
[[Imagen:MR_barra_centro_eje_enunciado.png|right]]
Una barra homogénea delgada (sólido "2") de masa <math>M</math> y longitud <math>2L</math> se mueve de modo que
su centro se encuentra siempre sobre el eje <math>OZ_1</math>. La barra tiene dos grados de libertad de rotación.
El sistema auxiliar <math>OX_0Y_0Z_0</math> se define de modo que la barra esté siempre contenida
en el plano <math>OX_0Z_0</math>. La barra está sometida a la acción de la gravedad, como se indica en
la figura. El contacto de la barra con el eje <math>OZ_1</math> es liso.

#Calcula las reducciones cinematicas en el centro de la barra de los tres movimientos que se pueden definir en el problema.
#Encuentra la expresión del momento cinético de la barra respecto de su centro.
#Encuentra la expresión de la energía cinética de la barra.
#Escribe la Lagrangiana del sistema, así como una integral primera que no sea la energía mecánica.
#En el instante inicial, el centro de la barra se encuentra en el punto <math>O</math> y los valores iniciales de las coordenadas angulares son <math>\theta(0) = \pi/2</math> y <math>\phi(0)=0</math>. La barra se encuentra en reposo. Se ejerce una percusión <math>\hat{\vec{F}} = \hat{F}_0\,(\vec{\jmath}_0 + \vec{k}_0)</math> aplicada en el punto <math>B</math>. Determina los valores de las velocidades generalizadas justo después de la percusión.

==Estudio analítico de máquina de Atwood==
Una máquina de Atwood está formada por dos masas <math>m_1</math> y <math>m_2</math> unidas por un hilo ideal, inextensible y sin masa, que pasa por una polea ideal, sin rozamiento y sin masa.
# Empleando el principio de D’Alembert halle la aceleración de cada una de las masas.
# Con ayuda de los multiplicadores de Lagrange, calcule la tensión del hilo que pasa por la polea.
# Suponga ahora que la polea es un disco de radio <math>R</math> con momento de inercia <math>I</math>. ¿Cómo queda en ese caso la aceleración de las masas? ¿Y las tensiones de la cuerda?

[[Estudio analítico de máquina de Atwood|Solución]]

==Estudio analítico del plano inclinado==
Una partícula de masa <math>m</math> desliza sin rozamiento por un plano inclinado, de base <math>b</math> y altura <math>h</math>, sometida a la fuerza de la gravedad y las fuerzas de reacción. Empleando como coordenadas las cartesianas de la partícula con el eje OX horizontal y el OY vertical:
# Escriba la ecuación del vínculo entre las coordenadas.
# A partir del principio de D’Alembert, obtenga las componentes de la aceleración de la masa.
# Con ayuda de los multiplicadores de Lagrange, halle las componentes de la fuerza de reacción del plano sobre la masa.

[[Estudio analítico del plano inclinado|Solución]]

==Estudio analítico del péndulo simple==
Empleando el principio de D’Alembert, obtenga las ecuaciones de movimiento para las coordenadas cartesianas de un péndulo simple que oscila verticalmente.

[[Estudio analítico del péndulo simple|Solución]]

==Estudio analítico de dos masas unidas por un muelle==
Como en el problema “[[Dos masas unidas por un muelle]]” tenemos dos masas <math>m_1</math> y <math>m_2</math> se mueven a lo largo del eje OX unidas por un resorte de constante <math>k</math> y longitud natura <math>\ell_0</math>. Inicialmente las dos masas se encuentran en reposo en <math>x_{10}=0</math> y <math>x_{20}=\ell_0</math>. Entonces se le comunica a la masa <math>m_1</math> una velocidad <math>v_0</math> en el sentido positivo del eje.
<center>[[Archivo:Dos-masas-muelle-horizontal.png|400px]]</center>
# Determine la lagrangiana del sistema en función de las posiciones de las dos partículas.
# Obtenga las ecuaciones de movimiento para <math>x_1</math> y <math>x_2</math>
Realice el cambio de variables a las coordenadas generalizadas <math>x_G=(m_1 x_1+m_2 x_2 )/(m_1+m_2 )</math>, <math>x=x_2-x_1-\ell_0</math>.
<ol start="3">
<li>¿Cómo queda la lagrangiana en función de estas coordenadas?</li>
<li>Obtenga las ecuaciones de movimiento para <math>x_G</math> y <math>x</math>.</li>
<li>Determine dos constantes de movimiento para este sistema.</li>
</ol>

[[Estudio analítico de dos masas unidas por un muelle|Solución]]

==Estudio analítico de una barra apoyada==
Como en el problema “[[Barra deslizante con masas en los extremos]]”, supongamos que tenemos una barra de masa m y longitud b apoyada en el suelo y en una pared vertical, sometida a la acción del peso (vertical y hacia abajo) y a las fuerzas de reacción en los puntos de contacto. No hay rozamiento con las superficies

<center>[[Archivo:Barra-dos-masas.png|250px]]</center>
# Determine la lagrangiana del sistema.
# Halle la ecuación de movimiento para el ángulo θ.
# Determine una constante de movimiento no trivial.
# Añadiendo una coordenada x que representaría la separación de la barra respecto de la pared vertical, calcule la fuerza de reacción ejercida por la pared.
# Existe un valor de θ para el cual la barra se separa de la pared. Determine este valor.
# Halle la ecuación de movimiento para la barra una vez que se ha separado de la pared.

[[Estudio analítico de una barra apoyada|Solución]]

==Péndulo compuesto==
Para el sistema del problema “[[Péndulo compuesto (CMR)|Péndulo compuesto]]” analice el problema general mediante las técnicas de mecánica analítica. Se tiene una barra homogénea de longitud b y masa m, articulada mediante una rótula en un extremo O y sometida a la acción de la gravedad. La barra puede tanto variar su ángulo θ con la vertical como el ángulo ϕ alrededor de OZ.

Para este sistema
# Calcule la lagrangiana del sistema.
# Halle las ecuaciones de movimiento para los dos ángulos de giro, θ y ϕ
# Obtenga dos constantes de movimiento no triviales.
# Con ayuda de las constantes de movimiento, halle una ecuación que incluya solamente a θ
# Calcule el valor que debe tener la velocidad angular <math>\dot{\phi}</math> si se desea que la barra mantenga una inclinación constante respecto a la vertical.

[[Péndulo compuesto. Análisis por mecánica analítica (CMR)|Solución]]

==Dos barras articuladas==
[[Archivo:dos-barras-articuladas.png|300px|right]]

Un sistema está formado por dos varillas homogéneas, ambas de masa <math>m</math> y longitud <math>b</math>, situadas sobre un plano horizontal (“sólido 1”). La varilla “2” está articulada por su extremo O a un punto fijo del plano, mientras que por su extremo A está articulada a la varilla “3”.
# Escriba la lagrangiana del sistema, empleando como coordenadas generalizadas los ángulos que ambas varillas forman con el eje OX.
# Obtenga las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos.
# ¿Es cíclica alguna de estas coordenadas?
Si en lugar de esas coordenadas se usan el ángulo ϕ que la varilla OA forma con OX y el ángulo θ que AB forma con la prolongación de OA
<ol start="4">
<li>¿Cómo queda la lagrangiana?</li>
<li>¿Y las ecuaciones de movimiento para estos ángulos?</li>
<li>¿Es cíclica alguna de estas coordenadas?</li>
<li>Determine dos constantes de movimiento para este sistema.</li>
<li>Con ayuda de estas constantes, reduzca el problema a una única ecuación de movimiento para el ángulo θ.</li>
</ol>
Suponga ahora que la varilla 2 es forzada a girar con velocidad angular constante Ω en torno a O.
<ol start ="9">
<li>Escriba la lagrangiana para este sistema en función del ángulo θ.</li>
<li>Obtenga la ecuación de movimiento para θ. ¿Es la misma que en el apartado (8)?</li>
<li>¿Se conserva la energía en este sistema? ¿Hay alguna otra constante de movimiento?</li>
</ol>

[[Dos barras articuladas (CMR)|Solución]]

==Dos rodillos unidos por un resorte==
Se tiene un sistema de dos rodillos (“2” y “3”) de la misma masa m y el mismo radio R, situados sobre una superficie horizontal (sólido 1), sobre la que pueden rodar sin deslizar. Los dos rodillos no son idénticos. El “2” es un cilindro macizo homogéneo (<math>\gamma=1/2</math>), mientras que el “3” tiene su masa concentrada en la superficie cilíndrica (<math>\gamma=1</math>). Los dos rodillos están conectados por un resorte de constante k y longitud natural <math>\ell_0</math>. Todo el sistema está sometido a la acción del peso.
<center>[[Archivo:dos-rodillos-muelle.png|800px]]</center>
Estando en reposo en una posición de equilibrio, se sujeta el cilindro 2 y se desplaza el 3 una cierta distancia A, manteniéndolos en reposo. Entonces se sueltan los dos.
# Halle la lagrangiana de este sistema, empleando como coordenadas generalizadas las posiciones <math>x_2</math> y <math>x_3</math> de las centros de los rodillos, medidas respecto a un sistema fijo.
# Halle las ecuaciones de movimiento para las posiciones de los centros de los rodillos, esto es, halle <math>\ddot{x}_2</math> y <math>\ddot{x}_3</math> en función de las posiciones <math>x_2</math> y x_3.
Si en lugar de <math>x_2</math> y <math>x_3</math> se emplean como coordenadas <math>x_2</math> y <math>x</math>, definida x como la longitud del resorte menos su longitud en el equilibrio
<ol start="3">
<li>¿Cómo queda la lagrangiana en función de <math>x_2</math> y <math>x</math>?</li>
<li>¿Y las ecuaciones de movimiento para estas coordenadas?</li>
<li>¿Cuál es la frecuencia de oscilación del resorte?</li>
<li>¿Y la posición de cada masa como función del tiempo?</li>
<li>¿Qué constantes de movimiento existen en este problema?</li>
</ol>

[[Dos rodillos unidos por un resorte (CMR)|Solución]]

==Estudio analítico de una partícula dentro de un tubo==
Una partícula de masa <math>m</math> se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular Ω constante alrededor del eje OZ
# Determine la lagrangiana de este sistema.
# Halle la ecuación de movimiento para la coordenada radial ρ.
# ¿Se conserva la energía en este sistema? Si no es así, ¿hay alguna otra magnitud similar que sí se conserve?
# Con ayuda de los multiplicadores de Lagrange, calcule la fuerza de reacción generalizada que el tubo ejerce sobre la partícula.

[[Estudio analítico de una partícula dentro de un tubo|Solución]]

==Percusión sobre una barra. Estudio analítico==
Suponga una barra homogénea, de masa <math>m</math> y longitud <math>b</math>, situada horizontalmente sobre un plano sin rozamiento.

Estando la barra en reposo, se efectúa sobre ella una percusión <math>\vec{P}_0</math> perpendicular a la dirección de la barra y a una distancia c de su centro.

Empleando las técnicas de la mecánica analítica, determine la velocidad del centro de la barra y la velocidad angular de ésta, así como las posibles fuerzas y momentos impulsivos de reacción, en los casos siguientes:

# La barra puede moverse libremente por el plano.
# La barra se halla articulada por un extremo A a una pared inmóvil.
# La barra se halla empotrada por su extremo A a una pared inmóvil.

[[Percusión sobre una barra. Estudio analítico|Solución]]

==Percusión sobre un sistema articulado==
Considerando el sistema de dos barras articuladas del problema “[[Dos barras articuladas (CMR)|dos barras articuladas]]” suponga que el sistema se halla completamente extendido y en reposo. Entonces, se efectúa una percusión <math>\vec{P}_0</math> perpendicular a la dirección de las barras y a una distancia c de la articulación A entre las dos barras.

Determine la velocidad angular de cada barra, así como la velocidad de los puntos A y B (extremo libre de la segunda barra) en los casos:

# Se golpea la barra OA en un punto D a una distancia c de la articulación A.
# Se golpea la barra AB en un punto D a una distancia c de la articulación A.

[[Percusión sobre un sistema articulado|Solución]]

[[Categoría:Problemas de mecánica analítica (CMR)|0]]

Problemas de mecánica analítica (CMR)

2024-12-19T12:53:33Z

Pedro: /* Estudio analítico de máquina de Atwood */

Disco apoyado en dos esquinas (Ene. 2021 G.I.C.)

2024-12-19T12:24:29Z

Pedro: /* Solución */

= Enunciado =
[[File:F1GIC_discoEstatica-ennciado.png|right]]
El disco de la figura tiene masa <math>4m_0</math> y radio <math>R</math>. El disco se apoya sobre dos esquinas. El contacto con la esquina <math>A</math> es liso mientra que con la esquina <math>B</math> es rugoso con coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>. El ángulo <math>\beta</math> verifica
<center>
<math>
\cos\beta = 3/5, \qquad \mathrm{sen}\,\beta=4/5.
</math>
</center>
Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\imath}</math> actúa sobre el punto <math>C</math>.

#Dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco.
#Encuentra el valor de las fuerzas que actúan sobre el disco en situación de equilibrio estático.
#¿Para qué valor de <math>F_0</math> el disco empiece a rotar alrededor del eje que pasa por <math>B</math>?
#Si el valor de <math>F_0</math> es la solución del apartado anterior, ¿qué condición debe cumplir <math>\mu</math> para que el disco no deslice en <math>B</math>?

= Solución =
[[File:F1GIC_discoEstatica-fuerzas.png|right]]

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre el disco. En cada esquina hay dos fuerzas vinculares radiales que se encargan de que el disco no penetre en la esquina. En el punto <math>B</math> hay además una fuerza de rozamiento que intenta impedir que el disco resbale sobre la esquina derecha.

Las expresiones de las fuerzas son, observando donde aparece el ángulo <math>\beta</math> en la figura,
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
\vec{P} = -mg \,\vec{\jmath} = -4m_0g\,\vec{\jmath} & (G)\\
&\\
\vec{A} = A\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath} + A\cos\beta\,\vec{\jmath} = \dfrac{4}{5}A\,\vec{\imath} + \dfrac{3}{5}A\,\vec{\jmath}& (A)\\
&\\
\vec{B} = -B\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath} + B\cos\beta\,\vec{\jmath} = -\dfrac{4}{5}B\,\vec{\imath} + \dfrac{3}{5}B\,\vec{\jmath}& (B)\\
&\\
\vec{B}_R = B_R\cos\beta\,\vec{\imath} + B_R\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}
=\dfrac{3}{5}B_R\,\vec{\imath} + \dfrac{4}{5}\,B_R\,\vec{\jmath} & (B)\\
&\\
\vec{F} = F_0\,\vec{\imath} & (C)
\end{array}
</math>
</center>
Tenemos tres incógnitas: <math>\{A, B, B_R\}</math>. Aplicamos las condiciones de equilibrio.

'''Sumatorio de fuerzas nulo'''

Obtenemos dos ecuaciones
<center>
<math>
\vec{P} + \vec{A} + \vec{B} + \vec{B}_R + \vec{F} = \vec{0}
\to
\left\{
\begin{array}{llr}
X)\quad& 4A -4B + 3B_R + 5F_0= 0 & (1)\\
Y)\quad& 3A + 3B + 4B_R = 20m_0g & (2)
\end{array}
\right.
</math>
</center>

''' Momento neto de fuerzas nulo '''

Calculamos el momento respecto del punto <math>G</math>. Sólo las fuerzas <math>\vec{F}</math> y <math>\vec{B}_R</math> crean momento respecto de este punto.
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{M}_O = & \overrightarrow{GC}\times\vec{F} + \overrightarrow{GB}\times\vec{B}_R= (F_0-B_R)R\,\vec{k} = \vec{0} \qquad (3)\\
& \overrightarrow{GC}\times\vec{F} = -F_0R\,\vec{k}\\
& \overrightarrow{GB}\times\vec{B}_R = B_RR\,\vec{k}
\end{array}
</math>
</center>
Estos momentos son fáciles de calcular porque los vectores implicados en los productos vectoriales son mutuamente perpendiculares.

Resolviendo las ecuaciones obtenemos las fuerzas
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{A} = (2m_0g-F_0)\,\left(\dfrac{4}{3}\,\vec{\imath} + \vec{\jmath}\right)\\
\vec{B} = (10m_0g+F_0)\,\left(-\dfrac{4}{15}\,\vec{\imath} + \dfrac{1}{5}\,\vec{\jmath}\right)\\
\vec{B}_R = \dfrac{1}{5}\,F_0\,\left(3\,\vec{\imath} + 4\,\vec{\jmath}\right)
\end{array}
</math>
</center>

''' Valor de <math>F_0</math> para que el disco empiece a rotar '''

Esto ocurrirá cuando el disco se separe en el punto <math>A</math>. Para que esto suceda debe anularse la fuerza vincular en <math>A</math>
<center>
<math>
|\vec{A}| = \dfrac{5}{3}\,|2m_0g-F_0|=0 -> F_0 = 2m_0g.
</math>
</center>

'''Condición sobre <math>\mu</math> para que el disco no deslice'''

Cuando <math>F_0=2m_0g</math> las fuerzas en <math>B</math> son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{B} = \dfrac{4}{5}m_0g\,\left(-4\,\vec{\imath} + 3\,\vec{\jmath}\right)\\
\vec{B}_R = \dfrac{2}{5}m_0g \,(3\,\vec{\imath}+ 4\,\vec{\jmath})
\end{array}
</math>
</center>
La condición de no deslizamiento en <math>B</math> es
<center>
<math>
|\vec{B}_R|> \mu|\vec{B}|
\to
\mu>1/2
</math>
</center>

[[Categoría: Problemas de Estática]]
[[Categoría: Problemas de Estática del Sólido Rígido]]
[[Categoría:Problemas de examen]]
[[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]

Disco apoyado en dos esquinas (Ene. 2021 G.I.C.)

2024-12-19T12:23:35Z

Pedro: /* Solución */

= Enunciado =
[[File:F1GIC_discoEstatica-ennciado.png|right]]
El disco de la figura tiene masa <math>4m_0</math> y radio <math>R</math>. El disco se apoya sobre dos esquinas. El contacto con la esquina <math>A</math> es liso mientra que con la esquina <math>B</math> es rugoso con coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>. El ángulo <math>\beta</math> verifica
<center>
<math>
\cos\beta = 3/5, \qquad \mathrm{sen}\,\beta=4/5.
</math>
</center>
Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\imath}</math> actúa sobre el punto <math>C</math>.

#Dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco.
#Encuentra el valor de las fuerzas que actúan sobre el disco en situación de equilibrio estático.
#¿Para qué valor de <math>F_0</math> el disco empiece a rotar alrededor del eje que pasa por <math>B</math>?
#Si el valor de <math>F_0</math> es la solución del apartado anterior, ¿qué condición debe cumplir <math>\mu</math> para que el disco no deslice en <math>B</math>?

= Solución =
[[File:F1GIC_discoEstatica-fuerzas.png|right]]

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre el disco. En cada esquina hay dos fuerzas vinculares radiales que se encargan de que el disco no penetre en la esquina. En el punto <math>B</math> hay además una fuerza de rozamiento que intenta impedir que el disco resbale sobre la esquina derecha.

Las expresiones de las fuerzas son, observando donde aparece el ángulo <math>\beta</math> en la figura,
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
\vec{P} = -mg \,\vec{\jmath} = -4m_0g\,\vec{\jmath} & (G)\\
&\\
\vec{A} = A\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath} + A\cos\beta\,\vec{\jmath} = \dfrac{4}{5}A\,\vec{\imath} + \dfrac{3}{5}A\,\vec{\jmath}& (A)\\
&\\
\vec{B} = -B\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath} + B\cos\beta\,\vec{\jmath} = -\dfrac{4}{5}B\,\vec{\imath} + \dfrac{3}{5}B\,\vec{\jmath}& (B)\\
&\\
\vec{B}_R = B_R\cos\beta\,\vec{\imath} + B_R\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}
=\dfrac{3}{5}B_R\,\vec{\imath} + \dfrac{4}{5}\,B_R\,\vec{\jmath} & (B)\\
&\\
\vec{F} = F_0\,\vec{\imath} & (C)
\end{array}
</math>
</center>
Tenemos tres incógnitas: <math>\{A, B, B_R\}</math>. Aplicamos las condiciones de equilibrio.

'''Sumatorio de fuerzas nulo'''

Obtenemos dos ecuaciones
<center>
<math>
\vec{P} + \vec{A} + \vec{B} + \vec{B}_R + \vec{F} = \vec{0}
\to
\left\{
\begin{array}{llr}
X)\quad& 4A -4B + 3B_R + F_0= 0 & (1)\\
Y)\quad& 3A + 3B + 4B_R = 20m_0g & (2)
\end{array}
\right.
</math>
</center>

''' Momento neto de fuerzas nulo '''

Calculamos el momento respecto del punto <math>G</math>. Sólo las fuerzas <math>\vec{F}</math> y <math>\vec{B}_R</math> crean momento respecto de este punto.
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{M}_O = & \overrightarrow{GC}\times\vec{F} + \overrightarrow{GB}\times\vec{B}_R= (F_0-B_R)R\,\vec{k} = \vec{0} \qquad (3)\\
& \overrightarrow{GC}\times\vec{F} = -F_0R\,\vec{k}\\
& \overrightarrow{GB}\times\vec{B}_R = B_RR\,\vec{k}
\end{array}
</math>
</center>
Estos momentos son fáciles de calcular porque los vectores implicados en los productos vectoriales son mutuamente perpendiculares.

Resolviendo las ecuaciones obtenemos las fuerzas
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{A} = (2m_0g-F_0)\,\left(\dfrac{4}{3}\,\vec{\imath} + \vec{\jmath}\right)\\
\vec{B} = (10m_0g+F_0)\,\left(-\dfrac{4}{15}\,\vec{\imath} + \dfrac{1}{5}\,\vec{\jmath}\right)\\
\vec{B}_R = \dfrac{1}{5}\,F_0\,\left(3\,\vec{\imath} + 4\,\vec{\jmath}\right)
\end{array}
</math>
</center>

''' Valor de <math>F_0</math> para que el disco empiece a rotar '''

Esto ocurrirá cuando el disco se separe en el punto <math>A</math>. Para que esto suceda debe anularse la fuerza vincular en <math>A</math>
<center>
<math>
|\vec{A}| = \dfrac{5}{3}\,|2m_0g-F_0|=0 -> F_0 = 2m_0g.
</math>
</center>

'''Condición sobre <math>\mu</math> para que el disco no deslice'''

Cuando <math>F_0=2m_0g</math> las fuerzas en <math>B</math> son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{B} = \dfrac{4}{5}m_0g\,\left(-4\,\vec{\imath} + 3\,\vec{\jmath}\right)\\
\vec{B}_R = \dfrac{2}{5}m_0g \,(3\,\vec{\imath}+ 4\,\vec{\jmath})
\end{array}
</math>
</center>
La condición de no deslizamiento en <math>B</math> es
<center>
<math>
|\vec{B}_R|> \mu|\vec{B}|
\to
\mu>1/2
</math>
</center>

[[Categoría: Problemas de Estática]]
[[Categoría: Problemas de Estática del Sólido Rígido]]
[[Categoría:Problemas de examen]]
[[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]

Disco apoyado en dos esquinas (Ene. 2021 G.I.C.)

2024-12-19T12:10:09Z

Pedro: /* Solución */

= Enunciado =
[[File:F1GIC_discoEstatica-ennciado.png|right]]
El disco de la figura tiene masa <math>4m_0</math> y radio <math>R</math>. El disco se apoya sobre dos esquinas. El contacto con la esquina <math>A</math> es liso mientra que con la esquina <math>B</math> es rugoso con coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>. El ángulo <math>\beta</math> verifica
<center>
<math>
\cos\beta = 3/5, \qquad \mathrm{sen}\,\beta=4/5.
</math>
</center>
Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\imath}</math> actúa sobre el punto <math>C</math>.

#Dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco.
#Encuentra el valor de las fuerzas que actúan sobre el disco en situación de equilibrio estático.
#¿Para qué valor de <math>F_0</math> el disco empiece a rotar alrededor del eje que pasa por <math>B</math>?
#Si el valor de <math>F_0</math> es la solución del apartado anterior, ¿qué condición debe cumplir <math>\mu</math> para que el disco no deslice en <math>B</math>?

= Solución =
[[File:F1GIC_discoEstatica-fuerzas.png|right]]

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre el disco. En cada esquina hay dos fuerzas vinculares radiales que se encargan de que el disco no penetre en la esquina. En el punto <math>B</math> hay además una fuerza de rozamiento que intenta impedir que el disco resbale sobre la esquina derecha.

Las expresiones de las fuerzas son, observando donde aparece el ángulo <math>\beta</math> en la figura,
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
\vec{P} = -mg \,\vec{\jmath} = -4m_0g\,\vec{\jmath} & (G)\\
&\\
\vec{A} = A\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath} + A\cos\beta\,\vec{\jmath} = \dfrac{4}{5}A\,\vec{\imath} + \dfrac{3}{5}A\,\vec{\jmath}& (A)\\
&\\
\vec{B} = -B\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath} + B\cos\beta\,\vec{\jmath} = -\dfrac{4}{5}B\,\vec{\imath} + \dfrac{3}{5}B\,\vec{\jmath}& (B)\\
&\\
\vec{B}_R = B_R\cos\beta\,\vec{\imath} + B_R\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}
=\dfrac{3}{5}B_R\,\vec{\imath} + \dfrac{4}{5}\,B_R\,\vec{\jmath} & (B)\\
&\\
\vec{F} = F_0\,\vec{\imath} & (C)
\end{array}
</math>
</center>
Tenemos tres incógnitas: <math>\{A, B, B_R\}</math>. Aplicamos las condiciones de equilibrio.

'''Sumatorio de fuerzas nulo'''

Obtenemos dos ecuaciones
<center>
<math>
\vec{P} + \vec{A} + \vec{B} + \vec{B}_R + \vec{F} = \vec{0}
\to
\left\{
\begin{array}{llr}
X)\quad& 4A -4B + 3B_R = 0 & (1)\\
Y)\quad& 3A + 3B + 4B_R = 20m_0g & (2)
\end{array}
\right.
</math>
</center>

''' Momento neto de fuerzas nulo '''

Calculamos el momento respecto del punto <math>G</math>. Sólo las fuerzas <math>\vec{F}</math> y <math>\vec{B}_R</math> crean momento respecto de este punto.
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{M}_O = & \overrightarrow{GC}\times\vec{F} + \overrightarrow{GB}\times\vec{B}_R= (F_0-B_R)R\,\vec{k} = \vec{0} \qquad (3)\\
& \overrightarrow{GC}\times\vec{F} = -F_0R\,\vec{k}\\
& \overrightarrow{GB}\times\vec{B}_R = B_RR\,\vec{k}
\end{array}
</math>
</center>
Estos momentos son fáciles de calcular porque los vectores implicados en los productos vectoriales son mutuamente perpendiculares.

Resolviendo las ecuaciones obtenemos las fuerzas
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{A} = (2m_0g-F_0)\,\left(\dfrac{4}{3}\,\vec{\imath} + \vec{\jmath}\right)\\
\vec{B} = (10m_0g+F_0)\,\left(-\dfrac{4}{15}\,\vec{\imath} + \dfrac{1}{5}\,\vec{\jmath}\right)\\
\vec{B}_R = \dfrac{1}{5}\,F_0\,\left(3\,\vec{\imath} + 4\,\vec{\jmath}\right)
\end{array}
</math>
</center>

''' Valor de <math>F_0</math> para que el disco empiece a rotar '''

Esto ocurrirá cuando el disco se separe en el punto <math>A</math>. Para que esto suceda debe anularse la fuerza vincular en <math>A</math>
<center>
<math>
|\vec{A}| = \dfrac{5}{3}\,|2m_0g-F_0|=0 -> F_0 = 2m_0g.
</math>
</center>

'''Condición sobre <math>\mu</math> para que el disco no deslice'''

Cuando <math>F_0=2m_0g</math> las fuerzas en <math>B</math> son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{B} = \dfrac{4}{5}m_0g\,\left(-4\,\vec{\imath} + 3\,\vec{\jmath}\right)\\
\vec{B}_R = \dfrac{2}{5}m_0g \,(3\,\vec{\imath}+ 4\,\vec{\jmath})
\end{array}
</math>
</center>
La condición de no deslizamiento en <math>B</math> es
<center>
<math>
|\vec{B}_R|> \mu|\vec{B}|
\to
\mu>1/2
</math>
</center>

[[Categoría: Problemas de Estática]]
[[Categoría: Problemas de Estática del Sólido Rígido]]
[[Categoría:Problemas de examen]]
[[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]

Partícula en hilo vertical con dos muelles (Nov. 2017 G.I.C.)

2024-10-28T15:39:47Z

Pedro: /* Fuerzas sobre la partícula */

= Enunciado =
[[Imagen:F1GIC_particula_muelles_enunciado.png|right|300px]]
Una partícula de masa <math>m</math> puede moverse a lo largo del eje vertical <math>Y</math>. Está
conectada a dos muelles como se indica en la figura. El muelle anclado en <math>A</math>
tiene constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula. El muelle anclado en <math>O</math>
tiene constante elástica <math>k</math> y longitud natural <math>d</math>. El contacto entre la masa y
el eje <math>Y</math> es rugoso con coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>. La partícula
puede moverse a lo largo de todo el eje <math>Y</math>, por encima y por debajo del punto <math>O</math>.
#Dibuja el esquema de cuerpo libre de la partícula, teniendo en cuenta el rozamiento, indicando de que fuerzas se conoce su sentido a priori y de cuales no.
#Escribe las expresiones que dan las fuerzas de los muelles.
#Encuentra la posición de equilibrio sin rozamiento.
#Volviendo a considerar el rozamiento, y asumiendo que <math>mg=kd/2</math>, encuentra el rango de posiciones de equilibrio.
#Considera de nuevo que no hay rozamiento. Ahora no hay ninguna condición sobre <math>mg</math>. ¿Cual es el período de las oscilaciones de la partícula?
#Supongamos ahora que el sistema se ajusta de modo que <math>g=10.0\,\mathrm{m/s^2}</math>, <math>k=10.0\,\mathrm{N/m}</math>, <math>m=1.00\,\mathrm{kg}</math>, <math>d=1.00\,\mathrm{m}</math>. En el instante inicial la masa se suelta en reposo desde el punto <math>y=1.00\,\mathrm{m}</math>. ¿Cuál es la posición de la partícula en cada instante?

= Solución =

== Fuerzas sobre la partícula ==
[[Imagen:F1GIC_particula_muelles_fuerzas.png|right|250px]]
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula: el peso, los dos muelles,
la fuerza vincular normal y la de rozamiento. En rojo están las fuerzas de las que se conoce su dirección
y sentido antes de resolver el problema (el peso, el muelle en A y la normal). En negro las que no se
conoce el sentido a priori. Hay que recordar que el muelle anclado en O tiene longitud natural no nula, por
lo que puede apuntar en los dos sentidos.

Las expresiones de estas fuerzas son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{P} = -mg\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_A = -k\overrightarrow{AP} = -kd\,\vec{\imath} - ky\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_O = -k(y-d)\,\vec{\jmath},\\
\vec{\Phi} = N\,\vec{\imath},\\
\vec{F}_R = f\,\vec{\jmath}.
\end{array}
</math>
</center>
Aquí, <math>y</math> es la coordenada de la partícula en el eje <math>OY</math>.

== Posición de equilibrio sin rozamiento ==
En situación de vínculo liso, la condición de equilibrio es
<center>
<math>
\vec{P} + \vec{F}_A + \vec{F}_O + \vec{\Phi}=\vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & -kd + N = 0 & (1)\\
Y) & \to & -mg +kd - 2ky = 0 & (2)
\end{array}
\right.
</math>
</center>
De estas ecuaciones encontramos
<center>
<math>
y_{eq} = \dfrac{1}{2}\left(d-\dfrac{mg}{k}\right),
\qquad
\vec{\Phi} = kd\,\vec{\imath}.
</math>
</center>

== Equilibrio con rozamiento ==
El efecto del rozamiento es que, en vez de tener una posición de equilibrio, tenemos un intervalo
de posibles posiciones de equilibrio. La condición de equilibrio incluyendo la fuerza de rozamiento es
<center>
<math>
\vec{P} + \vec{F}_A + \vec{F}_O + \vec{\Phi} + \vec{F}_R=\vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & -kd + N = 0 & (3)\\
Y) & \to & -mg +kd - 2ky + f = 0 & (4)
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Para una posición dada, para que haya equilibrio las fuerzas de rozamiento y normal han de ser
<center>
<math>
\vec{F}_{R} = \dfrac{k}{2}\left(4y - d\right)\,\vec{\jmath},
\qquad
\vec{\Phi} = kd\,\vec{\imath}.
</math>
</center>
Hemos usado que, en este apartado, <math>mg = kd/2</math>. Para que la fuerza de rozamiento sea capaz de
mantener el equilibrio debe ocurrir
<center>
<math>
|\vec{F}_R| \leq \mu|\vec{\Phi}|
\Longrightarrow
|4y-d| \leq 2\mu d.
</math>
</center>
Tenemos dos posibles situaciones
#<math>4y>d \Longrightarrow |4y-d| = 4y-d \leq 2\mu d \Longrightarrow y\leq (1+2\mu)/4d</math>
#<math>4y<d \Longrightarrow |4y-d| = d-4y \leq 2\mu d \Longrightarrow y\geq (1-2\mu)/4d</math>
Así pues, el intervalo de equilibrio es
<center>
<math>
\dfrac{1-2\mu}{4}d \leq y \leq \dfrac{1+2\mu}{4}d.
</math>
</center>

== Análisis dinámico ==
Volvemos a ignorar el rozamiento y analizamos la situación con movimiento. La ecuación
de movimiento es proporcionada por la Segunda Ley de Newton
<center>
<math>
m\vec{a} = \vec{P} + \vec{F}_A + \vec{F}_O + \vec{\Phi}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & 0 = -kd + N & (5)\\
Y) & \to & ma = -mg +kd - 2ky & (6)
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Como <math>a=\ddot{y}</math>, lq ecuación (6) puede escribirse
<center>
<math>
\ddot{y} = -\dfrac{2k}{m}y + \dfrac{kd}{m} - g.
</math>
</center>
Esta es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia angular y período
<center>
<math>
\omega = \sqrt{\dfrac{2k}{m}},
\qquad
T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{2k}},
</math>
</center>
Con los valores numéricos del enunciado la ecuación diferencial queda
<center>
<math>
\ddot{y} = -20y
</math>
</center>
Con condiciones iniciales
<center>
<math>
y(0) = 1\,\mathrm{(m)}, \qquad \dot{y}(0) = 0.
</math>
</center>
La solución general puede escribirse de la forma
<center>
<math>
y = a\cos(\sqrt{20}t) + b\,\mathrm{sen}\,(\sqrt{20}t)
</math>
</center>
y por tanto
<center>
<math>
\dot{y} = -a\sqrt{20}\,\mathrm{sen}\,(\sqrt{20}t) + b\sqrt{20}\cos(\sqrt{20}t).
</math>
</center>
Aplicando las condiciones iniciales llegamos a
<center>
<math>
y = 1.00\cos(\sqrt{20}t)\,\mathrm{(m)}
= 100\cos(\sqrt{20}t)\,\mathrm{(cm)}
</math>
</center>

[[Categoría:Dinámica del punto material|1]]
[[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula]]
[[Categoría:Problemas de examen]]
[[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]

Coches frenando en una autopista

2024-10-21T13:59:56Z

Pedro: /* Solución */

= Enunciado =

Dos coches ruedan por un tramo recto de autopista con la misma velocidad <math>v_0</math> y separados por una distancia <math>d_0</math>. En un instante dado, el coche que va delante frena con aceleración uniforme de módulo <math>a_0</math> hasta quedar parado. El coche que va detrás tarda un tiempo <math>t_f</math> en empezar a frenar con la misma aceleración que el primero.
#Determina como cambia la distancia entre los coches con el tiempo.
#Si <math>t_f=0.30\,\mathrm{s}</math>, <math>v_0=120\,\mathrm{km/h}</math> y <math>a_0=1.50\,\mathrm{m/s^2}</math>, calcula el valor mínimo de <math>d_0</math> para que los coches no colisionen.

= Solución =

[[Imagen:F1GIC_cochesAutopistaEsquema.png|right]]
El esquema mostrado a la derecha resume la situación descrita en el problema. En el instante inicial los dos coches tienen la misma velocidad y están separados una distancia <math>d_0</math>. En ese instante el coche que va delante (representado por <math>P_2</math>) empieza a frenar con aceleración constante <math>a_0</math>. El coche que va detras (<math>P_1</math>) sigue moviéndose con velocidad constante hasta el instante <math>t=t_f</math>. A partir de ese instante empieza a frenar con la misma aceleración que el 2.

Escogemos como eje <math>X</math> la recta sobre la que se mueven los coches. Colocamos el origen en la posición del coche 1 en el instante incial. El coche 2 se mueve siempre con aceleración <math>-a_0</math>, su velocidad inicial es <math>v_0</math> y su posición inicial es <math>d_0</math>. Como realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se tiene
<center>
<math>
P_2 \to
\left\{
\begin{array}{l}
v_2 = v_0 - a_0 t\\
\\
x_2 = d_0 - v_0t - \dfrac{1}{2}a_0 t^2
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Para el coche 1 hay que considerar dos intervalos de tiempo, <math>0<t<t_f</math> y <math>t>t_f</math>. En el primero realiza un movimiento rectilíneo uniforme y en el segundo un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Tenemos
<center>
<math>
P_1 \to
\left\{
\begin{array}{l}
v_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
v_0 & 0<t\leq t_f\\
v_0 - a_0(t-t_f) & t\geq t_f
\end{array}
\right.
\\
\\
x_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
v_0t & 0<t\leq t_f\\
\\
v_0t_f + v_0(t-t_f) - \dfrac{1}{2}a_0(t-t_f)^2 & t\geq t_f
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
</math>
</center>
En <math>t=t_f</math> el coche 1 se encuentra en la coordenada <math>v_0t_f</math> y tiene velocidad <math>v_0</math>. Este valor de tiempo es el instante inicial para el movimiento en el segundo intervalo de tiempo. Por eso en las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado ponemos <math>t-t_f</math> en vez de <math>t_f</math>.

Como se ve en el esquema la distancia entre los dos coches es
<center>
<math>
d(t) = x_2 - x_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t^2 & 0<t\leq t_f\\
\\
d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f(2t-t_f) & t\geq t_f
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Para cada intervalo hemos usado la expresión correspondiente de <math>x_1</math>. La de <math>x_2</math> es la misma para todo tiempo. Se puede comprobar que si ponemos <math>t=t_f</math> en las expresiones anteriores los dos valores coinciden, como debe ser.

El instante de tiempo en que se para el coche 2 es
<center>
<math>
v_2(t_s) = 0 \longrightarrow t_s = v_0/a_0.
</math>
</center>
El coche 1 empieza a frenar después de que el otro frene.
Para que los dos coches no colisionen es necesario que en <math>t=t_s</math>la distancia entre ellos sea mayor que cero. Escogiendo la expresión de <math>d(t)</math> para <math>t>t_s</math> tenemos
<center>
<math>
d(t_s) = d_0 - v_0t_f + \dfrac{1}{2}a_0t_f^2>0
</math>
</center>
Pasando los dos últimos sumando a la derecha obtenemos la condición
<center>
<math>
d_0 > \dfrac{1}{2}t_f\,(2v_0-a_0t_f)
</math>
</center>
Usando los valores numéricos del apartado b obtenemos
<center>
<math>
d_0 = 9.92 \,\mathrm{m}.
</math>
</center>
Esta distancia corresponde a la longitud de dos coches, aproximadamente.

== Comentario ==
Si el valor de <math>d_0</math> es lo bastante pequeño puede ocurrir que el coche 1 choque con el 2 antes de que empiece a frenar, es decir, en el intervalo <math>t<t_f</math>. Para que esto no ocurra debe cumplirse
<center>
<math>
d(t) = d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 > 0
\longrightarrow
d_0 > \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 = 6.75\,\mathrm{cm}.
</math>
</center>
Hemos usado la expresión de <math>d(t)</math> para el intervalo de tiempo <math>t<t_f</math> y los valores numéricos del apartado b.

[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]

Coches frenando en una autopista

2024-10-21T13:58:37Z

Pedro: /* Solución */

= Enunciado =

Dos coches ruedan por un tramo recto de autopista con la misma velocidad <math>v_0</math> y separados por una distancia <math>d_0</math>. En un instante dado, el coche que va delante frena con aceleración uniforme de módulo <math>a_0</math> hasta quedar parado. El coche que va detrás tarda un tiempo <math>t_f</math> en empezar a frenar con la misma aceleración que el primero.
#Determina como cambia la distancia entre los coches con el tiempo.
#Si <math>t_f=0.30\,\mathrm{s}</math>, <math>v_0=120\,\mathrm{km/h}</math> y <math>a_0=1.50\,\mathrm{m/s^2}</math>, calcula el valor mínimo de <math>d_0</math> para que los coches no colisionen.

= Solución =

[[Imagen:F1GIC_cochesAutopistaEsquema.png|right]]
El esquema mostrado a la derecha resume la situación descrita en el problema. En el instante inicial los dos coches tienen la misma velocidad y están separados una distancia <math>d_0</math>. En ese instante el coche que va delante (representado por <math>P_2</math>) empieza a frenar con aceleración constante <math>a_0</math>. El coche que va detras (<math>P_1</math>) sigue moviéndose con velocidad constante hasta el instante <math>t=t_f</math>. A partir de ese instante empieza a frenar con la misma aceleración que el 2.

Escogemos como eje <math>X</math> la recta sobre la que se mueven los coches. Colocamos el origen en la posición del coche 1 en el instante incial. El coche 2 se mueve siempre con aceleración <math>-a_0</math>, su velocidad inicial es <math>v_0</math> y su posición inicial es <math>d_0</math>. Como realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se tiene
<center>
<math>
P_2 \to
\left\{
\begin{array}{l}
v_2 = v_0 - a_0 t\\
\\
x_2 = d_0 - v_0t - \dfrac{1}{2}a_0 t^2
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Para el coche 1 hay que considerar dos intervalos de tiempo, <math>0<t<t_f</math> y <math>t>t_f</math>. En el primero realiza un movimiento rectilíneo uniforme y en el segundo un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Tenemos
<center>
<math>
P_1 \to
\left\{
\begin{array}{l}
v_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
v_0 & 0<t\leq t_f\\
v_0 - a_0(t-t_f) & t\geq t_f
\end{array}
\right.
\\
\\
x_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
v_0t & 0<t\leq t_f\\
\\
v_0t_f + v_0(t-t_f) - \dfrac{1}{2}a_0(t-t_f)^2 & t\geq t_f
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
</math>
</center>
En <math>t=t_f</math> el coche 1 se encuentra en la coordenada <math>v_0t_f</math> y tiene velocidad <math>v_0</math>. Este valor de tiempo es el instante inicial para el movimiento en el segundo intervalo de tiempo. Por eso en las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado ponemos <math>t-t_f</math> en vez de <math>t_f</math>.

Como se ve en el esquema la distancia entre los dos coches es
<center>
<math>
d(t) = x_2 - x_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t^2 & 0<t\leq t_f\\
\\
d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f(2t-t_f) & t\leq t_f
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Para cada intervalo hemos usado la expresión correspondiente de <math>x_1</math>. La de <math>x_2</math> es la misma para todo tiempo. Se puede comprobar que si ponemos <math>t=t_f</math> en las expresiones anteriores los dos valores coinciden, como debe ser.

El instante de tiempo en que se para el coche 2 es
<center>
<math>
v_2(t_s) = 0 \longrightarrow t_s = v_0/a_0.
</math>
</center>
El coche 1 empieza a frenar después de que el otro frene.
Para que los dos coches no colisionen es necesario que en <math>t=t_s</math>la distancia entre ellos sea mayor que cero. Escogiendo la expresión de <math>d(t)</math> para <math>t>t_s</math> tenemos
<center>
<math>
d(t_s) = d_0 - v_0t_f + \dfrac{1}{2}a_0t_f^2>0
</math>
</center>
Pasando los dos últimos sumando a la derecha obtenemos la condición
<center>
<math>
d_0 > \dfrac{1}{2}t_f\,(2v_0-a_0t_f)
</math>
</center>
Usando los valores numéricos del apartado b obtenemos
<center>
<math>
d_0 = 9.92 \,\mathrm{m}.
</math>
</center>
Esta distancia corresponde a la longitud de dos coches, aproximadamente.

== Comentario ==
Si el valor de <math>d_0</math> es lo bastante pequeño puede ocurrir que el coche 1 choque con el 2 antes de que empiece a frenar, es decir, en el intervalo <math>t<t_f</math>. Para que esto no ocurra debe cumplirse
<center>
<math>
d(t) = d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 > 0
\longrightarrow
d_0 > \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 = 6.75\,\mathrm{cm}.
</math>
</center>
Hemos usado la expresión de <math>d(t)</math> para el intervalo de tiempo <math>t<t_f</math> y los valores numéricos del apartado b.

[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]

Archivo:F1GIC cochesAutopistaEsquema.png

2024-10-21T13:54:18Z

Pedro:

Problemas de cinemática del movimiento relativo (CMR)

2024-10-17T14:33:44Z

Pedro: /* Rotaciones finitas sucesivas de 90° */

= Problemas del boletín =
==[[Giro de un triedro (G.I.A.) | Giro de un triedro ]]==
[[Imagen:derivadas.gif|right]]
Los triedros <math>O_1X_1Y_1Z_1</math> y <math>OX_0Y_0Z_0</math> están definidos de modo que sus orígenes y los ejes <math>O_1Z_1</math> coinciden. El triedro "1" está en reposo y el triedro "0" gira respecto al "1" con velocidad angular uniforme <math>\vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{k}_1 =\omega\,\vec{k}_0</math>, de modo que el ángulo <math>\theta</math> indicado en la figura es <math>\theta = \omega\, t</math>.
#Calcula las derivadas de los vectores de la base del triedro "0" vistos desde el triedro "1".
#Dado el vector <math>\vec{A}(t) = a\,\vec{\imath}_0</math> calcula
<center>
<math>
\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_1 \qquad\qquad \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_0
</math>
</center>
#Expresa el resultado en los vectores de la base móvil (triedro "0") y la base fija (triedro "1").
#Haz el mismo cálculo para el vector <math>\vec{B}(t) = b\,t\,\vec{\imath}_0</math>

==[[ Hélice de un avión que gira (G.I.A.) | Hélice de un avión que gira ]]==
[[Imagen:avion_girando.gif|right]]

El avión (sólido "0") de la figura se mueve de modo que el centro <math>C</math> de su hélice describe una circunferencia de radio <math>L</math>. La velocidad angular de este giro es uniforme y su módulo es <math>|\vec{\omega}_{01}|=\Omega</math>. Además, la hélice (sólido "2"), cuyo radio es <math>R</math>, gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad también uniforme y de módulo <math>|\vec{\omega}_{20}|=\omega</math>. Se pide
#La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
#Aplicando la composición de velocidades, la velocidad <math>\vec{v}_{21}^P</math> y aceleración <math>\vec{a}_{21}^P</math> del punto más alto de la hélice (punto <math>P</math> en la figura).
# La reducción cinemática del movimiento {21} en <math>P</math> y la ecuación del E.I.R.M.D. ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido "1"?
# Calcule numéricamente <math>|\vec{v}_{21}^P|</math> y <math>|\vec{a}_{21}^P|</math> para los valores <math>R=1\,\mathrm{m}</math>, <math>L=100\,\mathrm{m}</math>, <math>\omega=100\,\mathrm{rad/s}</math> y <math>\Omega=1\,\mathrm{rad/s}</math>.

'''Nota:''' Se recomienda utilizar el triedro asociado al sólido "0" para resolver el problema.

==[[Barras articuladas con barra fija (Nov. 2019) | Barras articuladas con barra fija ]]==
[[File:MRGIC-2019-barras.png|right]]
Una barra delgada de longitud <math>2\sqrt{2}b</math> (sólido "0") está articulada en el punto
fijo <math>O</math>. En el otro extremo de la barra (punto <math>A</math>) se articula otra barra
(sólido "2") de longitud <math>\sqrt{2}b</math>. A su vez, el otro extremo de la barra 2 (punto
<math>B</math>) se articula en un pasador obligado a moverse sobre una barra fija
vertical. En todo instante la velocidad del punto <math>B</math> es <math>\vec{v}_0=
v_0\,\vec{\jmath}_1</math>, con <math>v_0>0</math> y constante. En el instante indicado en la
figura las dos barra son perpendiculares y forman un ángulo <math>\pi/4</math> con la
barra fija vertical. Todas las preguntas siguientes corresponden a este instante.

# Determina el vector de posición del punto <math>B</math> es
# Encuentra gráficamente y analíticamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21}.
#Calcula los vectores rotación de los movimientos {21} y {01}.
#Calcula el vector aceleración del movimiento {21}.

= Otros problemas =
==Rotaciones finitas sucesivas de 90°==
Se tiene un sólido situado de tal manera que inicialmente los sistemas de referencia fijo, “1” y ligado, “2”, coinciden.
# Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a <math>{OY}_1</math> y a continuación +90° en torno a <math>{OX}_1</math>. ¿Cuál es la matriz de rotación que permite pasar de las coordenadas (X,Y,Z) en la posición final del sistema ligado a las coordenadas en el sistema fijo (x,y,z)? ¿Cuál es el eje de rotación de la composición? ¿Cuál es el ángulo girado?
# ¿Cómo cambian los resultados anteriores si, partiendo de la posición inicial se hace girar en primer lugar +90° en torno a <math>{OX}_1</math> y a continuación +90° en torno a <math>{OY}_1</math>?
# ¿Cómo cambian los resultados anteriores si, partiendo de la posición inicial se hace girar en primer lugar +90° en torno a <math>{OY}_1</math> y a continuación +90° en torno a <math>{OX}_2</math>?
# Si se realizan las dos rotaciones del apartado (a) (1º +90° en torno a <math>{OY}_1</math>; 2º +90° en torno a <math>{OX}_1</math>) y a continuación se gira −90° en torno a <math>{OY}_1</math> seguido de −90° en torno a <math>{OX}_1</math>, ¿vuelve el sólido a su posición inicial? Si no es así, ¿cuál es el eje de rotación y el ángulo girado?

[[Rotaciones finitas sucesivas de 90° (CMR)|Solución]]

==Rotaciones finitas sucesivas==
¿Cómo quedan los resultados del [[Rotaciones_finitas_sucesivas_de_90°_(CMR)|problema anterior]] si los giros no son de +90° sino de <math>\beta=\arctan(3/4)</math>? (recomendable hacer los cálculos con ayuda de un ordenador).

[[Rotaciones finitas sucesivas (CMR)|Solución]]

==Composición de dos rotaciones de 90°==
Se tiene un sólido situado de tal manera que inicialmente los sistemas de referencia fijo, “1” y ligado, “2”, coinciden.
# Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a <math>{OY}_1</math> y a continuación −90° en torno a un eje paralelo a <math>{OY}_1</math> por <math>\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_1</math>. ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
# Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a <math>{OY}_1</math> y a continuación +90° en torno a un eje paralelo a <math>{OY}_1</math> por <math>\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_1</math>. ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
# Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a <math>{OY}_1</math> y a continuación −90° en torno a un eje paralelo a <math>{OZ}_1</math> por <math>\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_1</math>. ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
[[Composición de dos rotaciones de 90° (CMR)|Solución]]

==Velocidad relativa de dos vagones==
Se tienen dos vagonetas A y B (sólidos “2” y “3”), que avanzan por raíles sobre el suelo horizontal (sólido “1”). En un momento dado las vagonetas se mueven paralelamente respecto al suelo con velocidades <math>\vec{v}_{21}^A=\vec{v}_{31}^B=v_0 \vec{\imath}</math>. El vector de posición relativo entre las dos vagonetas es <math>\overrightarrow{AB}=b\vec{\jmath}</math>.
Los ejes de los tres sistemas se toman paralelos de forma que los vectores de las respectivas bases son coincidentes en ese instante.
Halle las velocidades relativas <math>\vec{v}_{23}^A</math> y <math>\vec{v}_{32}^B</math> en los siguientes casos:
# Las vagonetas se mueven por vías rectilíneas paralelas.
# La vagoneta B se mueve por una vía circular de radio R, mientras que A se mueve por una vía rectilínea. El instante descrito es el de máximo acercamiento entre las dos vías.
# Las dos se mueven por vías circulares concéntricas, de radios R y R+b, respectivamente.
# Las dos se mueven por arcos de circunferencia de radio R con centros hacia el mismo lado.
# Las dos se mueven por arcos de circunferencia de radio R con centros en lados opuestos.
<table class="bordeado">
<tr>
<td>[[Archivo:vagonetas-relativa.01.png|300px]]</td>
<td>[[Archivo:vagonetas-relativa.02.png|300px]]</td>
<td rowspan="3">[[Archivo:vagonetas-relativa.05.png|300px]]</td>
</tr>
<tr>
<th>(1)</th>
<th>(2)</th>
</tr>
<tr>
<td>[[Archivo:vagonetas-relativa.03.png|300px]]</td>
<td>[[Archivo:vagonetas-relativa.04.png|300px]]</td>
</tr>
<tr>
<th>(3)</th>
<th>(4)</th>
<th>(5)</th>
</tr>
</table>
[[Velocidad relativa de dos vagones|Solución]]

==Peonza rodante oblicua==
Una peonza está formada por una varilla de longitud <math>\ell=20\,\mathrm{cm}</math> ensartada en un disco de radio <math>R=15\,\mathrm{cm}</math>. Esta peonza se mueve de forma que el extremo O de la varilla está inmóvil mientras el centro G del disco describe un movimiento circular uniforme alrededor del eje <math>OZ_1</math> con rapidez <math>v_0=48\,\mathrm{cm/s}</math>. El disco rueda sin deslizar sobre el plano <math>OX_1Y_1</math>, de manera que en todo instante la velocidad del punto de contacto A es nula.
Para este movimiento, determine:

# La velocidad angular del sólido en el movimiento {21}.
# La velocidad del punto B, diametralmente opuesto a A, y del punto P situado en <math>25\vec{k}\,\mathrm{cm}</math>, considerado como punto del sólido.
# La aceleración angular del sólido.
# La aceleración de los puntos A, G, B, O y P, considerados como puntos del sólido.
<center>[[Archivo:Peonza-rodante.png|400px]] [[Archivo:Peonza-rodante-b.png]]</center>

Sugerencia: Introduzca un sólido intermedio “0” que simplemente gira en torno al eje OZ_1, de manera que el eje OX_0 siempre pasa por el O y por el punto de contacto con el suelo.

[[Peonza rodante oblicua (CMR)|Solución]]

==Peonza rodante horizontal==
Un disco de radio ''R'' (“sólido 3”) se encuentra ensartado mediante un rodamiento sin fricción en un eje horizontal de longitud ''h'' (“sólido 2”). Este eje está montado sobre un soporte vertical fijo de altura ''R''. El disco rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal <math>z=0</math> (“sólido 1”). Consideramos tres sistemas de referencia. Uno fijo en el suelo, uno ligado al disco, y uno intermedio en el que el eje <math>{OX}_2</math> es a lo largo de la barra horizontal y <math>{OZ}_2={OZ}_1</math> en todo momento. Sea <math>\phi(t)</math> el ángulo que el eje <math>{OX}_2</math> forma con el <math>{OX}_1</math>. En un instante dado <math>\phi=0\,</math>,<math>\dot{\phi}=\Omega</math>,<math>\ddot{\phi}=\alpha</math>. Para ese instante:
# Determine los vectores <math>\vec{\omega}_{21}</math>, <math>\vec{\omega}_{31}</math> y <math>\vec{\omega}_{32}</math>.
# Halle la posición de los ejes instantáneos de rotación en los movimientos {21}, {32} y {31}.
# Calcule las velocidades en el movimiento {31} y el {21} del punto A de contacto del disco con el suelo; del G, centro del disco, y de D, el punto más alto del disco.
# Halle las aceleraciones angulares <math>\vec{\alpha}_{21}</math>, <math>\vec{\alpha}_{32}</math> y <math>\vec{\alpha}_{31}</math>.
# Calcule las aceleraciones en los movimientos {31} y {32} de los puntos A, G y D del apartado (3).
<center>[[Archivo:Peonza-rodante-horizontal.png|400px]]</center>

[[Peonza rodante horizontal (CMR)|Solución]]

==Bola que rueda en carril==
Una bola (sólido “2”), de radio <math>R=15\,\mathrm{cm}</math>, se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos (sólido “1”), de radios <math>b=7\,\mathrm{cm}</math> y <math>c=25\,\mathrm{cm}</math>, situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de esta esfera es tal que en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles.
Consideramos como sólido móvil intermedio (“sólido 0”) al plano <math>O_1 X_0 Z_0</math> que contiene en todo instante al centro C de la esfera (ver figura).
<center>[[Archivo:Bola-carril.png|400px]]</center>
# ¿Cuántos grados de libertad tiene este sistema?
# Sea θ(t) el ángulo que forma el eje <math>{OX}_0</math> con el <math>{OX}_1</math>. Con ayuda del sólido intermedio halle los ejes instantáneos o permanentes de rotación de los movimientos {21}, {20} y {01}.
# Halle las velocidades angulares y aceleraciones angulares de los movimientos {21}, {20} y {01}
# Para el punto de la bola en contacto con el carril de mayor radio (punto B), determine <math>\vec{v}_20^B</math> y <math>\vec{a}_{21}^B</math>.

[[Bola que rueda en carril (CMR)|Solución]]

==Barra que desliza en eje rotatorio==
El armazón de barras paralelas a los ejes <math>OX_0</math> y <math>OZ_0</math> (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo OZ1, de tal modo que el eje OX0 permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo OX1Y1 (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud b, se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje OX0, mientras que su extremo B desliza a lo largo del eje OZ0. Utilizando los ángulos θ y φ (definidos en la figura), así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, determine:
# La velocidad de A, B y G (siendo G el punto medio de la barra) en los movimientos {01}, {20} y {21}, así como la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{21}</math>.
# ¿De qué tipo es el movimiento {21}? ¿Dónde está su EIRMD?
# La aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{21}</math> y las aceleraciones de A, B y G en los movimientos {01}, {20} y {21}
<center>[[Archivo:Barra-desliza-rota.png|400px]]</center>

[[Barra que desliza en eje rotatorio (CMR)|Solución]]

==Esfera en recipiente cilíndrico==
Se tiene un sistema formado por un recipiente cilíndrico (sólido “1”) con fondo pero sin tapa, de radio y altura 2R. En el interior de este recipiente se encuentra una esfera maciza homogénea (“sólido 2”) de masa m y radio R. Esta esfera se mueve de forma que rueda sin deslizar en todo momento sobre el fondo y la pared. El centro de la bola se mueve en todo momento con rapidez constante <math>v_0</math> alrededor del eje vertical.
Tomamos un tercer sistema de referencia intermedio “0”, que gira alrededor del eje <math>{OZ}_1</math>=OZ_0 de manera que el centro de la esfera siempre se encuentra en el plano <math>{OX}_0Z_0</math> . Con ayuda de este sistema determine y exprese:
# Las velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{01}</math>, <math>\vec{\omega}_{21}</math> y <math>\vec{\omega}_{20}</math>
# La posición de los tres ejes instantáneos de rotación (puede ayudarse de la figura)
# Las aceleraciones angulares <math>\vec{\alpha}_{01}</math>, <math>\vec{\alpha}_{20}</math> y <math>\vec{\alpha}_{21}</math>
# Las aceleraciones lineales de los puntos G (centro de la esfera), A (contacto con el fondo) y B (contacto con la pared) de la esfera 2 respecto al sistema de referencia fijo 1.
<center>[[Archivo:Esfera-recipiente-cilindrico.png|400px]]</center>
[[Esfera en recipiente cilíndrico|Solución]]

Movimiento instantáneo de barras articuladas (Dic. 2020)

2024-10-11T10:19:09Z

Pedro: Página creada con «= Enunciado = right Una barra delgada (sólido “0”), de longitud <math>\sqrt{2}d</math>, está articulada en un punto fijo <math>O</math> y rota en el plano fijo <math>OX_1Y_1</math>. Otra barra delgada (sólido “2”) de la misma longitud se articula en su punto <math>B</math> en en el extremo de la barra “0”. El punto <math>A</math> de la barra “2” desliza sobre el eje <math>OY_1</math> con una velocidad <m…»

= Enunciado =
[[Archivo:MRGIC-barrasCir-enunciado.png | right ]]
Una barra delgada (sólido “0”), de longitud <math>\sqrt{2}d</math>, está articulada en un punto fijo <math>O</math> y rota en el plano fijo <math>OX_1Y_1</math>. Otra barra delgada (sólido “2”) de la misma longitud se articula en su punto <math>B</math> en en el extremo de la barra “0”. El punto <math>A</math> de la barra “2” desliza sobre el eje <math>OY_1</math> con una velocidad <math>v_0</math> . Los cálculos que se piden a continuación corresponden al instante indicado en la figura. En ese instante las dos barras son perpendiculares.
#Determina gráfica y analíticamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21}
#Calcula una reducción cinemática de esos movimientos.
#Si la velocidad absoluta del punto <math>A</math> es constante en el tiempo, calcula las derivadas temporales de esas reducciones cinemáticas.

= Solución =

== Análisis del enunciado ==
De la lectura atenta del enunciado se deducen los siguientes datos cinemáticos:
#Todos los vectores rotación son perpendiculares al plano <math>OX_1Y_1</math> pues se trata de un movimiento plano. Esto es: <math>\vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{k}</math>, <math>\vec{\omega}_{20} = \omega_{20}\,\vec{k}</math>, <math>\vec{\omega}_{01} = \omega_{01}\,\vec{k}</math>.
#<math>\vec{v}^{\,O}_{01}=\vec{0}</math>, pues la barra "0" está articulada en el punto fijo <math>O</math>.
#<math>\vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0}</math>, pues las barras "0" y "2" están articuladas en el punto común <math>B</math>.
#<math>\vec{v}^{\,A}_{21}=v_0\,\vec{\jmath}_1</math> pues el punto <math>A</math> de la barra “2” desliza sobre el eje <math>OY_1</math> con una velocidad <math>v_0</math>.

== Posición de los C.I.R. ==
[[Archivo:MRGIC-barrasCir-CIRs.png |right ]]
Del análisis anterior se deduce inmediatamente
<center>
<math>
I_{01} \equiv O, \qquad I_{20} \equiv B.
</math>
</center>
Para encontrar <math>I_{21}</math> razonamos como sigue. El punto <math>I_{21}</math> debe estar en la línea perpendicular a <math>\vec{v}^{\,A}_{21}</math> trazada por <math>A</math>. Y el Teorema de los Tres Centros nos dice que debe estar en la línea definida por <math>\{I_{01}, I_{20}\}</math>. El punto de corte está indicado en la figura.

Los vectores de posición en la base del sólido "1" son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{OI}_{01} = \vec{0}, \\
\overrightarrow{OI}_{20} = \overrightarrow{OB} =
\sqrt{2}d\,(\cos(\pi/4)\,\vec{\imath}_1 + \mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\jmath}_1) =
d\,\vec{\imath}_1 + d\,\vec{\jmath}_1,\\
\overrightarrow{OI}_{21} =
2\sqrt{2}d\,(\cos(\pi/4)\,\vec{\imath}_1 + \mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\jmath}_1) =
2d\,\vec{\imath}_1 + 2d\,\vec{\jmath}_1,
\end{array}
</math>
</center>

== Reducciones cinemáticas ==
Hay varias formas de hacer este apartado.
Lo mas sencillo es empezar utilizando la posición del <math>I_{21}</math>. Aplicando Chasles para el movimiento {21}
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,I_{21}}_{21} +\vec{\omega}_{21}\times \overrightarrow{I_{21}A}
=
(\omega_{21}\,\vec{k})\times(-2d\,\vec{\imath}_1) =
2\omega_{21}d\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Comparando con <math>\vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\jmath}_1</math> obtenemos la reducción cinemática en <math>A</math> del movimiento {21}
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = -\dfrac{v_0}{2d}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Ahora podemos seguir utlizando la composición {21} en <math>A</math>
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{20} + \vec{v}^{\,A}_{01}
</math>
</center>
Ahora aplicamos Chasles en los movimientos {20} y {01}
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{v}^{\,B}_{20} + \vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{BA}
= (\omega_{20}\,\vec{k})\times (-d\,\vec{\imath}_1+d\,\vec{\jmath}_1) = -\omega_{20}d\,\vec{\imath}_1 - \omega_{20}d\,\vec{\jmath}_1, \\
\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}
= (\omega_{01}\,\vec{k})\times (2d\,\vec{\jmath}_1) = -2\omega_{01}d\,\vec{\imath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} =
-d\,(\omega_{20} + 2\omega_{01})\,\vec{\imath}_1 - \omega_{20}d\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Comparando con <math>\vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\jmath}_1</math> obtenemos
<center>
<math>
\omega_{20} = -v_0/d, \qquad \omega_{01} = v_0/2d.
</math>
</center>
Por lo que las dos reducciones cinemáticas que faltan son
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
\vec{\omega}_{01} = \dfrac{v_0}{2d}\,\vec{k}, &\quad & \vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0},\\
\\
\vec{\omega}_{20} = -\dfrac{v_0}{d}\,\vec{k}, &\quad &\vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0}.
\end{array}
</math>
</center>

== Derivadas temporales de las reducciones cinemáticas ==

Al ser un movimiento plano tenemos también <math>\vec{\alpha}_{21} = \alpha_{21}\,\vec{k}</math>, <math>\vec{\alpha}_{20} = \alpha_{20}\,\vec{k}</math>, <math>\vec{\alpha}_{01} = \alpha_{01}\,\vec{k}</math>.

También hay varias formas de hacer este apartado. Proponemos una de ellas.

Como el enunciado dice que <math>v_0</math> es constante tenemos <math>\vec{a}^{\,A}_{21}=\vec{0}</math>. Por otro lado los C.I.R. de los movimientos {20} y {01} están siempre en los mismos puntos de los sólidos. Entonces
<center>
<math>
\vec{a}^{\,A}_{21}=\vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,B}_{20}=\vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,O}_{01}=\vec{0}.
</math>
</center>
Ahora usamos la composición {21}= {20} + {01} en <math>B</math>
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{20} + \vec{a}^{\,B}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,B}_{20}= \left(\dfrac{v_0^2}{4d} - \alpha_{01}d\right)\,\vec{\imath}_1 + \left(\dfrac{v_0^2}{4d} + \alpha_{01}d\right)\,\vec{\jmath}_1.\\
\qquad \vec{a}^{\,B}_{20} = \vec{0},\\
\qquad \vec{a}^{\,B}_{01} = \vec{a}^{\,0}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OB} - |\vec{\omega}_{01}|^2\,\overrightarrow{OB} = \left(\dfrac{v_0^2}{4d} - \alpha_{01}d\right)\,\vec{\imath}_1 + \left(\dfrac{v_0^2}{4d} + \alpha_{01}d\right)\,\vec{\jmath}_1. \\
\qquad\qquad \vec{a}^{\,O}_{01} = \vec{0}, \\
\qquad \qquad \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OB} = (\alpha_{01}\,\vec{k})\times(d\,\vec{\imath}_1 + d\,\vec{\jmath}_1) = -\alpha_{01}d\,\vec{\imath}_1 + \alpha_{01}d\,\vec{\jmath}_1, \\
\qquad\qquad |\vec{\omega}_{01}|^2\,\overrightarrow{OB} = \dfrac{v_0^2}{4d}\,(\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1).\\
\qquad\vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0}.
\end{array}
</math>
</center>
Por otro lado , usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} partiendo desde <math>A</math>
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,A}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{AB} - |\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{AB} = \left( \dfrac{v_0^2}{4d} + \alpha_{21}d\right)\,\vec{\imath}_1 + \left(-\dfrac{v_0^2}{4d} + \alpha_{21}d\right)\,\vec{\jmath}_1.\\
\qquad \vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{0}. \\
\qquad \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{AB} = (\alpha_{21}\,\vec{k})\times(d\,\vec{\imath}_1 - d\,\vec{\jmath}_1) = \alpha_{21} d\,\vec{\imath}_1 + \alpha_{21}d\,\vec{\jmath}_1,\\
\qquad |\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{AB} = \dfrac{v_0^2}{4d}\,(\vec{\imath}_1 - \vec{\jmath}_1).
\end{array}
</math>
</center>
Comparando las dos expresiones de <math>\vec{a}^{\,B}_{21}</math> obtenemos
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = -\dfrac{v_0^2}{4d^2}\,\vec{k}, \qquad
\vec{\alpha}_{01} = \dfrac{v_0^2}{4d^2}\,\vec{k}
</math>
</center>
Y ahora usamos la ley de composición
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
\to
\vec{\alpha}_{20} = \vec{\alpha}_{21} - \vec{\alpha}_{01} - \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
=
-\dfrac{v_0^2}{2d^2}\,\vec{k}.
</math>
</center>
Las derivadas de las reducciones cinemáticas son
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{\alpha}_{21} = -(v_0^2/4d)\,\vec{k}, &\qquad \vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{0},\\
\vec{\alpha}_{20} = -(v_0^2/2d)\,\vec{k}, &\qquad \vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{0},\\
\vec{\alpha}_{01} = (v_0^2/4d)\,\vec{k},& \qquad \vec{a}^{\,O}_{21} = \vec{0}.
\end{array}
</math>
</center>

== Errores habituales detectados en la corrección ==
#Cuando se pide encontrar analíticamente los C.I.R. quiere decir dar su vector de posición.
#No se pueden derivar los vectores rotación obtenidos en el segundo apartado. Esos valores corresponden a un instante de tiempo. Para derivar una función tienes que conocer su expresión en un intervalo de tiempo.
#Hay gente que, para expresar el Teorema de los Tres Centros, ha escrito <math>I_{21} = I_{20} + I_{01}</math>. Esta expresión no tiene sentido.

[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]
[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]

Primera Prueba de Control 2020/21 (MR G.I.C.)

2024-10-11T10:18:58Z

Pedro: /* Movimiento instantáneo de barras articuladas */

==[[Cilindro rodando sin deslizar (Dic. 2020) | Cilindro rodando sin deslizar ]]==
[[Archivo:MRGIC-cilindroRodaduraSinDeslizamiento-enunciado.png|center]]

Un cilindro de radio <math>R</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre un plano fijo <math>O_1X_1Y_1Z_1</math> (sólido "1"). Los ejes <math>GX_2Y_2Z_2</math> son solidarios con el cilindro. Introducimos unos ejes auxiliares <math>GX_0Y_0Z_0</math> que cumplen las siguientes propiedades: el <math>X_0</math> es paralelo al eje del cilindro; el eje <math>Z_0</math> es perpendicular al plano fijo "1"; el ángulo que forma el eje <math>Y_0</math> con el eje <math>X_1</math> es <math>\phi</math>. El punto <math>A</math> señala el punto geométrico en la vertical de <math>G</math> donde el cilindro está en contacto con el plano. Las coordenadas de este punto en los ejes "1" son <math>x_1</math>, <math>y_1</math>. Estas son también las coordenadas de <math>G</math> en el plano fijo. Los diagramas auxiliares indican los ángulos relevantes entre los diferentes sistemas de ejes.
#Encuentra la reducción cinemática en el punto <math>G</math> de los movimientos {01}, {20}, {21}. Expresa los resultados en la base "0" y usa el menor número de coordenadas posible.
2. Si el tensor de inercia del cilindro en <math>G</math> es de la forma
<center>
<math>
\overleftrightarrow{I_O}
=
\left[
\begin{array}{ccc}
I_{1} & 0 & 0 \\
0 & I_{2} & 0 \\
0 & 0 & I_{2}
\end{array}
\right]
</math>
</center>
con <math>I_1</math>, <math>I_2</math> conocidos, calcula el momento cinético del cilindro en <math>G</math> y su energía cinética.

==[[ Tensor de inercia de un hexágono (Dic. 2020) | Tensor de inercia de un hexágono ]]==
[[Archivo:MRGIC-tensorInerciaHexagono-enunciado.png|right]]
EL sólido rígido de la figura es un hexágono de lado <math>L</math>. Cada lado del hexágono tiene una masa <math>m</math>.
#Calcula el tensor de inercia del hexágono en su centro, expresado en los ejes de la figura..
#Calcula el tensor de inercia en el vértice <math>A</math>, expresado en los mismos ejes.
#Calcula el momento de inercia respecto a un eje paralelo al eje <math>OX</math> y que pase por <math>A</math>.

==[[ Movimiento instantáneo de barras articuladas (Dic. 2020) | Movimiento instantáneo de barras articuladas ]]==
[[Archivo:MRGIC-barrasCir-enunciado.png | right ]]
Una barra delgada (sólido “0”), de longitud <math>\sqrt{2}d</math>, está articulada en un punto fijo <math>O</math> y rota en el plano fijo <math>OX_1Y_1</math>. Otra barra delgada (sólido “2”) de la misma longitud se articula en su punto <math>B</math> en en el extremo de la barra “0”. El punto <math>A</math> de la barra “2” desliza sobre el eje <math>OY_1</math> con una velocidad <math>v_0</math> . Los cálculos que se piden a continuación corresponden al instante indicado en la figura. En ese instante las dos barras son perpendiculares.
#Determina gráfica y analíticamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21}
#Calcula una reducción cinemática de esos movimientos.
#Si la velocidad absoluta del punto <math>A</math> es constante en el tiempo, calcula las derivadas temporales de esas reducciones cinemáticas.

Problemas de cinemática del sólido rígido (CMR)

2024-10-10T08:19:24Z

Pedro: /* Peonza rodante */

= Problemas del boletín =

==[[Velocidad instantánea en tres puntos (MR G.I.C.) | Velocidad instantánea en tres puntos]]==
En un determinado instante, tres puntos de un sólido rígido en movimiento ocupan las posiciones dadas por
<center>
<math>
O(0,0,0); \qquad A(0,a,0); \qquad B(0,0,2a).
</math>
</center>
Las velocidades instantáneas de esos puntos, medidas en el mismo sistema de referencia son:
<center>
<math>
\vec{v}^O = v_0\,\vec{\imath}; \qquad \vec{v}^A=\dfrac{v_0}{2}\,\vec{k}; \qquad \vec{v}^B=v_0\,(\vec{\imath} - \vec{\jmath}).
</math>
</center>
#Calcula la reducción cinemática en el punto <math>O </math> de dicho movimiento instantáneo y averigua de qué tipo de movimiento se trata.
#Calcula el vector velocidad instantánea de los puntos con velocidad mínima.
#Obtén las expresión vectorial del lugar geométrico formado por los puntos con velocidad mínima.

==[[Ejemplos de reducciones cinemáticas (G.I.A.) | Ejemplos de reducciones cinemáticas]]==
Encuentra las reducciones cinemáticas instantáneas pedidas de cada uno de estos movimientos
# Una rueda de radio <math>R</math> que gira con velocidad angular constante <math>\omega</math> alrededor de un eje perpendicular a ella que pasa por su centro. Encuentra la reducción canónica.
# Una rueda de radio <math>R</math> rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal de modo que su centro avanza con velocidad uniforme <math>v_0</math>. Encuentra la reducción en el centro y la reducción canónica.
# Una rueda de radio <math>R</math> rueda y desliza con velocidad angular <math>\omega</math> alrededor de un eje perpendicular a ella, de modo que el punto de contacto con el suelo tiene una vez relativa a éste de módulo <math>v_{des}</math>. Encuentra la reducción en el punto de contacto y la reducción canónica.
# Un tornillo gira con velocidad angular uniforme <math>\omega</math> y avanza con velocidad uniforme <math>v</math> paralelamente a su eje. Encuentra la reducción en el punto más alto de la superficie frontal del tornillo y la reducción canónica.

==[[Disco desenrollándose de una cuerda (G.I.A.) | Disco desenrollándose de una cuerda]]==
[[Archivo:el_yo_yo_0.gif|right]]Un disco de radio <math>R</math> gira y cae, siempre contenido en el plano vertical <math>OXY</math>, mientras se desenrrolla de una cuerda que pende verticalmente, y cuya longitud aumenta según la ley horaria <math>l(t)=R+K\!\ t^2</math> (donde <math>K</math> es una constante conocida).
# Obtenga la reducción cinemática que describe el movimiento instantáneo del disco.
# Velocidad y aceleración instantáneas del punto <math>B</math> indicado en la figura.

= Otros problemas =

==[[Traslación y rotación en el plano (CMR)|Traslación y rotación en el plano]]==
En un movimiento plano, un sólido realiza una traslación <math>8\vec{\imath}+6\vec{\jmath}</math> seguida de una rotación de 90° en torno a la nueva posición del origen de coordenadas. ¿Qué punto del plano está al final en la misma posición que al principio?
¿Cómo cambia el resultado si la rotación que sucede a la traslación es de un ángulo θ tal que tg⁡(θ)=3\/4?

==[[Caso de rotación finita (CMR)|Caso de rotación finita]]==
Tras una determinada rotación en torno al origen de coordenadas la base ligada al sólido se expresa en función de la base fija como<center><math>
\begin{array}{rcl}
\vec{\imath}_2 & = & 0.60\vec{\imath}_1 + 0.64\vec{\jmath}_1 - 0.48\vec{k}_1 \\
\vec{\jmath}_2 & = & 0.60\vec{\jmath}_1 + 0.80\vec{k}_1 \\
\vec{k}_2 & = & 0.80\vec{\imath}_1 - 0.48\vec{\jmath}_1 + 0.368\vec{k}_1 \end{array}</math></center>
# Compruébese que la base es ortonormal.
# Determine un vector en la dirección del eje de rotación.
# Calcule el ángulo girado en torno a este eje (estudie el cambio de un vector perpendicular al eje).

==[[Clasificación de movimientos de un sólido]]==
Se tiene un sólido formado por ocho masas iguales, <math>m=100\,\mathrm{g}</math>, situadas en los vértices de un cubo de lado <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. En un instante dado, una de ellas se encuentra en el origen de coordenadas y las aristas son paralelas a los ejes de coordenadas.

<center>[[Archivo:ocho-masas.png]]</center>

Considere los casos siguientes para las velocidades de las masas situadas en <math>\vec{r}_1=b\vec{\imath}</math>, <math>\vec{r}_2=b\vec{\jmath}</math> y <math>\vec{r}_3=b\vec{k}</math>

{| class="bordeado"
|-
! Caso
! <math>\vec{v}_1</math> (cm/s)
! <math>\vec{v}_2</math> (cm/s)
! <math>\vec{v}_3</math> (cm/s)
|-
! I
| <math>\vec{\jmath}-\vec{k}</math>
| <math>-\vec{\imath}+\vec{k}</math>
| <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
|-
! II
| <math>\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}</math>
| <math>\vec{k}</math>
| <math>2\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
|-
! III
| <math>\vec{\jmath}-\vec{k}</math>
| <math>-\vec{\imath}+\vec{k}</math>
| <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}</math>
|-
! IV
| <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
| <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
| <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
|-
! V
| <math>\vec{\imath}+2\vec{\jmath}</math>
| <math>\vec{\jmath}+2\vec{k}</math>
| <math>2\vec{\imath}+\vec{k}</math>
|-
! VI
| <math>\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}</math>
| <math>\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}</math>
| <math>\vec{0}</math>
|}

# Identifique cuáles de las situaciones anteriores son compatibles con la condición de rigidez.
# Para las que sí lo son, identifique si se trata de un movimiento de traslación pura, rotación pura o helicoidal.
# Para las rotaciones y movimientos helicoidales, determine la posición del EIR o EIRMD.
# Para los movimientos compatibles, calcule la cantidad de movimiento, el momento cinético y la energía cinética del sistema de masas.
==[[Rodadura y deslizamiento de un disco]]==
Un disco de radio <math>R</math> y masa <math>M</math> rueda y desliza sobre el plano horizontal <math>y=0</math> de forma que la velocidad del punto de contacto con el suelo, A, y del diametralmente opuesto, B son de la forma

<center><math>\vec{v}_A = v_A\vec{\imath}\qquad \vec{v}_B = v_B\vec{\imath}</math></center>

# Calcule la velocidad angular del disco.
# Halle la velocidad del centro del disco, C, así como de los puntos D y E situados en los extremos de un diámetro horizontal.
# Determine la posición del centro instantáneo de rotación.
# Indique a qué se reducen los resultados anteriores en los casos particulares siguientes:
## <math>v_A = -v_B</math>
## <math>v_A = 0</math>
## <math>v_A = v_B</math>

==[[Velocidades y aceleraciones en un disco rodante sobre un plano]]==
Un disco de radio <math>R</math> rueda sin deslizamiento sobre el plano horizontal <math>y=0</math> de forma que la posición de su centro sigue una ley

<center><math>\overrightarrow{OG}=x\vec{\imath}+R\vec{\jmath}</math></center>

En función de x y sus derivadas temporales <math>\dot{x}</math> y <math>\ddot{x}</math> halle
# La velocidad angular del disco.
# La velocidad del punto B situado diametralmente opuesto al de contacto con el suelo, A, así como de los puntos D y E situados en los extremos de un diámetro horizontal.
# La aceleración angular del disco
# Las aceleraciones de los puntos A, B, D y E.

==[[Diferentes movimientos de una esfera]]==
Considérese una esfera de masa <math>M</math> y radio <math>R</math> que se mueve sobre la superficie horizontal <math>z=0</math>. Consideramos un instante en el que la esfera toca el suelo justo en el origen de coordenadas, O, y tal que en ese momento la velocidad de
dicho punto de contacto con el suelo es nula

<center><math>\vec{v}_O = \vec{0}</math></center>

Para este mismo instante la velocidad de los puntos <math>\vec{r}_A=-R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> y <math>\vec{r}_B=+R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> situados en un diámetro horizontal valen respectivamente

<center><math>\vec{v}_A = v_A\vec{\jmath}\qquad \vec{v}_B = v_B\vec{\jmath}</math></center>

Para los tres casos siguientes:

* <math>v_A=+v_B</math>
* <math>v_A=0</math>
* <math>v_A=-v_B</math>

# Indique justificadamente el tipo de movimiento instantáneo que realiza la esfera (traslación, rotación, helicoidal,…)
# Calcule la velocidad angular del sólido.
# Halle la velocidad angular de pivotamiento y la de rodadura de la esfera.
# Dé la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (o de rotación, en su caso).
# Calcule la velocidad lineal del centro C de la esfera y la del punto D situado en el extremo superior de la esfera.

==[[Deslizamiento de una barra (CMR)|Deslizamiento de una barra]]==
Una barra metálica de 1.00 m de longitud resbala apoyada en el suelo y en una pared vertical. En un momento dado su extremo inferior se encuentra a una distancia de 60 cm de la esquina y se mueve con velocidad de 12 cm/s alejándose de la esquina

<center>[[Archivo:Esquema-barra-apoyada.png|500px]]</center>
# ¿Con qué velocidad se mueve el punto B, extremo superior de la barra?
# Considerando un sistema de ejes centrado en la esquina, con el suelo como eje OX y la pared como eje OZ, ¿dónde se encuentra el C.I.R. de la barra en el instante anteriormente descrito?
# Suponiendo un caso más general en el que la barra forma un ángulo θ con la pared y las derivadas de este ángulo respecto al tiempo valen <math>\dot{\theta}</math> y <math>\ddot{\theta}</math>, siendo <math>\ell</math> la longitud de la barra. Halle cuánto valen en ese caso
## Las velocidades y aceleraciones lineales de los puntos A y B de apoyo de la barra en el suelo y la pared, del centro G de la barra y de la esquina O considerada como punto del sólido.
## La posición del CIR, ¿qué curva describe al ir moviéndose la barra?
### En un sistema de referencia fijo unido al suelo y la pared.
### En un sistema de referencia móvil ligado a la barra.
# Para cada instante, ¿hay algún punto que tenga aceleración nula? ¿Y aceleración normal nula? ¿Y aceleración tangencial nula?
<math></math>

==[[Ejemplo gráfico de movimiento plano]]==
En un movimiento plano, se tiene que la velocidad instantánea de dos puntos A y B es la ilustrada en la figura (para la posición, la cuadrícula representa cm y para la velocidad cm/s)
<center>[[Archivo:mov-plano-rejilla.png|300px]]</center>

# En dicho instante, ¿cuál es la velocidad del origen de coordenadas O?
# ¿Dónde se encuentra el centro instantáneo de rotación?

==[[Diferentes movimientos de una esfera]]==
Considérese una esfera de masa <math>M</math> y radio <math>R</math> que se mueve sobre la superficie horizontal <math>z=0</math>. Consideramos un instante en el que la esfera toca el suelo justo en el origen de coordenadas, O, y tal que en ese momento la velocidad de
dicho punto de contacto con el suelo es nula

<center><math>\vec{v}_O = \vec{0}</math></center>

Para este mismo instante la velocidad de los puntos <math>\vec{r}_A=-R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> y <math>\vec{r}_B=+R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> situados en un diámetro horizontal valen respectivamente

<center><math>\vec{v}_A = v_A\vec{\jmath}\qquad \vec{v}_B = v_B\vec{\jmath}</math></center>

<center>[[Archivo:bola-sobre-plano.png]]</center>

Para los tres casos siguientes:

* <math>v_A=+v_B</math>
* <math>v_A=0</math>
* <math>v_A=-v_B</math>

# Indique justificadamente el tipo de movimiento instantáneo que realiza la esfera (traslación, rotación, helicoidal,…)
# Calcule la velocidad angular del sólido.
# Halle la velocidad angular de pivotamiento y la de rodadura de la esfera.
# Dé la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (o de rotación, en su caso).
# Calcule la velocidad lineal del centro C de la esfera y la del punto D situado en el extremo superior de la esfera.

==[[Comparación de posibles movimientos]]==
De las siguientes cuatro figuras, solo una representa velocidades posibles de los extremos A y B de una barra rígida que realiza un movimiento plano. ¿Cuál?

{| class="bordeado"
|-
| [[Archivo:vel-sol-a.png|300px]]
| [[Archivo:vel-sol-b.png|300px]]
|-
! A
! B
|-
| [[Archivo:vel-sol-c.png|300px]]
| [[Archivo:vel-sol-d.png|300px]]
|-
! C
! D
|}

Para la barra anterior, ¿dónde se encuentra su centro instantáneo de rotación, según la cuadrícula de la figura?

¿Cuánto vale, en rad/s, la velocidad angular instantánea de este movimiento, si la cuadrícula representa m en distancias y m/s en velocidades?

==[[Movimiento circular de sistema de referencia]]==
Un sólido describe un movimiento plano tal que un punto A describe un movimiento circular de radio b alrededor del origen de coordenadas, con una ley <math>\phi=\phi(t)</math>. Simultáneamente, unos ejes ligados al sólido en el punto A van girando con una ley θ(t). Para cada instante, determine
# la velocidad y aceleración del origen de coordenadas O considerado como parte del sólido.
# la posición del CIR en función de θ, φ y sus derivadas respecto al tiempo.

==[[Peonza rodante (CMR)|Peonza rodante]]==
Una peonza está formada por una varilla de longitud <math>\ell=20\,cm</math> ensartada en un disco de radio <math>R=15\,\mathrm{cm}</math>. Esta peonza se mueve de forma que el extremo O de la varilla está inmóvil mientras el centro G del disco describe un movimiento circular uniforme alrededor del eje OZ con rapidez <math>v_0=48\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}</math>. El disco rueda sin deslizar sobre el plano OXY, de manera que en todo instante la velocidad del punto de contacto A es nula.

<center>[[Archivo:peonza-rodante.png|600px]]</center>

Para este movimiento, determine, en el instante en que A se encuentra sobre el eje OX:
# La velocidad angular del sólido.
# La velocidad del punto B, diametralmente opuesto a A, y del punto P situado en <math>25\vec{k}\,\mathrm{cm}</math>, considerado como punto del sólido.
# La aceleración angular del sólido.
# La aceleración de los puntos A, G, B, O y P, considerados como puntos del sólido.

[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido (CMR)|0]]

==[[Triángulo en movimiento helicoidal|Triángulo en movimiento helicoidal]]==

El triángulo de vértices <math>A</math>, <math>B</math>, y <math>C</math> constituye un sólido rígido en movimiento respecto al sistema de referencia fijo <math>OXYZ</math>. De dicho movimiento se conocen los siguientes datos:
# Los vértices <math>A</math> y <math>B</math> permanecen en todo instante sobre el eje <math>OZ</math>, desplazándose ambos con igual velocidad instantánea <math>\vec{v}^A=\vec{v}^B=v(t)\,\vec{k}</math>.
# El vértice <math>C</math> se mueve describiendo la hélice <math>\Gamma</math>, que en el sistema <math>OXYZ</math> está descrita por las ecuaciones paramétricas:
[[Archivo:el_triangulo.gif|right]]

<center>
<math>
\Gamma:\vec{r}=\vec{r}(\theta)
\left\{
\begin{array}{l}
x(\theta) = R\,\cos\theta\\
y(\theta) = R\,\,\mathrm{sen}\,\theta\\
z(\theta) = h\,\theta\\
\end{array}
\right.
</math>
</center>
donde <math>R</math> y <math>h</math> son constantes conocidas.
Se pide:
# Indicar de forma razonada cual es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento en este movimiento. Determinar el vector rotación total en términos de los datos expresados en el enunciado.
# Expresar la componente normal de la aceleración del vértice <math>C</math> en un instante cualquiera, en función de los datos del enunciado.
# Para el caso en que <math>v(t)=v_0</math> (cte), y <math>h=R/2</math>, calcular la aceleración del vértice <math>C</math>. Determinar la ley horaria <math>s=s(t)</math> con que el punto <math>C</math> describe su trayectoria.

==[[Ejercicio_de_cinemática_del_sólido_rígido,_Febrero_2013_(F1_GIA)|Propiedades cinemáticas instantáneas de pieza triangular]]==
[[Archivo:ejer_cin_sr_feb_13_1.gif|right]]Una pieza triangular <math>ABC</math> se mueve respecto de un sistema de referencia <math>OXYZ</math>, comportándose como un sólido rígido. Los vértices <math>C</math> y <math>B</math> de la pieza van recorriendo los ejes <math>OZ</math> y <math>OY</math>, respecti-vamente, mientras que el vértice <math>A</math> se desplaza siempre contenido en el plano <math>OXY</math>. En un determinado instante, cuando los vértices ocupan las posiciones de coordenadas

<center><math>A(a,a,0)\mathrm{;}\quad B(0,2a,0)\mathrm{;}\quad C(0,0,2a)</math></center>

la velocidad instantánea del vértice <math>B</math> es <math>\vec{v}^B=v_0\!\ \vec{\jmath}</math>. Determine, para dicho instante de tiempo:

# Velocidad del vértice <math>A</math> y vector rotación instantánea.
# Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento.
# Derivada instantánea del vector rotación, sabiendo que el vértice <math>B</math> se mueve con velocidad instantánea constante.

Problemas de cinemática del sólido rígido (CMR)

2024-10-10T08:18:36Z

Pedro: /* Ejemplos de reducciones cinemáticas */

Problemas de cinemática del sólido rígido (CMR)

2024-10-10T08:17:27Z

Pedro:

= Problemas del boletín =

==[[Velocidad instantánea en tres puntos (MR G.I.C.) | Velocidad instantánea en tres puntos]]==
En un determinado instante, tres puntos de un sólido rígido en movimiento ocupan las posiciones dadas por
<center>
<math>
O(0,0,0); \qquad A(0,a,0); \qquad B(0,0,2a).
</math>
</center>
Las velocidades instantáneas de esos puntos, medidas en el mismo sistema de referencia son:
<center>
<math>
\vec{v}^O = v_0\,\vec{\imath}; \qquad \vec{v}^A=\dfrac{v_0}{2}\,\vec{k}; \qquad \vec{v}^B=v_0\,(\vec{\imath} - \vec{\jmath}).
</math>
</center>
#Calcula la reducción cinemática en el punto <math>O </math> de dicho movimiento instantáneo y averigua de qué tipo de movimiento se trata.
#Calcula el vector velocidad instantánea de los puntos con velocidad mínima.
#Obtén las expresión vectorial del lugar geométrico formado por los puntos con velocidad mínima.

==[[Ejemplos de reducciones cinemáticas (G.I.A.) | Ejemplos de reducciones cinemáticas]]==
Encuentra las reducciones cinemáticas instantáneas pedidas de cada uno de estos movimientos
# Una rueda de radio <math>R</math> que gira con velocidad angular constante <math>\omega</math> alrededor de un eje perpendicular a ella que pasa por su centro. Encuentra la reducción canónica.
# Una rueda de radio <math>R</math> rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal de modo que su centro avanza con velocidad uniforme <math>v_0</math>. Encuentra la reducción en el centro y la reducción canónica.
# Una rueda de radio <math>R</math> rueda y desliza con velocidad angular <math>\omega</math> alrededor de un eje perpendicular a ella, de modo que el punto de contacto con el suelo tiene una vez relativa a éste de módulo <math>v_{des}</math>. Encuentra la reducción en el punto de contacto y la reducción canónica.
# Un tornillo gira con velocidad angular uniforme <math>\omega</math> y avanza con velocidad uniforme <math>v</math> paralelamente a su eje. Encuentra la reducción en el punto más alto de la superficie frontal del tornillo y la reducción canónica.

= Otros problemas =

==[[Traslación y rotación en el plano (CMR)|Traslación y rotación en el plano]]==
En un movimiento plano, un sólido realiza una traslación <math>8\vec{\imath}+6\vec{\jmath}</math> seguida de una rotación de 90° en torno a la nueva posición del origen de coordenadas. ¿Qué punto del plano está al final en la misma posición que al principio?
¿Cómo cambia el resultado si la rotación que sucede a la traslación es de un ángulo θ tal que tg⁡(θ)=3\/4?

==[[Caso de rotación finita (CMR)|Caso de rotación finita]]==
Tras una determinada rotación en torno al origen de coordenadas la base ligada al sólido se expresa en función de la base fija como<center><math>
\begin{array}{rcl}
\vec{\imath}_2 & = & 0.60\vec{\imath}_1 + 0.64\vec{\jmath}_1 - 0.48\vec{k}_1 \\
\vec{\jmath}_2 & = & 0.60\vec{\jmath}_1 + 0.80\vec{k}_1 \\
\vec{k}_2 & = & 0.80\vec{\imath}_1 - 0.48\vec{\jmath}_1 + 0.368\vec{k}_1 \end{array}</math></center>
# Compruébese que la base es ortonormal.
# Determine un vector en la dirección del eje de rotación.
# Calcule el ángulo girado en torno a este eje (estudie el cambio de un vector perpendicular al eje).

==[[Clasificación de movimientos de un sólido]]==
Se tiene un sólido formado por ocho masas iguales, <math>m=100\,\mathrm{g}</math>, situadas en los vértices de un cubo de lado <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. En un instante dado, una de ellas se encuentra en el origen de coordenadas y las aristas son paralelas a los ejes de coordenadas.

<center>[[Archivo:ocho-masas.png]]</center>

Considere los casos siguientes para las velocidades de las masas situadas en <math>\vec{r}_1=b\vec{\imath}</math>, <math>\vec{r}_2=b\vec{\jmath}</math> y <math>\vec{r}_3=b\vec{k}</math>

{| class="bordeado"
|-
! Caso
! <math>\vec{v}_1</math> (cm/s)
! <math>\vec{v}_2</math> (cm/s)
! <math>\vec{v}_3</math> (cm/s)
|-
! I
| <math>\vec{\jmath}-\vec{k}</math>
| <math>-\vec{\imath}+\vec{k}</math>
| <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
|-
! II
| <math>\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}</math>
| <math>\vec{k}</math>
| <math>2\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
|-
! III
| <math>\vec{\jmath}-\vec{k}</math>
| <math>-\vec{\imath}+\vec{k}</math>
| <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}</math>
|-
! IV
| <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
| <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
| <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
|-
! V
| <math>\vec{\imath}+2\vec{\jmath}</math>
| <math>\vec{\jmath}+2\vec{k}</math>
| <math>2\vec{\imath}+\vec{k}</math>
|-
! VI
| <math>\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}</math>
| <math>\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}</math>
| <math>\vec{0}</math>
|}

# Identifique cuáles de las situaciones anteriores son compatibles con la condición de rigidez.
# Para las que sí lo son, identifique si se trata de un movimiento de traslación pura, rotación pura o helicoidal.
# Para las rotaciones y movimientos helicoidales, determine la posición del EIR o EIRMD.
# Para los movimientos compatibles, calcule la cantidad de movimiento, el momento cinético y la energía cinética del sistema de masas.
==[[Rodadura y deslizamiento de un disco]]==
Un disco de radio <math>R</math> y masa <math>M</math> rueda y desliza sobre el plano horizontal <math>y=0</math> de forma que la velocidad del punto de contacto con el suelo, A, y del diametralmente opuesto, B son de la forma

<center><math>\vec{v}_A = v_A\vec{\imath}\qquad \vec{v}_B = v_B\vec{\imath}</math></center>

# Calcule la velocidad angular del disco.
# Halle la velocidad del centro del disco, C, así como de los puntos D y E situados en los extremos de un diámetro horizontal.
# Determine la posición del centro instantáneo de rotación.
# Indique a qué se reducen los resultados anteriores en los casos particulares siguientes:
## <math>v_A = -v_B</math>
## <math>v_A = 0</math>
## <math>v_A = v_B</math>

==[[Velocidades y aceleraciones en un disco rodante sobre un plano]]==
Un disco de radio <math>R</math> rueda sin deslizamiento sobre el plano horizontal <math>y=0</math> de forma que la posición de su centro sigue una ley

<center><math>\overrightarrow{OG}=x\vec{\imath}+R\vec{\jmath}</math></center>

En función de x y sus derivadas temporales <math>\dot{x}</math> y <math>\ddot{x}</math> halle
# La velocidad angular del disco.
# La velocidad del punto B situado diametralmente opuesto al de contacto con el suelo, A, así como de los puntos D y E situados en los extremos de un diámetro horizontal.
# La aceleración angular del disco
# Las aceleraciones de los puntos A, B, D y E.

==[[Diferentes movimientos de una esfera]]==
Considérese una esfera de masa <math>M</math> y radio <math>R</math> que se mueve sobre la superficie horizontal <math>z=0</math>. Consideramos un instante en el que la esfera toca el suelo justo en el origen de coordenadas, O, y tal que en ese momento la velocidad de
dicho punto de contacto con el suelo es nula

<center><math>\vec{v}_O = \vec{0}</math></center>

Para este mismo instante la velocidad de los puntos <math>\vec{r}_A=-R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> y <math>\vec{r}_B=+R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> situados en un diámetro horizontal valen respectivamente

<center><math>\vec{v}_A = v_A\vec{\jmath}\qquad \vec{v}_B = v_B\vec{\jmath}</math></center>

Para los tres casos siguientes:

* <math>v_A=+v_B</math>
* <math>v_A=0</math>
* <math>v_A=-v_B</math>

# Indique justificadamente el tipo de movimiento instantáneo que realiza la esfera (traslación, rotación, helicoidal,…)
# Calcule la velocidad angular del sólido.
# Halle la velocidad angular de pivotamiento y la de rodadura de la esfera.
# Dé la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (o de rotación, en su caso).
# Calcule la velocidad lineal del centro C de la esfera y la del punto D situado en el extremo superior de la esfera.

==[[Deslizamiento de una barra (CMR)|Deslizamiento de una barra]]==
Una barra metálica de 1.00 m de longitud resbala apoyada en el suelo y en una pared vertical. En un momento dado su extremo inferior se encuentra a una distancia de 60 cm de la esquina y se mueve con velocidad de 12 cm/s alejándose de la esquina

<center>[[Archivo:Esquema-barra-apoyada.png|500px]]</center>
# ¿Con qué velocidad se mueve el punto B, extremo superior de la barra?
# Considerando un sistema de ejes centrado en la esquina, con el suelo como eje OX y la pared como eje OZ, ¿dónde se encuentra el C.I.R. de la barra en el instante anteriormente descrito?
# Suponiendo un caso más general en el que la barra forma un ángulo θ con la pared y las derivadas de este ángulo respecto al tiempo valen <math>\dot{\theta}</math> y <math>\ddot{\theta}</math>, siendo <math>\ell</math> la longitud de la barra. Halle cuánto valen en ese caso
## Las velocidades y aceleraciones lineales de los puntos A y B de apoyo de la barra en el suelo y la pared, del centro G de la barra y de la esquina O considerada como punto del sólido.
## La posición del CIR, ¿qué curva describe al ir moviéndose la barra?
### En un sistema de referencia fijo unido al suelo y la pared.
### En un sistema de referencia móvil ligado a la barra.
# Para cada instante, ¿hay algún punto que tenga aceleración nula? ¿Y aceleración normal nula? ¿Y aceleración tangencial nula?
<math></math>

==[[Ejemplo gráfico de movimiento plano]]==
En un movimiento plano, se tiene que la velocidad instantánea de dos puntos A y B es la ilustrada en la figura (para la posición, la cuadrícula representa cm y para la velocidad cm/s)
<center>[[Archivo:mov-plano-rejilla.png|300px]]</center>

# En dicho instante, ¿cuál es la velocidad del origen de coordenadas O?
# ¿Dónde se encuentra el centro instantáneo de rotación?

==[[Diferentes movimientos de una esfera]]==
Considérese una esfera de masa <math>M</math> y radio <math>R</math> que se mueve sobre la superficie horizontal <math>z=0</math>. Consideramos un instante en el que la esfera toca el suelo justo en el origen de coordenadas, O, y tal que en ese momento la velocidad de
dicho punto de contacto con el suelo es nula

<center><math>\vec{v}_O = \vec{0}</math></center>

Para este mismo instante la velocidad de los puntos <math>\vec{r}_A=-R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> y <math>\vec{r}_B=+R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> situados en un diámetro horizontal valen respectivamente

<center><math>\vec{v}_A = v_A\vec{\jmath}\qquad \vec{v}_B = v_B\vec{\jmath}</math></center>

<center>[[Archivo:bola-sobre-plano.png]]</center>

Para los tres casos siguientes:

* <math>v_A=+v_B</math>
* <math>v_A=0</math>
* <math>v_A=-v_B</math>

# Indique justificadamente el tipo de movimiento instantáneo que realiza la esfera (traslación, rotación, helicoidal,…)
# Calcule la velocidad angular del sólido.
# Halle la velocidad angular de pivotamiento y la de rodadura de la esfera.
# Dé la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (o de rotación, en su caso).
# Calcule la velocidad lineal del centro C de la esfera y la del punto D situado en el extremo superior de la esfera.

==[[Comparación de posibles movimientos]]==
De las siguientes cuatro figuras, solo una representa velocidades posibles de los extremos A y B de una barra rígida que realiza un movimiento plano. ¿Cuál?

{| class="bordeado"
|-
| [[Archivo:vel-sol-a.png|300px]]
| [[Archivo:vel-sol-b.png|300px]]
|-
! A
! B
|-
| [[Archivo:vel-sol-c.png|300px]]
| [[Archivo:vel-sol-d.png|300px]]
|-
! C
! D
|}

Para la barra anterior, ¿dónde se encuentra su centro instantáneo de rotación, según la cuadrícula de la figura?

¿Cuánto vale, en rad/s, la velocidad angular instantánea de este movimiento, si la cuadrícula representa m en distancias y m/s en velocidades?

==[[Movimiento circular de sistema de referencia]]==
Un sólido describe un movimiento plano tal que un punto A describe un movimiento circular de radio b alrededor del origen de coordenadas, con una ley <math>\phi=\phi(t)</math>. Simultáneamente, unos ejes ligados al sólido en el punto A van girando con una ley θ(t). Para cada instante, determine
# la velocidad y aceleración del origen de coordenadas O considerado como parte del sólido.
# la posición del CIR en función de θ, φ y sus derivadas respecto al tiempo.

==[[Peonza rodante (CMR)|Peonza rodante]]==
Una peonza está formada por una varilla de longitud <math>\ell=20\,cm</math> ensartada en un disco de radio <math>R=15\,\mathrm{cm}</math>. Esta peonza se mueve de forma que el extremo O de la varilla está inmóvil mientras el centro G del disco describe un movimiento circular uniforme alrededor del eje OZ con rapidez <math>v_0=48\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}</math>. El disco rueda sin deslizar sobre el plano OXY, de manera que en todo instante la velocidad del punto de contacto A es nula.

<center>[[Archivo:peonza-rodante.png|600px]]</center>

Para este movimiento, determine, en el instante en que A se encuentra sobre el eje OX:
# La velocidad angular del sólido.
# La velocidad del punto B, diametralmente opuesto a A, y del punto P situado en <math>25\vec{k}\,\mathrm{cm}</math>, considerado como punto del sólido.
# La aceleración angular del sólido.
# La aceleración de los puntos A, G, B, O y P, considerados como puntos del sólido.

[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido (CMR)|0]]

Movimiento instantáneo de barras adecuadas (Dic. 2020)

2024-09-30T14:45:35Z

Pedro: /* Derivadas temporales de las reducciones cinemáticas */

Movimiento instantáneo de barras adecuadas (Dic. 2020)

2024-09-30T14:24:31Z

Pedro: /* Análisis del enunciado */

= Enunciado =
[[Archivo:MRGIC-barrasCir-enunciado.png | right ]]
Una barra delgada (sólido “0”), de longitud <math>\sqrt{2}d</math>, está articulada en un punto fijo <math>O</math> y rota en el plano fijo <math>OX_1Y_1</math>. Otra barra delgada (sólido “2”) de la misma longitud se articula en su punto <math>B</math> en en el extremo de la barra “0”. El punto <math>A</math> de la barra “2” desliza sobre el eje <math>OY_1</math> con una velocidad <math>v_0</math> . Los cálculos que se piden a continuación corresponden al instante indicado en la figura. En ese instante las dos barras son perpendiculares.
#Determina gráfica y analíticamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21}
#Calcula una reducción cinemática de esos movimientos.
#Si la velocidad absoluta del punto <math>A</math> es constante en el tiempo, calcula las derivadas temporales de esas reducciones cinemáticas.

= Solución =

== Análisis del enunciado ==
De la lectura atenta del enunciado se deducen los siguientes datos cinemáticos:
#Todos los vectores rotación son perpendiculares al plano <math>OX_1Y_1</math> pues se trata de un movimiento plano. Esto es: <math>\vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{k}</math>, <math>\vec{\omega}_{20} = \omega_{20}\,\vec{k}</math>, <math>\vec{\omega}_{01} = \omega_{01}\,\vec{k}</math>.
#<math>\vec{v}^{\,O}_{01}=\vec{0}</math>, pues la barra "0" está articulada en el punto fijo <math>O</math>.
#<math>\vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0}</math>, pues las barras "0" y "2" están articuladas en el punto común <math>B</math>.
#<math>\vec{v}^{\,A}_{21}=v_0\,\vec{\jmath}_1</math> pues el punto <math>A</math> de la barra “2” desliza sobre el eje <math>OY_1</math> con una velocidad <math>v_0</math>.

== Posición de los C.I.R. ==
[[Archivo:MRGIC-barrasCir-CIRs.png |right ]]
Del análisis anterior se deduce inmediatamente
<center>
<math>
I_{01} \equiv O, \qquad I_{20} \equiv B.
</math>
</center>
Para encontrar <math>I_{21}</math> razonamos como sigue. El punto <math>I_{21}</math> debe estar en la línea perpendicular a <math>\vec{v}^{\,A}_{21}</math> trazada por <math>A</math>. Y el Teorema de los Tres Centros nos dice que debe estar en la línea definida por <math>\{I_{01}, I_{20}\}</math>. El punto de corte está indicado en la figura.

Los vectores de posición en la base del sólido "1" son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{OI}_{01} = \vec{0}, \\
\overrightarrow{OI}_{20} = \overrightarrow{OB} =
\sqrt{2}d\,(\cos(\pi/4)\,\vec{\imath}_1 + \mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\jmath}_1) =
d\,\vec{\imath}_1 + d\,\vec{\jmath}_1,\\
\overrightarrow{OI}_{21} =
2\sqrt{2}d\,(\cos(\pi/4)\,\vec{\imath}_1 + \mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\jmath}_1) =
2d\,\vec{\imath}_1 + 2d\,\vec{\jmath}_1,
\end{array}
</math>
</center>

== Reducciones cinemáticas ==
Hay varias formas de hacer este apartado.
Lo mas sencillo es empezar utilizando la posición del <math>I_{21}</math>. Aplicando Chasles para el movimiento {21}
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,I_{21}}_{21} +\vec{\omega}_{21}\times \overrightarrow{I_{21}A}
=
(\omega_{21}\,\vec{k})\times(-2d\,\vec{\imath}_1) =
2\omega_{21}d\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Comparando con <math>\vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\jmath}_1</math> obtenemos la reducción cinemática en <math>A</math> del movimiento {21}
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = -\dfrac{v_0}{2d}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Ahora podemos seguir utlizando la composición {21} en <math>A</math>
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{20} + \vec{v}^{\,A}_{01}
</math>
</center>
Ahora aplicamos Chasles en los movimientos {20} y {01}
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{v}^{\,B}_{20} + \vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{BA}
= (\omega_{20}\,\vec{k})\times (-d\,\vec{\imath}_1+d\,\vec{\jmath}_1) = -\omega_{20}d\,\vec{\imath}_1 - \omega_{20}d\,\vec{\jmath}_1, \\
\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}
= (\omega_{01}\,\vec{k})\times (2d\,\vec{\jmath}_1) = -2\omega_{01}d\,\vec{\imath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} =
-d\,(\omega_{20} + 2\omega_{01})\,\vec{\imath}_1 - \omega_{20}d\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Comparando con <math>\vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\jmath}_1</math> obtenemos
<center>
<math>
\omega_{20} = -v_0/d, \qquad \omega_{01} = v_0/2d.
</math>
</center>
Por lo que las dos reducciones cinemáticas que faltan son
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
\vec{\omega}_{01} = \dfrac{v_0}{2d}\,\vec{k}, &\quad & \vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0},\\
\\
\vec{\omega}_{20} = -\dfrac{v_0}{d}\,\vec{k}, &\quad &\vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0}.
\end{array}
</math>
</center>

== Derivadas temporales de las reducciones cinemáticas ==

Al ser un movimiento plano tenemos también <math>\vec{\alpha}_{21} = \alpha_{21}\,\vec{k}</math>, <math>\vec{\alpha}_{20} = \alpha_{20}\,\vec{k}</math>, <math>\vec{\alpha}_{01} = \alpha_{01}\,\vec{k}</math>.

También hay varias formas de hacer este apartado. Proponemos una de ellas.

Como el enunciado dice que <math>v_0</math> es constante tenemos <math>\vec{a}^{\,A}_{21}=\vec{0}</math>. Por otro lado los C.I.R. de los movimientos {20} y {01} están siempre en los mismos puntos de los sólidos. Entonces
<center>
<math>
\vec{a}^{\,A}_{21}=\vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,B}_{20}=\vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,O}_{01}=\vec{0}.
</math>
</center>
Ahora usamos la composición {21}= {20} + {01} en <math>B</math>
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{20} + \vec{a}^{\,B}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,B}_{20}= \left(\dfrac{v_0^2}{4d} - \alpha_{01}d\right)\,\vec{\imath}_1 + \left(\dfrac{v_0^2}{4d} + \alpha_{01}d\right)\,\vec{\jmath}_1.\\
\qquad \vec{a}^{\,B}_{20} = \vec{0},\\
\qquad \vec{a}^{\,B}_{01} = \vec{a}^{\,0}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OB} - |\vec{\omega}_{01}|^2\,\overrightarrow{OB} = \left(\dfrac{v_0^2}{4d} - \alpha_{01}d\right)\,\vec{\imath}_1 + \left(\dfrac{v_0^2}{4d} + \alpha_{01}d\right)\,\vec{\jmath}_1. \\
\qquad\qquad \vec{a}^{\,O}_{01} = \vec{0}, \\
\qquad \qquad \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OB} = (\alpha_{01}\,\vec{k})\times(d\,\vec{\imath}_1 + d\,\vec{\jmath}_1) = -\alpha_{01}d\,\vec{\imath}_1 + \alpha_{01}d\,\vec{\jmath}_1, \\
\qquad\qquad |\vec{\omega}_{01}|^2\,\overrightarrow{OB} = \dfrac{v_0^2}{4d}\,(\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1).\\
\qquad\vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0}.
\end{array}
</math>
</center>
Por otro lado , usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} partiendo desde <math>A</math>
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,A}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{AB} - |\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{AB} = \left( \dfrac{v_0^2}{4d} + \alpha_{21}d\right)\,\vec{\imath}_1 + \left(-\dfrac{v_0^2}{4d} + \alpha_{21}d\right)\,\vec{\jmath}_1.\\
\qquad \vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{0}. \\
\qquad \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{AB} = (\alpha_{21}\,\vec{k})\times(d\,\vec{\imath}_1 - d\,\vec{\jmath}_1) = \alpha_{21} d\,\vec{\imath}_1 + \alpha_{21}d\,\vec{\jmath}_1,\\
\qquad |\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{AB} = \dfrac{v_0^2}{4d}\,(\vec{\imath}_1 - \vec{\jmath}_1).
\end{array}
</math>
</center>
Comparando las dos expresiones de <math>\vec{a}^{\,B}_{21}</math> obtenemos
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = \dfrac{v_0^2}{4d^2}\,\vec{k}, \qquad
\vec{\alpha}_{01} = -\dfrac{v_0^2}{4d^2}\,\vec{k}
</math>
</center>
Y ahora usamos la ley de composición
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
\to
\vec{\alpha}_{20} = \vec{\alpha}_{21} - \vec{\alpha}_{01} - \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
=
\dfrac{v_0^2}{2d^2}\,\vec{k}.
</math>
</center>
Las derivadas de las reducciones cinemáticas son
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{\alpha}_{21} = (v_0^2/4d)\,\vec{k}, &\qquad \vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{0},\\
\vec{\alpha}_{20} = (v_0^2/2d)\,\vec{k}, &\qquad \vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{0},\\
\vec{\alpha}_{01} = -(v_0^2/4d)\,\vec{k},& \qquad \vec{a}^{\,O}_{21} = \vec{0}.
\end{array}
</math>
</center>

== Errores habituales detectados en la corrección ==
#Cuando se pide encontrar analíticamente los C.I.R. quiere decir dar su vector de posición.
#No se pueden derivar los vectores rotación obtenidos en el segundo apartado. Esos valores corresponden a un instante de tiempo. Para derivar una función tienes que conocer su expresión en un intervalo de tiempo.
#Hay gente que, para expresar el Teorema de los Tres Centros, ha escrito <math>I_{21} = I_{20} + I_{01}</math>. Esta expresión no tiene sentido.

[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]
[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]

Coche impactando contra una pared

2024-09-16T14:18:19Z

Pedro: /* Solución */

= Enunciado =
Un coche impacta contra una pared a una velocidad de 100 km/h. Estima el tiempo máximo que debe tardar el airbag en desplegarse para proteger al conductor.

= Solución =

Vamos a suponer que durante la colisión el coche sufre una desaceleración constante. Esto no es exactamente cierto, pero nos basta para hacer un cálculo que nos dará el orden de magnitud del tiempo que buscamos. Aplicamos entonces las expresiones del movimiento de una partícula uniformemente acelerada
<center>
<math>
\begin{array}{l}
v(t) = v_0 - a_0t,\\
\\
s(t) = s_0 + v_0t - \dfrac{1}{2}a_0t^2.
\end{array}
</math>
</center>
Si el coche tiene longitud <math>L</math>, consideramos en primera aproximación que su centro de masas, situado aproximadamente en el centro del coche, tiene que recorrer una distancia <math>L/2</math> antes de pararse. La colisión dura un tiempo <math>t_d</math>. Tenemos entonces
<center>
<math>
v(t_d) = 0 = v_0 - a_0t_d
\Longrightarrow
a_0 = v_0/t_d.
</math>
</center>
Usamos ahora la expresión que nos da la distancia recorrida (tomamos <math>s_0=0</math>)
<center>
<math>
\dfrac{L}{2} = v_0t_d - \dfrac{1}{2}\dfrac{v_0}{t_d}\,t_d^2
\Longrightarrow
t_d = \dfrac{L}{v_0}.
</math>
</center>
La longitud típica de un coche es <math>L\simeq 4\,\mathrm{m}</math>. Si <math>v_0=100\,\mathrm{km/h}</math> tenemos
<center>
<math>
t_d = \dfrac{4}{100}\,\dfrac{\mathrm{m}\cdot\mathrm{h}}{\mathrm{km}}
\,\dfrac{1\,\mathrm{km}}{10^3\,\mathrm{m}}\,\dfrac{3.6\times10^3\,\mathrm{s}}{1\,\mathrm{h}}\,\dfrac{10^3\,\mathrm{ms}}{1\,\mathrm{s}}
\simeq 140\,\mathrm{ms}.
</math>
</center>
Nuestro modelo es muy basto. Una mejora evidente es que en una colisión el coche no queda completamente aplastado. Además el centro de masas no está en el centro del coche, sino mas hacia delante, debido a la posición del motor. El valor de <math>L</math> sería mas pequeño. Los airbags reales se despliegan en un tiempo típico de 15-30 ms.

Con nuestro modelo podemos estimar también la fuerza media que recibe un ocupante del vehículo durante la colisión.
La aceleración es
<center>
<math>
a_0=\dfrac{v_0}{t_d} \simeq 190\,\mathrm{m/s^2}\simeq 20g.
</math>
</center>
Si escogemos <math>m=80 \,\mathrm{kg}</math> como la masa típica de una persona la fuerza que ha sufrido es
<center>
<math>
F=ma_0 \simeq 1.6\times10^4\,\mathrm{N}.
</math>
</center>
Esto es equivalente al peso de una masa de 16 Tm, aproximadamente.

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Ejemplo de movimiento helicoidal (GIE)

2024-09-09T17:57:27Z

Pedro: Página creada con «==Enunciado== El movimiento de un pájaro en una corriente térmica es aproximadamente helicoidal, compuesto de un movimiento ascensional y uno de giro alrededor del eje de subida, de forma que la velocidad en cada punto de la trayectoria puede escribirse como <center><math>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{\omega}_0\times\vec{r}</math></center> siendo <center><math>\vec{v}_0 = v_0\vec{k}\qquad \vec{\omega}_0=\omega_0 \vec{k}</math></center> dos vectores constantes. Si la p…»

==Enunciado==
El movimiento de un pájaro en una corriente térmica es aproximadamente helicoidal, compuesto de un movimiento ascensional y uno de giro alrededor del eje de subida, de forma que la velocidad en cada punto de la trayectoria puede escribirse como

<center><math>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{\omega}_0\times\vec{r}</math></center>

siendo

<center><math>\vec{v}_0 = v_0\vec{k}\qquad \vec{\omega}_0=\omega_0 \vec{k}</math></center>

dos vectores constantes. Si la posición inicial es <math>\vec{r}_0=A\vec{\imath}</math>

# Determine la velocidad en cada punto expresada en la base de coordenadas cilíndricas.
# Determine las ecuaciones horarias <math>\rho=\rho(t)</math>, <math>\theta=\theta(t)</math> y <math>z=z(t)</math>. ¿Cuánto vale el ''paso de rosca'' de la hélice, esto es, lo que sube en el tiempo que da una vuelta alrededor del eje?
# Calcule la aceleración del movimiento, así como sus componentes intrínsecas en cada punto del movimiento.
# Determine el radio de curvatura de la trayectoria en cualquier instante.
==Velocidad==
La velocidad en cada punto la obtenemos simplemente sustituyendo en la expresión indicada

<center><math>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{\omega}_0\times\vec{r}</math></center>

donde <math>\vec{r}</math> es el vector de posición del pájaro, que en coordenadas cilíndricas se expresa

<center><math>\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho+z\vec{k}</math></center>

Sustituyendo nos queda

<center><math>\vec{v}=v_0\vec{k}+\omega_0\vec{k}\times\left(\rho\vec{u}_\rho+z\vec{k}\right)</math></center>

La base asociada a las coordenadas cilíndricas forma un triedro ortonormal y dextrógiro, por lo que cumple

<center><math>\vec{k}\times\vec{u}_\rho=\vec{u}_\theta</math></center>

y queda la velocidad

<center><math>\vec{v}=\omega_0\rho\vec{u}_\theta+v_0\vec{k}</math></center>

Vemos que posee una componente acimutal (correspondiente al giro) y una vertical, asociada a la ascensión.

==Ecuaciones horarias==
Por otra parte, la velocidad de una partícula, expresada en coordenadas cilíndricas, es

<center><math>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho + \rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta+\dot{z}\vec{k}</math></center>

Igualando componente a componente, nos quedan las igualdades

<center><math>\dot{\rho} = 0\qquad \rho\dot{\theta}=\omega_0\rho\qquad\dot{z}=v_0</math></center>

La integración de estas tres ecuaciones es inmediata, ya que cada una de las derivadas es una constante o nula.

<center><math>\rho=\rho_0\qquad\theta=\omega_0t + \theta_0\qquad z=v_0t+z_0</math></center>

Los valores de las constantes de integración los obtenemos de la posición inicial. sabemos que en <math>t=0</math> la partícula se encuentra en

<center><math>\vec{r}_0=A\vec{\imath}</math></center>

que corresponde a las coordenadas cilíndricas

<center><math>\rho_0 = A\qquad\theta_0 = 0\qquad z_0=0</math></center>

por tanto las ecuaciones horarias del movimiento son

<center><math>\rho=A\qquad\theta=\omega_0t\qquad z=v_0t</math></center>

En coordenadas cartesianas, estas ecuaciones horarias quedan

<center><math>x = \rho \cos(\theta) = A\cos(\omega_0t)\qquad y = \rho\,\mathrm{sen}(\theta) = A\,\mathrm{sen}(\omega_0t)\qquad z = v_0t</math></center>

==Aceleración==
===Vector aceleración===
Podemos hallar la aceleración a partir de su expresión en cartesianas

<center><math>\vec{a}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}+\ddot{z}\vec{k}</math></center>

o la correspondiente en cilíndricas

<center><math>\vec{a} = (\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_{\rho} + (2\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta}+\ddot{z}\vec{k}</math></center>

Para aplicar esta última, hallamos las segundas derivadas,

<center><math>\ddot{\rho}=0\qquad\ddot{\theta}=0\qquad\ddot{z}=0</math></center>

y la aceleración se reduce a

<center><math>\vec{a}=-\omega_0^2A\vec{u}_\rho</math></center>

Resulta una aceleración puramente radial y hacia adentro.

===Aceleración tangencial===
[[Archivo:movimiento-helicoidal.gif|right]]

La aceleración que acabamos de hallar es puramente ortogonal a la velocidad, ya que una es radial, mientras que la otra posee solo componentes acimutal y vertical

<center><math>\vec{a}\cdot\vec{v}=\left(-\omega_0^2A\vec{u}_\rho\right)\cdot\left(\omega_0\rho\vec{u}_\theta+v_0\vec{k}\right) = 0</math></center>

Por tanto, la aceleración tangencial es nula

<center><math>a_t = \frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}|}=0</math></center>

Esto nos dice también que el movimiento es uniforme y la celeridad es constante

<center><math>|\vec{v}|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{\omega_0^2A^2+v_0^2}</math></center>

===Aceleración normal===
Si la aceleración tangencial es nula, toda la aceleración es normal

<center><math>\vec{a}_n = \vec{a} = -\omega_0^2A\vec{u}_\rho</math></center>

y, en forma escalar,

<center><math>a_n = |\vec{a}_n|=\omega_0^2A</math></center>

==Radio de curvatura==
Una vez que tenemos la aceleración normal y la rapidez, el radio de curvatura es inmediato

<center><math>R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{\omega_0^2A^2+v_0^2}{\omega_0^2A}=A+\frac{v_0^2}{\omega_0^2A}</math></center>

Resulta un radio de curvatura mayor que el radio de la hélice (que vale A) ya que una hélice viene a ser un arco circular que se estira verticalmente.
[[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (GIE)]]
[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional (GIE)]]

Archivo:Cilindricas.png

2024-09-09T17:56:05Z

Pedro:

Vínculos en mecánica analítica

2024-09-04T15:05:07Z

Pedro: Página creada con «==Introducción== ==Clasificación de vínculos== ==Ecuaciones de vínculos== ==Desplazamientos reales, posibles y virtuales== ==Fuerzas de reacción vincular== Categoría:Mecánica analítica (CMR)»

==Introducción==
==Clasificación de vínculos==
==Ecuaciones de vínculos==
==Desplazamientos reales, posibles y virtuales==
==Fuerzas de reacción vincular==
[[Categoría:Mecánica analítica (CMR)]]

Percusión sobre una barra con resorte

2024-09-04T15:04:13Z

Pedro: Página creada con «==Enunciado== Se tiene un sistema formado por una varilla de masa <math>m=1.2\,\mathrm{kg}</math> y longitud <math>b=1\,\mathrm{m}</math>, apoyada sin rozamiento en una pared vertical y un suelo horizontal. El extremo B, apoyado en la pared está conectado a la esquina mediante un resorte de constante <math>k=30\,\mathrm{N}/\mathrm{m}</math> y longitud natural <math>\ell_0=1\,\mathrm{m}</math>. Por efecto de la gravedad (tómese <math>g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</ma…»

==Enunciado==
Se tiene un sistema formado por una varilla de masa <math>m=1.2\,\mathrm{kg}</math> y longitud <math>b=1\,\mathrm{m}</math>, apoyada sin rozamiento en una pared vertical y un suelo horizontal. El extremo B, apoyado en la pared está conectado a la esquina mediante un resorte de constante <math>k=30\,\mathrm{N}/\mathrm{m}</math> y longitud natural <math>\ell_0=1\,\mathrm{m}</math>. Por efecto de la gravedad (tómese <math>g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>) la varilla resbala hasta que la compresión del resorte la detiene.
# Determine la posición de los extremos A y B de la barra en la posición de equilibrio.
# Suponiendo que se encuentra en la posición de equilibrio, se efectúa sobre la barra una percusión horizontal en un punto C a una altura <math>h=20\,\mathrm{cm}</math> y de magnitud <math>\vec{P}_C=-1.5\,\vec{\imath}\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}.</math> Calcule la velocidad del centro de masas inmediatamente después de la percusión, así como las percusiones de reacción en la pared y el suelo.
# Tras la percusión anterior, la varilla se acerca a la pared. Calcule la velocidad del centro de masas de la varilla en el momento en que impacta con la pared.
<center>[[Archivo:barra-apoyada-muelle.png|400px]]</center>
==Posición de equilibrio==
La condición de equilibrio de un sólido la da el que la resultante de las fuerzas se anule y también lo haga el momento resultante respecto a cualquier punto.
<center><math>\vec{F}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{M}_O=\vec{0}</math></center>
Las fuerzas que actúan sobre el sólido son
* El peso
<center><math>m\vec{g}=-mg\vec{\jmath}</math></center>
* La fuerza elástica debida al resorte
<center><math>\vec{F}_e=k(\ell_0-\ell_0\cos(\theta))\vec{\jmath}</math></center>
:siendo θ el ángulo que la barra forma con la vertical
* La fuerza de reacción con el suelo
<center><math>\vec{F}_A=F_A\vec{\jmath}</math></center>
* La fuerza de reacción con el suelo
<center><math>\vec{F}_B=F_B\vec{\imath}</math></center>

La condición de resultante nula nos da las ecuaciones, separando por componentes

<center><math>-mg+k\ell_0(1-\cos(\theta))+F_A=0\qquad\qquad F_B=0</math></center>

Para completar el sistema necesitamos que también se anulen los momentos. Nos vale cualquier punto. Si lo hacemos respecto a la esquina, O,

<center><math>\vec{M}_O=\overrightarrow{OG}\times(m\vec{g})+\overrightarrow{OB}\times\vec{F}_e+\overrightarrow{OA}\times\vec{F}_A+\overrightarrow{OB}\times\vec{F}_B</math></center>

Esto nos da la ecuación

<center><math>-\frac{\ell_0}{2}\mathrm{sen}(\theta)mg+0+\ell_0\,\mathrm{sen}(\theta)F_A-\ell_0\cos(\theta)F_B=0</math></center>

de la cual obtenemos

<center><math>F_A=\frac{mg}{2}</math></center>

y, por tanto,

<center><math>k\ell(1-\cos(\theta))=\frac{mg}{2}\qquad\Rightarrow \qquad \cos(\theta)=1-\frac{mg}{2k\ell_0}</math></center>

siendo el valor numérico

<center><math>\cos(\theta)=1-\frac{1.2\times 10}{2\times30}=0.8\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{sen}(\theta)=0.60</math></center>

Por ello, las posiciones de los puntos A y B se encuentran en

<center><math>\overrightarrow{OA}=\ell_0\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}=0.60\vec{\imath}\,\mathrm{m}\qquad\qquad
\overrightarrow{OB}=\ell_0\cos(\theta)\vec{\jmath}=0.80\vec{\jmath}\,\mathrm{m}</math></center>

==Efecto de la percusión==
Cuando se produce la percusión en C, aparecen dos percusiones de reacción en los puntos de apoyo, A y B, de forma que el sistema está sometido a tres percusiones, dos de ellas de valor desconocido

<center><math>\vec{P}_A=P_A\vec{\jmath}\qquad\qquad\vec{P}_B=P_B\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{P}_C=-P_C\vec{\imath}</math></center>

El teorema de la cantidad de movimiento para las fuerzas impulsivas nos dice que

<center><math>m\vec{v}_G=\vec{P}=(P_B-P_C)\vec{\imath}+P_A\vec{\jmath}</math></center>

La velocidad del CM tras la percusión no es puramente horizontal, ya que la barra está obligada a permanecer sobre el suelo y la pared. Por ello G debe permanecer a una distancia <math>\ell_0/2</math> del origen de coordenadas y su movimiento es circular

<center><math>\overrightarrow{OG}=\frac{\ell_0}{2}\left(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath}\right)</math></center>

Derivando aquí
<center><math>
\vec{v}_G=\frac{\ell_0}{2}\dot{\theta}\left(\cos(\theta)\vec{\imath}-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}\right)</math></center>

Igualamos componente a componente en el TCM

<center><math>\frac{m\ell_0}{2}\dot{\theta}\cos(\theta)=P_B-P_C\qquad\qquad -\frac{m\ell_0}{2}\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)=P_A</math></center>

Estas dos ecuaciones no son suficientes ya que tenemos tres incógnitas. La tercera ecuación sale del teorema del momento cinético

<center><math>I\vec{\omega}=\overrightarrow{GA}\times\vec{P}_A+\overrightarrow{GB}\times\vec{P}_B+\overrightarrow{GC}\times\vec{P}_C</math></center>

Respecto al CM la barra realiza un giro con velocidad angular <math>\omega =\dot{\theta}</math>, siendo su momento de inercia respecto a un eje por el CM <math>I=m\ell_0^2/12</math>. Por tanto

<center><math>\frac{m\ell_0^2}{12}\dot{\theta}=\frac{\ell_0}{2}\mathrm{sen}(\theta)P_A-\frac{\ell_0}{2}\cos(\theta)P_B-\left(\frac{\ell_0}{2}\cos(\theta)-h\right)P_C</math></center>

Despejamos del TMC y sustituimos aquí

<center><math>\frac{m\ell_0^2}{12}\dot{\theta}=\frac{\ell_0}{2}\mathrm{sen}(\theta)\left(-\frac{m\ell_0}{2}\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\right)-\frac{\ell_0}{2}\cos(\theta)\left(\frac{m\ell_0}{2}\dot{\theta}\cos(\theta)+P_C\right)-\left(\frac{\ell_0}{2}\cos(\theta)-h\right)P_C</math></center>

Agrupamos términos y queda

<center><math>\frac{m\ell_0^2}{3}\dot\theta=-\left({\ell_0}\cos(\theta)-h\right)P_C</math></center>

por lo que la velocidad angular de la barra justo tras la percusión es

<center><math>\dot{\theta}=-\frac{3(\ell_0\cos(\theta)-h)P_C}{m\ell_0^2}=\frac{-3(0.80-0.20)1.5}{1.2}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-2.25\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

lo que nos da la velocidad del CM

<center><math>
\vec{v}_G=\frac{\ell_0}{2}\dot{\theta}\left(\cos(\theta)\vec{\imath}-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}\right)=\left(-0.9\vec{\imath}+0.675\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

==Impacto con la pared==
En este sistema se conserva la energía mecánica ya que todas las fuerzas o son conservativas (el peso y la fuerza elástica) o no realizan trabajo (las fuerzas normales en la pared).

La energía mecánica es suma de la cinética más la potencial. La cinética es suma de la de traslación con el CM, más la de rotación alrededor de éste

<center><math>T=\frac{1}{2}m|\vec{v}_G|^2+\frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{\ell_0}{2}\right)^2 \dot{\theta}^2+\frac{1}{2}m\frac{\ell_0^2}{12} \dot{\theta}^2 = \frac{1}{6}m\ell_0^2\dot{\theta}^2</math></center>

La potencial es suma de la debida al peso más la debida al muelle

<center><math>U=mgh_G+\frac{1}{2}k\left(\ell_0-\ell_0\cos(\theta)\right)^2=\frac{mg\ell_0}{2}\cos(\theta)+\frac{1}{2}k\ell_0^2 (1-\cos(\theta))^2</math></center>

Justo tras la percusión estas dos cantidades valen

<center><math>T=\frac{1}{6}m\ell_0^2 \dot{\theta}^2=\frac{1}{6}1.2\times2.25^2 = 1.0125\,\mathrm{J}</math></center>

<center><math>U=1.2\times 10\times 0.40+\frac{1}{2}30(1-0.80)^2 = 4.8+0.6 = 5.4\,\mathrm{J}</math></center>

Cuando impacta, el ángulo con la vertical para a ser nulo y la energía potencial es

<center><math>U_i=1.2 \times 10\times 0.5 + 0 =6.0\,\mathrm{J}</math></center>

Igualando la energía mecánica en los dos instantes

<center><math>5.4+1.0125=6.0+0.2\omega_f^2\qquad\Rightarrow\qquad \omega_f = -1.44\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

siendo la velocidad del CM en ese instante

<center><math>\vec{v}_G=\frac{\ell_0}{2}\omega_f\vec{\imath}=-0.718\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

Archivo:Barra-apoyada-muelle.png

2024-09-04T15:03:46Z

Pedro:

Percusión sobre una barra articulada

2024-09-04T15:02:24Z

Pedro: Página creada con «==Enunciado== ¿Cómo cambian los resultados del problema “Percusión sobre una mancuerna y una barra” los dos problemas anteriores si la barra está articulada a un punto fijo O, situado en uno de los extremos de la barra? ¿Cuánto valen las percusiones y momentos impulsivos de reacción en O? ¿Y sí en lugar de estar articulada, está empotrada en O? ==Introducción== A diferencia del problema mencionado, en este existe un vínculo que limita el…»

==Enunciado==
¿Cómo cambian los resultados del problema “[[Percusión sobre una mancuerna y una barra]]” los dos problemas anteriores si la barra está articulada a un punto fijo O, situado en uno de los extremos de la barra? ¿Cuánto valen las percusiones y momentos impulsivos de reacción en O?

¿Y sí en lugar de estar articulada, está empotrada en O?

==Introducción==
A diferencia del problema mencionado, en este existe un vínculo que limita el movimiento de la varilla. La articulación en O hace que el movimiento sea necesariamente una rotación alrededor de este punto. Esto relaciona la velocidad del CM con la velocidad angular

<center><math>\vec{v}^G_{21}=\vec{\omega}^{21}\times\overrightarrow{OG}=\omega_{21}b\vec{\jmath}</math></center>

Por su parte, dado que la rotación se produce en torno a O, que e sun punto fijo, interesa el momento de inercia respecto a un eje ortogonal a la varilla por O. Aplicando el teorema de Steiner

<center><math>I_O=\gamma m b^2 + m b^2=(\gamma+1)mb^2</math></center>

siendo <math>\gamma=1</math> para una mancuerna (varilla sin masa, con dos masas en los extremos, en este caso una en la propia articulación) y <math>\gamma=1/3</math> para la barra homogénea.

==Momento cinético respecto a O==
El teorema del momento cinético, aplicado en O, nos da

<center><math>\Delta \vec{L}_O=\vec{L}^+_O=\overrightarrow{OA}\times\vec{P}=(b+c)P\vec{k}</math></center>

lo que nos da la velocidad angular tras la percusión, por ser un eje principal,

<center><math>\vec{\omega}^+_{21}=\frac{\vec{L}_O^+}{I_O}=\frac{(b+c)P}{(\gamma+1)mb^2}\vec{k}</math></center>
==Cantidad de movimiento==
Una vez que tenemos la velocidad angular, tenemos la del CM

<center><math>\vec{v}^{G+}_{21}=\omega^+_{21}b\vec{\jmath}=\frac{(b+c)P}{(\gamma+1)mb}\vec{\jmath}</math></center>

y por tanto la cantidad de movimiento tras la percusión

<center><math>\vec{p}^+=m\vec{v}^{G+}_{21}=\frac{(b+c)P}{(\gamma+1)b}\vec{\jmath}</math></center>
==Momento cinético respecto al CM==
Si queremos el momento cinético respecto al CM podemos trasladarlo mediante la relación

<center><math>\vec{L}_G=\vec{L}_O+\vec{p}\times\overrightarrow{OG}</math></center>

o aplicar directamente

<center><math>\vec{L}_G=I_G\vec{\omega}_{21}=\frac{\gamma}{\gamma+1}\,(b+c)P\vec{k}</math></center>

==Energía cinética==
La energía cinética tras la percusión la obtenemos a partir del momento cinético en O

<center><math>T=\frac{1}{2}\vec{p}\cdot\vec{v}_{21}^O+\frac{1}{2}\vec{L}_O\cdot\vec{\omega}_{21}=\frac{(b+c)^2P^2}{2(\gamma+1)mb^2}</math></center>

Esta energía cinética es menor que la que se tiene para la barra libre. Esto es una propiedad general, la presencia de vínculos reduce la ganancia de energía cinética.

==Percusión de reacción==
La percusión de reacción la obtenemos que sabemos como ha cambiado la cantidad de movimiento del sistema

<center><math>\Delta \vec{p}=\vec{P}_O+\vec{P}_A\qquad\Rightarrow\qquad \vec{P}_O=m\vec{v}^G_{21}-\vec{P}_A</math></center>

lo que nos da

<center><math>\vec{P}_O=\left(\frac{(b+c)P}{(\gamma+1)b}-P\right)\vec{\jmath}=\frac{c-\gamma b}{(\gamma+1)b}\vec{P}_A</math></center>

Para el caso de la mancuerna dado que c < 1, esta percusión de reacción siempre es opuesta a la que aplicamos, pero para la barra homogénea, puede tanto ir en sentido opuesto como en el mismo sentido, dependiendo del punto de aplicación. En particular, si <math>c=b/3</math>, la percusión de reacción es nula.

==Caso de una barra empotrada==
Si la barra está empotrada, su estado tras percusión es de reposo

<center><math>\vec{v}^{G+}_{21}=\vec{0}\qquad\qquad\vec{\omega}_{21}^+=\vec{0}</math></center>

Esto nos da directamente la percusión de reacción en O

<center><math>\vec{0}=\vec{P}_O+\vec{P}_A\qquad\Rightarrow\qquad \vec{P}_O=-P\vec{\jmath}</math></center>

y el momento impulsivo de reacción

<center><math>\vec{0}=\vec{H}_O+\overrightarrow{OA}\times\vec{P}_A\qquad\Rightarrow\qquad \vec{H}_O=-(c+b)P\vec{k}</math></center>

Archivo:Barrarotante-02.gif

2024-09-04T15:00:38Z

Pedro:

Percusión sobre una mancuerna y una barra

2024-09-04T15:00:11Z

Pedro: Página creada con «==Enunciado== Supongamos dos masas iguales <math>m/2</math> unidas por una barra rígida de longitud <math>2b</math>, sin masa (lo que sería una mancuerna ideal). Las masas reposan sobre un plano horizontal, sobre el que pueden moverse sin rozamiento. Se comunica una percusión <math>\vec{P}</math> perpendicular a la barra a una distancia <math>c</math> de su centro. # ¿Cuánto valen la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al CM y la energía cin…»

Problemas de dinámica impulsiva (CMR)

2024-09-04T14:59:49Z

Pedro: Página creada con «==Percusión sobre una mancuerna== Supongamos dos masas iguales <math>m/2</math> unidas por una barra rígida de longitud <math>2b</math>, sin masa (lo que sería una mancuerna ideal). Las masas reposan sobre un plano horizontal, sobre el que pueden moverse sin rozamiento. Se comunica una percusión <math>\vec{P}</math> perpendicular a la barra a una distancia <math>c</math> de su centro. # ¿Cuánto valen la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al…»

Archivo:Aro-anilla-ejes.png

2024-09-04T14:58:49Z

Pedro:

Archivo:Particula-aro.png

2024-09-04T14:58:29Z

Pedro:

Anilla ensartada en un aro rodante

2024-09-04T14:58:02Z

Pedro: Página creada con «==Enunciado== Se tiene un sistema formado por un aro “2” de masa <math>m_2</math> que puede rodar sin deslizar sobre una superficie horizontal “1”. Ensartado en este aro se encuentra una pequeña anilla “3” de masa <math>m_3</math> que puede deslizarse sin fricción a lo largo del aro “2”. <center>Archivo:particula-aro.png</center> Empleando como coordenadas la posición x del centro C del aro “2” a lo…»

==Enunciado==
Se tiene un sistema formado por un aro “2” de masa <math>m_2</math> que puede rodar sin deslizar sobre una superficie horizontal “1”. Ensartado en este aro se encuentra una pequeña anilla “3” de masa <math>m_3</math> que puede deslizarse sin fricción a lo largo del aro “2”.

<center>[[Archivo:particula-aro.png]]</center>

Empleando como coordenadas la posición x del centro C del aro “2” a lo largo del eje horizontal y el ángulo θ que la posición de la anilla “3” forma con la vertical, determine:
# Las ecuaciones de movimiento para estas dos coordenadas.
# Dos constantes de movimiento no triviales.
# Suponiendo que el aro y la anilla están en reposo, se sitúa la anilla formando un pequeño ángulo <math>\theta_0</math> con la vertical. Determine la frecuencia de las oscilaciones que realiza el sistema.

==Ecuaciones de movimiento==
Cada uno de los dos cuerpos “2” y “3” obedece las ecuaciones dadas por el teorema de la cantidad de movimiento y el teorema del momento cinético. En cada caso debemos incluir las posibles fuerzas de reacción sobre cada uno de los cuerpos.
===Para el aro===
====Teorema de la cantidad de movimiento====
El aro experimenta las siguientes fuerzas externas:
* Su peso <math>-m_2g\vec{\jmath}_1</math>
* La reacción del suelo en el punto de contacto A, la cual tiene dos componentes
** Una vertical <math>\vec{F}_{Ay}=F_{Ay}\vec{\jmath}_1</math> que impide que el aro atraviese el suelo, y mantiene el centro a una altura constante R.
** Una horizontal, <math>\vec{F}_{Ax}=F_{Ax}\vec{\imath}_1</math> que impide que el aro deslice, de manera que solo ruede.
* Una fuerza de reacción debida a la anilla. El vínculo de que la anilla permanezca en el aro se consigue realizando una fuerza normal sobre ésta <math>\vec{F}_P</math> y, por la tercera ley de Newton, una fuerza igual y de sentido contrario <math>-\vec{F}_P</math> se aplica en el aro.

Esto nos da la sigueinte relación

<center><math>m_2\vec{a}^C_{21}=m_2\vec{g}+\vec{F}_{Ax}+\vec{F}_{Ay}-\vec{F}_P</math></center>

La aceleración del centro del aro es puramente horizontal

<center><math>\vec{a}^C_{21}=\ddot{x}\vec{\imath}_1</math></center>

Para expresar la fuerza <math>\vec{F}_P</math> usamos un sistema “3” de ejes que está girado un ángulo θ respecto al sistema “1”, de manera que <math>\vec{\imath}_3</math> es tangente al aro y <math>\vec{\jmath}_3</math> es radial y hacia adentro.

<center><math>\vec{\imath}_3 = C\vec{\imath}_1+S\vec{\jmath}_1\qquad\qquad \vec{\jmath}_3=-S\vec{\imath}_1+C\vec{\jmath}_1</math></center>

(<math>S=\mathrm{sen}(\theta),\ C=\cos(\theta)</math>). Estos vectores se relacionan directamente con los correspondientes a las coordenadas polares.

<center>[[Archivo:aro-anilla-ejes.png]]</center>
Tenemos entonces

<center><math>m_2 \ddot{x}\vec{\imath}_1=-m_2g\vec{\jmath}_1+F_{Ax}\vec{\imath}_1+F_{Ay}\vec{\jmath}_1-F_P\vec{\jmath}_3</math></center>

Separando por componentes

<center><math>\left\{\begin{array}{lrcl}x:\ & m_2\ddot{x}&=&F_{Ax}+F_PS \\ y:\ &0&=&-mg+F_{Ay}-F_PC\end{array}\right.</math></center>

Estas dos ecuaciones no son suficientes para determinar el movimiento del aro.

====Teorema del momento cinético====
La tercera ecuación para el aro la da la evolución del momento cinético. Respecto al centro del aro

<center><math>\vec{L}_C=I\vec{\omega}_{21} \qquad\Rightarrow\qquad L_C=I\omega_{21}</math></center>

Podemos usar escalares ya que ambos vectores apuntan en la dirección del eje Z, perpendicular al plano de movimiento. Podemos relacionar la velocidad angular con la velocidad de avance del centro por la condición de rodadura

<center><math>\vec{0}=\vec{v}^A_{21}+\omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{GA}\qquad\Rightarrow\qquad \omega_{21}=-\frac{\dot{x}}{R}</math></center>

y de aquí

<center><math>\alpha_{21}=-\ddot{x}{R}</math></center>

La única fuerza que provoca un momento respecto al centro es la tangencial en el punto de contacto. Por ello

<center><math>I\alpha=F_{Ax}R\qquad\Rightarrow\qquad m_2R^2\left(-\frac{\ddot{x}}{R}\right)=F_{Ax}R\qquad\Rightarrow\qquad F_{Ax}=-m_2\ddot{x}</math></center>

Llevando esto a la componente horizontal del TCM podemos eliminar esta fuerza de reacción y queda

<center><math>2m_2\ddot{x}=F_PS</math></center>

Para completar el sistema necesitamos además las ecuaciones para la anilla.

===Para la anilla===
Considerando la anilla como una partícula, no es necesario considerar la rotación. En ese caso nos basta con el TCM, es decir, con la 2ª ley de Newton.

<center><math>m_3\vec{a}^P_{31}=m_3\vec{g}+\vec{F}_P</math></center>

La aceleración de la partícula se relaciona con la del centro del aro como

<center><math>\vec{a}^P_{31}=\vec{a}^P_{31}+\alpha_{31}\vec{k}\times\overrightarrow{CP}-\omega^2_{31}\overrightarrow{CP}</math></center>

siendo

<center><math>\vec{a}^C_{31}=\vec{a}^C_{21}=\ddot{x}\vec{\imath}_1</math></center>

(aquí estamos imaginando un sólido o sistema de referencia "3" cuyo eje <math>OY_3</math> sería el radio por C y P).

Además

<center><math>\alpha_{31}=\ddot{\theta}\qquad\qquad \omega_{31}=\dot{\theta}\qquad\qquad \overrightarrow{CP}=-R\vec{\jmath}_3</math></center>

Esto nos da

<center><math>m_3\left(\ddot{x}\vec{\imath}_1+R\ddot{\theta}\vec{\imath}_3+R\dot{\theta}^2\vec{\jmath}_3\right)=-m_3g\vec{\jmath}_1+F_P\vec{\jmath}_3</math></center>

Esta expresión combina dos bases vectoriales. para obtener una ecuación escalar debemos proyectar sobre una dirección dada.

===Ecuaciones de movimiento===
Si proyectamos la ecuación vectorial de la anilla hacemos sobre <math>\vec{\imath}_3</math> eliminamos la fuerza de reacción <math>F_P</math> y queda

<center><math>m_3\left(\ddot{x}C+\ddot{\theta}R\right)=-m_3gS\qquad\Rightarrow\qquad \ddot{x}C+\ddot{\theta}R=-gS</math></center>

Si proyectamos sobre la dirección horizontal <math>\vec{\imath}_1</math>

<center><math>m_3\left(\ddot{x}+R\ddot{\theta}C-R\dot{\theta}^2S\right)=-F_PS</math></center>

Sumamos esta ecuación con la correspondiente al aro

<center><math>2m_2\ddot{x}=F_PS</math></center>

y nos queda

<center><math>(2m_2+m_3)\ddot{x}+m_3R\ddot{\theta}C-m_3R\dot{\theta}^2S=0</math></center>

Tenemos entonces el sistema
<center><math>
\left\{\begin{array}{rcccl}
\ddot{x}C&+&\ddot{\theta}R&=&-gS \\
(2m_2+m_3)\ddot{x}&+&m_3R\ddot{\theta}C&=&m_3R\dot{\theta}^2S
\end{array}\right.</math></center>

De aquí podemos despejar las segundas derivadas

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}
\ddot{x}& = & \dfrac{m_3S(gC+\dot{\theta}^2R)}{2 m_2 + m_3S^2} \\
&&\\
\ddot{\theta} & = & -\dfrac{(2 m_2 + m_3)gS + m_3RCS\dot{\theta}^2 }{(2 m_2 + m_3S^2) R}
\end{array}\right.</math></center>

La segunda de las ecuaciones contiene solo a la variable θ y sus derivadas, con lo que puede ser resuelta sin tener en cuenta la posición x del anillo, que puede determinarse posteriormente.

Como límite de interés podemos ver qué pasa si <math>m_2\to\infty</math>, es decir, el aro es infinitamente masivo. En ese caso

<center><math>\ddot{x}=0\qquad\qquad \ddot{\theta}=-\frac{g}{R}\mathrm{sen}(\theta)\qquad\qquad (m_2\to\infty)</math></center>

es decir, el aro no se mueve, mientras que la anilla cumple la ecuación del péndulo.

==Constantes de movimiento==
===Cantidad de movimiento generalizada===
En este sistema no se conserva la cantidad de movimiento,

* En su componente vertical, porque está el peso, que acelera a la anilla en esta dirección.
* En la componente horizontal, porque hay una fuerza externa <math>F_{Ax}</math> que acelera el CM del sistema.

No obstante, si examinamos la ecuación de movimiento

<center><math>(2m_2+m_3)\ddot{x}+m_3R\ddot{\theta}C-m_3R\dot{\theta}^2S=0</math></center>

vemos que esta ecuación equivale a

<center><math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}((2m_2+m_3)\dot{x}+m_3 R\dot{\theta}C)=0</math></center>

y por tanto, una constante no trivial es

<center><math>(2m_2+m_3)\dot{x}+m_3 R\dot{\theta}C = B \mathrm{cte.}</math></center>

Esta magnitud generaliza la cantidad de movimiento, incorporando un término de rotación.

De hecho, puede integrarse una segunda vez y dar

<center><math>(2m_2+m_3)x+m_3 RS = A+Bt</math></center>

con lo cual, si quisiéramos, podríamos obtener una segunda constante no trivial como

<center><math>(2m_2+m_3)x+m_3 RS - Bt = (2m_2+m_3)x+m_3 RS-((2m_2+m_3)\dot{x}+m_3 R\dot{\theta}C) t</math></center>

No obstante, hay una segunda constante con mayor significado físico.
===Energía mecánica===
En este sistema se conserva la energía mecánica. La justificación para ello es que:
* El peso es una fuerza conservativa que deriva de una energía potencial.
* La fuerza de reacción <math>\vec{F}_A</math> se aplica sobre un punto de velocidad nula (el de contacto con el suelo) y por tanto no desarrolla potencia.
* La fuerza interna <math>\vec{F}_P</math> podría, en principio, afectar a la energía, sin embargo, su potencia es suma de la que hace sobre cada sólido

<center><math>P=\vec{F}_P\cdot\vec{v}^P_{31}+(-\vec{F}_P)\cdot\vec{v}^P_{21}=\vec{F}_P\cdot\left(\vec{v}^P_{31}-\vec{v}^P_{21}\right)=\vec{F}_P\cdot\vec{v}^P_{32}=0</math></center>

:ya que esta fuerza es radial y la velocidad de la anilla respecto al aro es tangencial.

Por tanto la energía mecánica se conserva. Ésta es suma de

* La energía cinética del aro, suma de la de traslación y la de rotación.

<center><math>T_2=\frac{1}{2}m_2\left|\vec{v}^C_{21}\right|^2+\frac{1}{2}I\left|\vec{\omega}_21\right|^2 = \frac{1}{2}m_2\dot{x}^2+\frac{1}{2}\left(m_2R^2\right)\left(-\frac{\dot{x}}{R}\right)^2=m_2\dot{x}^2</math></center>

* La energía cinética de la partícula

<center><math>T_2=\frac{1}{2}m_3\left|\vec{v}^P_{31}\right|^2=\frac{1}{2}m_3\left|\dot{x}\vec{\imath}_1+R\dot{\theta}\vec{\imath}_3\right|^2=\frac{1}{2}m_3\left(\dot{x}^2+2R\dot{x}\dot{\theta}C+R^2\dot{\theta}^2\right)</math></center>

* La energía potencial de la partícula, que podemos medir desde la altura del centro del aro

<center><math>U_3=-m_3gC\,</math></center>

Sumando estas tres cantidades resulta la energía

<center><math>E=m_2\dot{x}^2+\frac{1}{2}m_3\left(\dot{x}^2+2R\dot{x}\dot{\theta}C+R^2\dot{\theta}^2\right)-m_3gC</math></center>

Podemos comprobar que esta cantidad es una constante derivando respecto al tiempo y sustituyendo las ecuaciones de movimiento.

==Pequeñas oscilaciones==
La ecuación de movimiento para el ángulo θ es

<center><math>\ddot{\theta} = -\dfrac{(2 m_2 + m_3)gS + m_3RCS\dot{\theta}^2 }{(2 m_2 + m_3S^2) R}</math></center>

Si consideramos pequeñas oscilaciones alrededor del punto más bajo podemos hacer las aproximaciones

<center><math>S=\mathrm{sen}(\theta)\simeq \theta\qquad\qquad C=\cos(\theta)\simeq 1\qquad\qquad \dot{\theta}^2\ll 1</math></center>

con esto queda la ecuación aproximada

<center><math>\ddot{\theta} = -\dfrac{(2 m_2 + m_3)g }{2 m_2 R}\theta</math></center>

que es la de un oscilador armónico con frecuencia

<center><math>\omega=\sqrt{\dfrac{(2 m_2 + m_3)g }{2 m_2 R}}</math></center>

Para <math>m_2\to\infty</math> se recupera de nuevo la ecuación del péndulo simple.

Péndulo cónico (CMR)

2024-09-04T14:57:23Z

Pedro: Página creada con «==Enunciado== Una barra homogénea de masa <math>m</math> y longitud <math>b</math> se encuentra articulada en su extremo <math>O</math> a un eje vertical que gira con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{21}=\Omega\vec{k}_1</math>. La barra mantiene en su giro un ángulo constante con la vertical. Determine este ángulo en función de Ω y del resto de constantes del problema. ¿Se levanta la barra para todas las velocidades de giro? ¿Qué velocidad angul…»

==Enunciado==
Una barra homogénea de masa <math>m</math> y longitud <math>b</math> se encuentra articulada en su extremo <math>O</math> a un eje vertical que gira con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{21}=\Omega\vec{k}_1</math>. La barra mantiene en su giro un ángulo constante con la vertical. Determine este ángulo en función de Ω y del resto de constantes del problema. ¿Se levanta la barra para todas las velocidades de giro? ¿Qué velocidad angular se necesita para que la barra quede completamente horizontal?
<center>

[[Archivo:barra-pendulo-conico.png]]</center>
==Sistemas de referencia==
==Ecuaciones de movimiento==
==Caso general==
[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (CMR)]]

Archivo:Barra-pendulo-conico.png

2024-09-04T14:57:02Z

Pedro:

Percusión en sistema de dos masas

2024-09-04T14:56:15Z

Pedro: Página creada con «==Enunciado== Supongamos dos masas iguales <math>m/2</math> unidas por una barra rígida de longitud <math>2b</math>, sin masa (lo que sería una mancuerna ideal). Las masas reposan sobre un plano horizontal, sobre el que pueden moverse sin rozamiento. Inicialmente la varilla está en reposo. # Se comunica una percusión <math>\vec{P}</math> perpendicular a la barra en un punto A a una distancia <math>c</math> de su centro. ¿Cuánto valen la cantidad de movimiento,…»

==Enunciado==
Supongamos dos masas iguales <math>m/2</math> unidas por una barra rígida de longitud <math>2b</math>, sin masa (lo que sería una mancuerna ideal). Las masas reposan sobre un plano horizontal, sobre el que pueden moverse sin rozamiento.

Inicialmente la varilla está en reposo.
# Se comunica una percusión <math>\vec{P}</math> perpendicular a la barra en un punto A a una distancia <math>c</math> de su centro. ¿Cuánto valen la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al CM y la energía cinética de la barra? ¿Cómo es el movimiento del sistema a partir de ese momento?
# ¿Cómo cambian los resultados del problema anterior si en lugar de una mancuerna tenemos una barra homogénea de longitud <math>2b</math> y masa <math>m</math> a la cual se comunica una percusión <math>\vec{P}</math> perpendicular a la barra a una distancia <math>c</math> de su centro?
# ¿Cómo cambian los resultados de los dos problemas anteriores si la barra está articulada a un punto fijo <math>B</math>, situado a una distancia <math>d</math> del centro de la barra? ¿Cuánto valen las fuerzas y momentos de reacción en B?
# ¿Y sí en lugar de estar articulada, está empotrada en B?

==Barra con masas, libre==
Las ecuaciones básicas de la dinámica del sólido sometido a una percusión aplicada en un punto A son

<center><math>\Delta (m \vec{v}_G)=\vec{P}\qquad\qquad\Delta \vec{L}_O=\overrightarrow{OA}\times\vec{P}</math></center>

De la primera obtenemos la velocidad del centro de masas tras la percusión (antes de ella es nula). Aquí m es la masa total del sólido (la masa de cada partícula es m/2).

Tomamos un sistema de ejes en el que el OX es colineal con la barra, el OY es ortogonal a ella dentro del mismo plano horizontal y el OZ es perpendicular al plano del movimiento.

En este sistema

<center><math>\Delta (m \vec{v}_G)=m\vec{v}^+_G =P\vec{\jmath}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^+_G=\frac{P}{m}\vec{\jmath}</math></center>

Para la rotación necesitamos en primer lugar el tensor de inercia del sistema en O. En este caso es muy simple, los tres ejes son principales; el momento respecto a OX es nulo por estar las dos masas sobre el propio eje; el momento respecto a OY es igual al momento respecto a OZ y vale

<center><math>I_{yy}=I_{zz}=\frac{m}{2}b^2 + \frac{m}{2}b^2 = mb^2</math></center>

El momento cinético del sólido es entonces, en este sistema de ejes principales

<center><math>\vec{L}_O=I_{xx}\omega_x\vec{\imath}+I_{yy}\omega_y\vec{\jmath}+I_{zz}\omega_z\vec{k}=mb^2\left(\omega_y\vec{\jmath}+I_{zz}\omega_z\vec{k}\right)</math></center>

El momento de percusión vale

<center><math>\overrightarrow{OA}\times\vec{P}=c\vec{\imath}\times P\vec{\jmath}=cP\vec{k}</math></center>

igualando resulta

<center><math>\omega^+_y=0\qquad\qquad \omega^+_z=\frac{cP}{mb^2}\vec{k}</math></center>

Una vez que se efectúa la percusión la velocidad del CM y la velocidad angular permanecen constantes, por lo que el movimiento de la varilla es una combinación de avance horizontal y de rotación respecto a un eje vertical.

El centro instantáneo de rotación de este movimiento plano es

<center><math>\overrightarrow{oI}=\frac{\vec{k}\times \vec{v}^+_O}{\omega}</math></center>

en este caso O es el propio CM por lo que su velocidad ya la hemos calculado. Esto nos da

<center><math>\overrightarrow{OI}=\frac{(P/m)\vec{k}\times\vec{\jmath}}{cP/mb^2}=-\frac{b^2}{c}\vec{\imath}</math></center>

Si c es nula, este CIR se va al infinito, lo que corresponde a que si golpeamos la varilla en el centro no gira, sino que solo se traslada. Si golpeamos en una de las masas (<math>c=b</math>) el CIR pasa a estar en la otra, que en el instante inicial aun no se mueve.
==Barra homogénea, libre==
En el caso de una masa homogénea, el razonamiento es el mismo que en el apartado anterior. La única diferencia es que el momento de inercia es ahora

<center><math>I_{yy}=I_{zz}=\frac{1}{12}m(2b)^2 = \frac{mb^2}{3}</math></center>

lo que produce una velocidad angular diferente

<center><math>\omega^+_y=0\qquad\qquad \omega^+_z=\frac{3P}{mb^2}\vec{k}</math></center>

aunque la velocidad del CM no se ve afectada

<center><math>\Delta (m \vec{v}_G)=m\vec{v}^+_G =P\vec{\jmath}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^+_G=\frac{P}{m}\vec{\jmath}</math></center>

Esto implica que el nuevo centro instantáneo de rotación se halla en

<center><math>\overrightarrow{OI}=\frac{(P/m)\vec{k}\times\vec{\jmath}}{3cP/mb^2}=-\frac{b^2}{3c}\vec{\imath}</math></center>

Esto quiere decir que si se aplica la percusión en un extremo, el centro instantáneo de rotación se halla a b/3 del centro, es decir, 1 1/6 de la longitud de la barra desde el centro (y por tanto, a 1/3 desde el extremo).

==Barra con masas, articulada==
Si la barra está articulada en B, quiere decir que la velocidad de este punto es nula en todo instante

<center><math>\vec{v}_B=\vec{0}</math></center>

Esta velocidad es, en general, incompatible con el campo de velocidades hallado en el primer apartado, por lo que el movimiento antes calculado no es posible en este caso.

El vínculo de la articulación implica la aparición de una fuerza de reacción impulsiva en este punto. Al ser una articulación no aparece un par en B, ya que la rotación es libre alrededor de este punto. La ecuación para la velocidad del CM es ahora

<center><math>m\vec{v}^+_G = \vec{P}+\vec{P}_r </math></center>

donde la percusión de reacción es una incógnita más del problema.Esº

Esta ecuación, por tanto, no es suficiente para determinar la velocidad del CM.

Podemos aplicar que B es un punto fijo y calcular momentos respecto a este punto, de manera que

<center><math>\Delta \vec{L}_B=\overrightarrow{BA}\times\vec{P} </math></center>

aquí no aparece la percusión de reacción porque se aplica en el propio punto B y por tanto su momento es nulo.

El momento de inercia respecto a este punto lo podemos hallar por el teorema de Steiner

<center><math>I_{xx}=0\qquad\qquad I_{yy}=I_{zz}=mb^2+md^2 </math></center>

por lo que la ecuación para la rotación queda

<center><math>m(b^2+d^2)\left(\omega^+_y\vec{\jmath}+\omega^+_z\vec{k}\right) = ((c+d)\vec{\imath})\times(P\vec{\jmath})\qquad \qquad\omega^+_y=0\qquad\qquad \omega^+_z=\frac{(c+d)P}{m(b^2+d^2)}</math></center>

Por tanto, la barra comienza a describir un movimiento de rotación alrededor de B con esta velocidad angular.

La velocidad del CM justo trás la percusión la da el campo de velocidades de un sólido en rotación

<center><math>\vec{v}^+_G=\vec{\omega}^+ \times \{\overrightarrow{BO}=\left(\frac{(c+d)P}{m(b^2+d^2)}\vec{k}\right)\times \left(d \vec{\imath}\right)=\frac{d(c+d)P}{m(b^2+d^2)}\vec{\jmath}</math></center>

A partir de aquí hallamos la fuerza impulsiva de reacción

<center><math>\vec{P}_r=m\vec{v}^+_G-\vec{P}=\left(\frac{d(c+d)}{(b^2+d^2)}-1\right)P\vec{\jmath}=\frac{dc-b^2}{b^2+d^2}P\vec{\jmath}</math></center>

La condición para que esta percusión sea nula es que

<center><math>d=\frac{b^2}{c}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{P}_r=0</math></center>

que coincide con que B sea el CIR justo tras la percusión.

Nótese también que la percusión de reacción no tiene por qué ir en sentido contrario a la aplicada. Dependiendo de las dimensiones, puede ir en el sentido opuesto o en el mismo sentido.

Una vez que la barra comienza a girar sique existiendo una fuerza de reacción, pero ya no impulsiva. La razón es que el CM está describiendo un movimiento circular en torno al punto B. La fuerza no impulsiva es puramente normal al movimiento (y longitudinal con la barra)

<center><math>\vec{F}_r=-m\omega^2 d\vec{\imath}=-\left(\frac{(c+d)P}{m(b^2+d^2)}\right)^2 d\vec{\imath}</math></center>
==Barra homogénea, articulada==
Con una barra homogénea el cálculo es idéntico, salvo que se modifica el momento de inercia
<center><math>I_{xx}=0\qquad\qquad I_{yy}=I_{zz}=\frac{1}{3}mb^2+md^2 </math></center>

lo que nos da la nueva velocidad angular

<center><math>m\left(\frac{1}{3}b^2+d^2\right)(\omega^+_y\vec{\jmath}+\omega^+_z\vec{k}) = ((c+d)\vec{\imath})\times(P\vec{\jmath})\qquad \qquad\omega^+_y=0\qquad\qquad \omega^+_z=\frac{3(c+d)P}{m(b^2+3d^2)}</math></center>

la nueva fuerza impulsiva de reacción es ahora

<center><math>\vec{P}_r=m\vec{v}^+_G-\vec{P}=\left(\frac{3d(c+d)}{(b^2+3d^2)}-1\right)P\vec{\jmath}=\frac{3dc-b^2}{b^2+3d^2}P\vec{\jmath}</math></center>

De nuevo se anula cuando el punto B coincide con el CIR.

==Barra con masas, empotrada==
En el caso de que la barra esté empotrada no se mueve aun recibiendo la percusión

<center><math>\vec{v}^+G=\vec{0}\qquad\qquad \vec{\omega}^+=\vec{0}</math></center>

esto quiere decir que las fuerzas y momentos de reacción anulan completamente el efecto de la percusión aplicada. Por tanto

<center><math>\vec{0}=\vec{P}+\vec{P}_r\qquad\Rightarrow\qquad \vec{P}_r=-P\vec{\jmath}</math></center>

y

<center><math>\vec{0}=\vec{M}_r+\overrightarrow{BC}\times\vec{P}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{M}_r=-(d+c)P\vec{k}</math></center>
==Barra homogénea, empotrada==
El resultado del apartado anterior no depende del momento de inercia del sólido. Por tanto, el resultado para una varilla homogénea es exactamente el mismo que para un par de masas localizadas.

[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (CMR)]]

Archivo:Polipasto-06.png

2024-09-04T14:55:17Z

Pedro:

Archivo:Polipasto-04.png

2024-09-04T14:54:53Z

Pedro:

Archivo:Polipasto-02.png

2024-09-04T14:54:31Z

Pedro:

Archivo:Polipasto-03.png

2024-09-04T14:53:58Z

Pedro:

Masa suspendida de un polipasto

2024-09-04T14:53:33Z

Pedro: Página creada con «==Enunciado== Un bloque “2” de masa m pende de un polipasto formado por dos poleas. La polea “3” tiene radio r y está unida rígidamente al bloque por una barra de longitud b. La polea “4” tiene el mismo radio y está fijada al techo “1” por otra barra de longitud b. Un hilo inextensible sin masa está atado al techo, pasa por la polea 3, luego por la 4 y está unida al bloque mediante un resorte de constante k y longit…»

==Enunciado==
Un bloque “2” de masa m pende de un polipasto formado por dos poleas. La polea “3” tiene radio r y está unida rígidamente al bloque por una barra de longitud b. La polea “4” tiene el mismo radio y está fijada al techo “1” por otra barra de longitud b. Un hilo inextensible sin masa está atado al techo, pasa por la polea 3, luego por la 4 y está unida al bloque mediante un resorte de constante k y longitud natural <math>\ell_0</math>. La longitud del hilo es tal que en ausencia de peso del bloque, el muelle estaría en su longitud natural y el hilo estirado pero sin tensión.

Se cuelga verticalmente el sistema.
# Suponiendo que las poleas no tienen masa, halle la posición de equilibrio del bloque, <math>h_\mathrm{eq}</math>, medida desde el techo. ¿Cuánto vale la tensión del hilo en ese estado?
# Suponiendo que el bloque que se desplaza verticalmente una cantidad A respecto de la posición de equilibrio, determine la frecuencia de las oscilaciones que describe el bloque. ¿Cuánto debe ser el valor máximo de la amplitud si no se quiere que el hilo se destense?
# Suponga ahora que las dos poleas son cilindros macizos de masa <math>m_0</math>, con su correspondiente momento de inercia. ¿Cuánto vale en ese caso la frecuencia de las oscilaciones?
# Suponga ahora que el bloque está conectado a un amortiguador de constante γ ¿Cuál es la ecuación de movimiento del bloque en ese caso?
<center>[[Archivo:polipasto-muelle.png|300px]]</center>

==Posición de equilibrio==
Para estudiar este sistema, lo más sistemático consiste en analizar cada sólido por separado, aplicando los diagramas de cuerpo libre correspondiente.

En este caso tenemos 4 sólidos.

# El techo, que es inmóvil y al cual ligamos un sistema de referencia fijo en el cual eje OX es vertical y hacia abajo, el OY es horizontal en el plano de movimiento y el OZ es horizontal perpendicular a este plano.
# El bloque, que experimenta traslación respecto al 1, pero no rotación. Esto es, se comporta como una partícula.
# La polea inferior, que experimenta tanto traslación como rotación.
# La polea superior, que experimenta solo rotación pero no traslación respecto al 1.

Además de estos, conviene imaginar una partícula "5" sin masa en el punto en el que se unen el cable inextensible con el resorte, ya que hay que relacionar la tensión del hilo con la fuerza elástica ejercida por el resorte.

Para establecer la posición de equilibrio debemos imponer que la suma de fuerzas y de momentos sea nula sobre cada uno de los sólidos.

Supondremos inicialmente que las poleas no tienen masa ni momento de inercia, aunque la solución no es mucho más complicada suponiendo estos valores no nulos.

[[Archivo:polipasto-03.png|100px|right]]

Sobre la polea 3 actúan la tensión del hilo en el punto A (a su izquierda), la del hilo en el punto opuesto B (que no tenemos por qué suponer que es igual a la tensión en A), su peso (por ahora despreciable) y la tensión de la varilla que une el centro C de la polea al bloque.

Con el sistema de ejes considerado, todas las fuerzas van en el sentido del eje OX, por lo que queda la ecuación escalar

<center><math>-T_A-T_B+T_C=0\,</math></center>

mientras que la ecuación de los momentos para esta polea es

<center><math>T_Br-T_Ar=0\,</math></center>

Lo cual nos da efectivamente que

<center><math>T_A=T_B=\frac{T_C}{2}</math></center>

[[Archivo:polipasto-04.png|100px|right]]

Para la polea 4 tenemos la tensión en el punto D a su izquierda y en el punto E a su derecha, así como la de la barra en el punto central F. Por ser el hilo inextensible, el módulo de la tensión en D es el mismo que en B. Por tanto

<center><math>T_B=T_D=T_E=\frac{T_F}{2}</math></center>

[[Archivo:polipasto-02.png|100px|left]]

Por último, en el punto P donde se unen el hilo y el resorte la segunda ley de Newton nos da

<center><math>-T_P+k(\ell-\ell_0)=0\,</math></center>

siendo la tensión del hilo en P la misma que en E (y por tanto, que en A, B y D).

<center><math>T_A=T_B=T_D=T_E=T_P=k(\ell-\ell_0)\,</math></center>

[[Archivo:polipasto-06.png|160px|right]]

El bloque 2 está sometido al peso, a la tensión de la varilla que la une a la polea y a la fuerza del resorte. Por tanto

<center><math>-T_C-k(\ell-\ell_0)+mg=0\,</math></center>

sustituyendo aquí la tensión de la varilla

<center><math>T_C=2T_A=2k(\ell-\ell_0)</math></center>

nos queda

<center><math>3k(\ell-\ell_0)=mg\qquad\Rightarrow\qquad \ell = \ell_0+\frac{mg}{3k}</math></center>

El resorte se estira un tercio de lo que lo haría si el bloque colgara solo de él. A su vez, la fuerza que soporta la varilla es 2/3 del peso y el muelle 1/3 del peso. La tensión del hilo es también 1/3 del peso.

La posición respecto al techo depende de la longitud del cable. Si en ausencia de masa del bloque el muelle tendría una longitud <math>\ell_0</math> y el bloque estaría a una distancia <math>x_0</math> del techo quiere esto decir que el hilo mide

<center><math>L=x_C+\pi r+(x_C-x_F) + \pi r + (x_0-\ell_0-x_F)</math></center>

como
<center><math>x_C=x_0-b\qquad\qquad x_F=b</math></center>

Nos da una longitud

<center><math>L=3x_0-4b+2\pi r-\ell_0\,</math></center>

Esta cantidad es constante. Por tanto, en todo momento se va a cumplir

<center><math>3x-\ell=3x_0-\ell_0\qquad\qquad x-x_0=\frac{\ell-\ell_0}{3}</math></center>

es decir, lo que desciende el bloque es la tercera parte de lo que se elonga el muelle.

En el equilibrio tendremos que

<center><math>x_\mathrm{eq}=x_0+ \frac{mg}{9k}</math></center>

y la tensión de cada hilo es

<center><math>T_A=T_B=T_D=T_E=k(\ell-\ell_0)=\frac{mg}{3}</math></center>

==Frecuencia de las oscilaciones==
En el caso de que el bloque no se halle en la posición de equilibrio, debemos aplicar la segunda ley de Newton para determinar su movimiento.

Si las poleas y el hilo son ideales, no tienen inercia alguna, por lo que sigue cumpliéndose

<center><math>T_A=T_B=\frac{T_C}{2}</math></center>
 
<center><math>T_B=T_D=T_E=\frac{T_F}{2}</math></center>
 
<center><math>T_A=T_B=T_D=T_E=T_P=k(\ell-\ell_0)\,</math></center>
y solo cambia la ecuación
<center><math>-T_C-k(\ell-\ell_0)+mg=m\ddot{x}\,</math></center>

es decir, equivale a sustituir <math>g</math> por <math>g-\ddot{x}</math>. Por tanto llegamos a

<center><math>-3k(\ell-\ell_0)+mg=m\ddot{x}</math></center>

Como se sigue cumpliendo la relación geométrica

<center><math>\ell-\ell_0=3(x-x_0)\,</math></center>

resulta la ecuación de movimiento

<center><math>m\ddot{x}=mg-9k(x-x_0)</math></center>

Introducimos aquí la posición de equilibrio con peso

<center><math>x_\mathrm{eq}=x_0+\frac{mg}{9k}</math></center>

y obtenemos finalmente

<center><math>\ddot{x}=-\frac{9k}{m}(x-x_\mathrm{eq})</math></center>

es decir, el bloque oscila con una frecuencia

<center><math>\omega=\sqrt{\frac{9k}{m}}=3\omega_0</math></center>

siendo <math>\omega_0</math> la frecuencia propia del resorte.

El moviento que describe el bloque es uno armónico simple

<center><math>x=x_\mathrm{eq}+A\cos(\omega t+\phi)=x_0+\frac{mg}{9k}+A\cos(\omega t+\phi)\,</math></center>

La tensión de cada hilo varía también en el tiempo

<center><math>T_A=T_B=T_D=T_E=k(\ell-\ell_0)=3k(x-x_0)=\frac{mg}{3}+3kA\cos(\omega t+\phi)</math></center>

siendo su valor mínimo

<center><math>T_\mathrm{min}=\frac{mg}{3}-3kA</math></center>

Por ello, la amplitd máxima si no queremos que los hilos se destensen es

<center><math>A_\mathrm{max}=\frac{mg}{9k}</math></center>
==Poleas no ideales==
En el caso de que las poleas tengan masa y momento de inercia debemos incluirlas en los cálculos. Esto afecta tanto a la posición de equilibrio como la frecuencia de las oscilaciones.

;Ecuaciones para el bloque
Esta ecuación no cambia, aunque la tensión ahora podrá ser diferente
<center><math>-T_C-k(\ell-\ell_0)+mg=m\ddot{x}\,</math></center>

y, en función de x

<center><math>m\ddot{x}=-T_C-3k(x-x_0)+mg=m\ddot{x}\,</math></center>

;Ecuaciones para la polea 3
Esta polea ahora tiene masa <math>m_0</math> y momento de inercia <math>I_0</math>. Las segunda ley de Newton dan, para esta polea

<center><math>-T_A-T_B+T_C+m_0g=m_0\ddot{x}</math></center>

Obsérvese que en el segundo miembro debe aparecer la aceleración del centro de la polea pero por estar unida rígidamente al bloque, ésta es también <math>\ddot{x}</math>.

La ecuación para la rotación de esta polea es

<center><math>-T_Ar+T_Br=I_0\alpha_{31}\,</math></center>

Hay que relacionar la aceleración angular del disco con la lineal de su centro. Para ello observamos que esta polea rueda sobre el hilo que cuelga del techo, de forma que la velocidad del punto A es nula.

Cuando el centro desciende una distancia <math>\Delta x</math> el arco que avanza es <math>r\,\Delta\theta</math> en sentido horario, por tanto

<center><math>\Delta x = -r\,\Delta\theta\qquad \Rightarrow\qquad \dot{\theta}=-\frac{\dot{x}}{r}</math></center>

Más formalmente, este resultado se obtiene aplicando el campo de velocidades de un sólido

La velocidad del punto A es nula

<center><math>\vec{v}^A_{31}=\vec{0}</math></center>

y la del centro C, por la expresión del campo de velocidades

<center><math>\dot{x}\vec{\imath}=\vec{v}^C_{31}=\vec{v}^A_{31}+\vec{\omega}_{31}\times\overrightarrow{AB}=(\omega_{31}\vec{k})\times(r\vec{\jmath})=-\omega_{31}r\vec{\imath}</math></center>

De aquí

<center><math>\omega_{31}=-\frac{\dot{x}}{r}\qquad\Rightarrow \qquad \alpha_{31}=-\ddot{x}{r}</math></center>

Por tanto quedan las dos ecuaciones

<center><math>-T_A-T_B+T_C+m_0g=m_0\ddot{x}</math></center>
 
<center><math>-T_A+T_B=-\frac{I_0}{r^2}\ddot{x}\,</math></center>

;Ecuaciones para la polea 4
Esta polea está fijada al techo, por lo que su centro permanece inmóvil

<center><math>T_D+T_Q-T_F+m_0g=0\,</math></center>

siendo

<math>T_D=T_B\,</math>
La ecuación de rotación de esta polea es

<center><math>T_Dr-T_Er=I_0\alpha_{41}\,</math></center>

La relación entre la aceleración angular de esta polea y la lineal del bloque la sacamos de la velocidad del punto D, que es la misma que la del punto B de la polea 3.

<center><math>\vec{v}^D_{41}=\vec{v}^B_{31}=\vec{\omega}_{31}\times\overrightarrow{AC}=2\dot{x}\vec{\imath}</math></center>

y por tanto

<center><math>\vec{v}^D_{41}=\overbrace{\vec{v}^F_{41}}^{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{41}\times\overrightarrow{FD}=(\omega_{41}\vec{k})\times(-r\vec{\jmath})=\omega_{41}r\vec{\imath}</math></center>

De aquí

<center><math>\omega_{41}=\frac{2\dot{x}}{r}\qquad\Rightarrow\qquad \alpha_{41}=\frac{2\ddot{x}}{r}</math></center>

Queda entonces la ecuación de movimiento

<center><math>T_D-T_E=2\frac{I_0}{r^2}\ddot{x}</math></center>

;Punto de contacto entre el hilo y el resorte
Por último, en este punto, que sigue sin tener masa, se cumple

<center><math>T_E-k(\ell-\ell_0)=0\qquad\Rightarrow\qquad T_E=3k(x-x_0)</math></center>

A partir de aquí, yendo en sentido inverso, vamos obteniendo sucesivamente las diferentes tensiones. En D

<center><math>T_D=T_E+2\frac{I_0}{r^2}\ddot{x}=3k(x-x_0)+2\frac{I_0}{r^2}\ddot{x}</math></center>
En B
<center><math>T_B=T_D=3k(x-x_0)+2\frac{I_0}{r^2}\ddot{x}</math></center>
En A
<center><math>T_A=T_B+\frac{I_0}{r^2}\ddot{x}=3k(x-x_0)+3\frac{I_0}{r^2}\ddot{x}</math></center>
En C
<center><math>T_C=T_A+T_B-m_0g+m_0\ddot{x}=6k(x-x_0)+5\frac{I_0}{r^2}\ddot{x}-m_0g+m_0\ddot{x}</math></center>
Con esta podemso completar ya la ecuación de movimiento para el bloque

<center><math>m\ddot{x}=mg-T_C-3k(x-x_0)=\left(m+m_0\right)g-\left(m_0+5\frac{I_0}{r^2}\right)\ddot{x}-9k(x-x_0)</math></center>

Agrupamos términos

<center><math>\left(m+m_0+5\frac{I_0}{r^2}\right)\ddot{x}=(m+m_0)g-9k(x-x_0)</math></center>

;Nueva posición de equilibrio
Anulando la aceleración queda

<center><math>x_\mathrm{eq}=x_0+\frac{(m+m_0)g}{9k}</math></center>

;Frecuencia de oscilación
Llevando esto a la ecuación de movimiento

<center><math>\ddot{x}=-\frac{9k}{m+m_0+5I_0/r^2}(x-x_\mathrm{eq})</math></center>

lo que da la frecuencia

<center><math>\omega= \sqrt{\frac{9k}{m+m_0+5I_0/r^2}}</math></center>

La posición del bloque sigue un movimiento armónico simple con la nueva frecuencia

<center><math>x=x_\mathrm{eq}+A\cos(\omega t+\phi)</math></center>

;Tensiones en el hilo

==Oscilaciones amortiguadas==
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