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No Boletín - Identificación de lugar geométrico (Ex.Nov/16)

2024-02-04T00:47:14Z

Drake: /* Enunciado */

==Enunciado==
Sea <math>r\,</math> la recta que pasa por el punto <math>P_1\,</math> y es paralela al vector <math>\vec{u}\,</math>, y sea <math>P_2\,</math> un punto que no pertenece a <math>r\,</math>.

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> que satisfacen la ecuación <math>\overrightarrow{P_1P}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\vec{u}\,</math>?

==Solución==
Como aplicación del producto escalar de vectores, se ha estudiado en la teoría que la ecuación del plano perpendicular al vector <math>\vec{N}\,</math> y que pasa por el punto <math>Q\,</math> viene dada por:
<center><math>\overrightarrow{QP}\cdot\vec{N}=0</math></center>
Pues bien, la ecuación que nos propone el enunciado del presente ejercicio se reduce a esta forma mediante una sencilla operación de resta:
<center><math>\overrightarrow{P_1P}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\vec{u}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\left(\overrightarrow{P_1P}-\overrightarrow{P_1P_2}\right)\cdot\vec{u}=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\overrightarrow{P_2P}\cdot\vec{u}=0</math></center>
Por tanto, el lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> que satisfacen dicha ecuación es el plano perpendicular a la recta <math>r\,</math> y que pasa por el punto <math>P_2\,</math> (nótese que <math>r\,</math> es paralela a <math>\vec{u}\,</math>).

==Solución alternativa==
[[Archivo:Plano-vectorial-02.png|right]]

La ecuación vectorial de un plano perpendicular al vector <math>\vec{B}</math> es de la forma general

<center><math>\overrightarrow{AP}\cdot \vec{B}=k</math></center>

siendo A un punto fijo y <math>k</math> una constante. Tomando distintos valores de <math>k</math> obtenemos planos paralelos.

En nuestro caso la ecuación tiene esta forma si tomamos <math>\vec{B}=\vec{u}</math>. Es decir se trata de un plano perpendicular al vector <math>\vec{u}</math> y por tanto a la recta <math>r</math>.

Para hallar un punto de este plano simplemente observamos que la ecuación se cumple para <math>P=P_2</math> ya que trivialmente

<center><math>P=P_2\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{P_1P_2}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\vec{u}\,</math>
</center>
Por tanto, se trata de un plano perpendicular a la recta r y que pasa por el punto <math>P_2</math>.

[[Categoría:Problemas de Vectores Libres (GITI)]]

Archivo:Dos-discos-aro-reticula.png

2024-01-28T17:58:28Z

Drake:

Archivo:Dos-discos-aro.png

2024-01-28T17:57:50Z

Drake:

Dos discos rodando en aro

2024-01-28T17:56:22Z

Drake:

==Enunciado==
Se tiene el sistema de la figura, formado por dos discos “1” y “2” de radios <math>R_1=40\,\mathrm{cm}</math> y <math>R_2=20\,\mathrm{cm}</math> cuyos centros, C y D, están unidos por una barra rígida “3” de longitud <math>L=100\,\mathrm{cm}</math>. Las dos ruedas del artilugio ruedan sin deslizar por la superficie interior de un aro “0” de radio <math>R_0=100\,\mathrm{cm}</math>, siendo A y B los respectivos puntos de contacto. El centro del disco “1” gira con velocidad angular constante <math>\omega_{30}=1.50\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}</math> en sentido antihorario respecto al aro exterior “0”.

# Determine las cinco velocidades angulares relativas restantes.
# Localice los seis centros instantáneos de rotación.

'''Sugerencia:''' Emplee el sistema de ejes ligado al sólido “3” de la figura, tal que el eje <math>OX_3</math> pasa por el centro del disco “1”.

<center>[[Archivo:dos-discos-aro.png]]</center>

==Velocidad angulares==
===Movimiento {30}===
El enunciado nos da la velocidad angular con la que gira el punto C, centro del disco <math>1</math> alrededor del centro del aro “0”. Este punto pertenece tanto al sólido “1” como al “3” por tratarse de la articulación de la barra con el disco. Esta velocidad angular es la que posee toda la barra “3” en su rotación alrededor de O. Por eso, los subíndices del dato se refieren al movimiento {30} (y no al {10} ya que como veremos, el disco 1 posee una velocidad angular diferente):

<center><math>\omega_{30}=1.50\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

===Movimiento {10}===
Para hallar la velocidad angular observamos que este movimiento es una rotación alrededor del punto de contacto, A, y por tanto la velocidad del centro del disco “1” en este movimiento es

<center><math>\vec{v}^C_{10}=\omega_{10}\vec{k}\times\overrightarrow{AC}</math></center>

Por otro lado tenemos que la velocidad de C, considerado como parte de “3”, es una rotación alrededor de O

<center><math>\vec{v}^C_{10}=\vec{v}^C_{13}+\vec{v}^C_{30}=\vec{0}+\omega_{30}\vec{k}\times\overrightarrow{OC}</math></center>

Igualando ambas velocidades llegamos a la relación

<center><math>\omega_{10}\overrightarrow{AC}=\omega_{30}\overrightarrow{OC}</math></center>

Los vectores de posición relativos valen, en el sistema de referencia indicado:

<center><math>\overrightarrow{OC}=(R_0-R_1)\vec{\imath}_3=60\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{AC}=-R_1\vec{\imath}_3=-40\,\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm}</math></center>

De aquí obtenemos la velocidad angular

<center><math>\omega_{10}=-\frac{60}{40}1.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-2.25\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

===Movimiento {31}===
La velocidad angular del movimiento {31} es inmediata por aplicación de la ley de composición correspondiente

<center><math>\omega_{31}=\omega_{30}+\omega_{01}=\omega_{30}-\omega_{10}=1.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}-\left(-2.25\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right)=3.75\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

===Movimiento {20}===
El punto D, centro del disco “2” también gira alrededor de O con la misma velocidad angular que C. Considerado como parte del sólido “3” su velocidad lineal es

<center><math>\vec{v}^D_{30}=\omega_{30}\vec{k}\times\overrightarrow{OD}</math></center>

mientras que, considerado como parte del disco “2” realiza una rotación instantánea alrededor del punto B, de contacto del disco con el aro.

<center><math>\vec{v}^D_{20}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{BD}</math></center>

Estas dos velocidades deben ser iguales, ya que

<center><math>\vec{v}^D_{30}=\overbrace{\vec{v}^D_{32}}^{=\vec{0}} + \vec{v}^D_{20}</math></center>

Sustituyendo, llegamos a la relación

<center><math>\omega_{30}\overrightarrow{OD}=\omega_{20}\overrightarrow{BD}</math></center>

Aunque para determinar la velocidad angular nos basta con saber que los vectores de posición son proporcionales y de sentido opuesto, vamos a determinar su expresión en el sistema de referencia indicado, ya que ésta puede ser útil más adelante.

La figura sugiere que los puntos B y D se encuentran sobre el eje <math>OY_3</math>. Sin embargo, no tenemos certeza de tal afirmación. De hecho, para valores arbitrarios de <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>L</math> no será cierto en general. Vamos a demostrar que sí ocurre para los datos del enunciado. Para ello, hemos de probar que el ángulo COD es recto.

En el triángulo OCD los lados valen

<center><math>|\overrightarrow{OC}|=R_0-R_1=60\,\mathrm{cm}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>|\overrightarrow{OD}|=R_0-R_2=80\,\mathrm{cm}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>|\overrightarrow{CD}|=L=100\,\mathrm{cm}</math></center>

Aplicando el teorema del coseno tenemos que si <math>\gamma</math> es el ángulo en O

<center><math>\cos(\gamma)=\frac{|\overrightarrow{OC}|^2+|\overrightarrow{OD}|^2-|\overrightarrow{CD}|^2}{2|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OD}|}=\frac{60^2+80^2-100^2}{2\cdot 60\cdot 80}=0</math></center>

Por tanto el ángulo es efectivamente recto y los vectores de posición relativos son

<center><math>\overrightarrow{OD}=80\,\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{BD}=-20\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm}</math></center>

y la velocidad angular del movimiento {20} valen

<center><math>\omega_{20}=-\frac{80}{20}1.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-6.00\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

===Movimiento {32}===
De nuevo empleamos la ley de composición de velocidades angulares para hallar la del movimiento {32}

<center><math>\omega_{32}=\omega_{30}+\omega_{02}=\omega_{30}-\omega_{20}=7.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

===Movimiento {21}===
Por último, para hallar la velocidad angular con la que gira un disco respecto al otro empleamos de nuevo la ley de composición de velocidades empleando el aro “0” como sólido intermedio

<center><math>\omega_{21}=\omega_{20}+\omega_{01}=\omega_{20}-\omega_{10}=\left(-6.00+2.25\right)\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-3.75\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

Alternativamente, podemos emplear la barra “3” como sólido intermedio

<center><math>\omega_{21}=\omega_{23}+\omega_{31}=-\omega_{32}+\omega_{31}=\left(-7.50+3.75\right)\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-3.75\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

==Centros instantáneos de rotación==
La mayoría de los centros instantáneos de rotación son inmediatos. De hecho, todos menos uno.

;Movimiento {30}: El movimiento de la barra “3” respecto al aro “0” es una rotación alrededor del centro de éste. Por tanto

<center><math>I_{30}=O\,</math></center>

:En forma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OI}_{30}=\vec{0}</math></center>

;Movimiento {13}: Respecto de la barra “3”, el disco “1” realiza una rotación alrededor de su centro, por lo que

<center><math>I_{31}=C\,</math></center>

:En forma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OI}_{31}=60\,\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm}</math></center>

;Movimiento {23}: Análogamente, el disco “2” ejecuta, respecto de la barra “3”, una rotación alrededor de su centro:

<center><math>I_{32}=D\,</math></center>

:En forma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OI}_{32}=80\,\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm}</math></center>

;Movimiento {10}: Dado que el contacto entre el disco 1 y el aro 0 implica rodadura sin deslizamiento, el CIR del movimiento es el punto de contacto

<center><math>I_{10}=A\,</math></center>

:En forma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OI}_{10}=100\,\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm}</math></center>

;Movimiento {20}: El disco “2” también realiza, respecto del aro “0”, una rotación instantánea alrededor del punto de contacto, por lo que

<center><math>I_{20}=B\,</math></center>

:En forma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OI}_{20}=100\,\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm}</math></center>

;Movimiento {21}: Este es el único que no es evidente. Podemos hallar este punto analítica y gráficamente. Para calcularlo de manera analítica precisamos la velocidad de un punto. Si queremos la posición respecto al punto O, la fórmula correspondiente es

<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^O_{21}}{\omega_{21}}</math></center>

:Necesitamos la velocidad del punto O en el movimiento {21}. La obtenemos aplicando la fórmula de composición de velocidades. Los movimientos {20} y {10} son rotaciones instantáneas alrededor de los puntos B y A por lo que

<center><math>\vec{v}^O_{21}=\vec{v}^O_{20}-\vec{v}^O_{10}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{BO}-\omega_{10}\vec{k}\times\overrightarrow{AO}</math></center>

:Sustituyendo los valores numéricos

<center><math>\vec{v}^O_{21}=\left(-6.00\vec{k}\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right)\times(-100\,\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm})-\left(-2.25\vec{k}\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right)\times(-100\,\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm})=\left(-600\,\vec{\imath}_3-225\,\vec{\jmath}_3\right)\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>

:Llevando esto a la expresión analítica del CIR nos queda

<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\frac{\vec{k}\times\left(-600\,\vec{\imath}_3-225\,\vec{\jmath}_3\right)}{-3.75}\,\mathrm{cm}=\left(-60\vec{\imath}_3+160\vec{\jmath}_3\right)\mathrm{cm}</math></center>

También podemos hallar este CIr empleando la fórmula

<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\frac{\omega_{20}\overrightarrow{OI}_{20}+\omega_{01}\overrightarrow{OI}_{01}}{\omega_{20}+\omega_{01}}</math></center>

que para este caso nos da

<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\frac{-6.00(100\vec{\jmath}_3)+2.25(100\vec{\imath}_3)}{-6.00+2.25}\,\mathrm{cm}=\left(-60\vec{\imath}_3+160\vec{\jmath}_3\right)\mathrm{cm}</math></center>

Alternativamente, este CIR puede obtenerse gráficamente. Por el teorema de los tres centros, el CIR <math>I_{21}</math> se encuentra alineado con los dos centros <math>I_{20}</math> e <math>I_{10}</math>. Por tanto, se encuentra sobre una recta que pasa por A y B. Asimismo, se encuentra alineado con los centros <math>I_{32}</math> e <math>I_{31}</math>. Por ello, pertenece también a la recta que pasa por C y D. El CIR buscado se encuentra entonces en la intersección de estas dos rectas, la que pasa por AB y la que pasa por C y D.

Algebraicamente, esto se expresa observando que el vector <math>\overrightarrow{CI}</math> debe ser proporcional al <math>\overrightarrow{CD}</math>

<center><math>\overrightarrow{CI}_{21}=\lambda\overrightarrow{CD}=\lambda\left(-60\vec{\imath}_3+80\vec{\jmath}_3\right)\,\mathrm{cm}</math></center>

y el <math>\overrightarrow{AI}_{21}</math> al <math>\overrightarrow{AB}</math>

<center><math>\overrightarrow{AI}_{21}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}</math></center>

Sustituyendo tenemos

<center><math>\overrightarrow{AI}_{21}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}_{21}=\left((-40-60\lambda)\vec{\imath}_3+80\lambda\vec{\jmath}_3\right)\mathrm{cm}</math></center>

Hallamos el producto vectorial y lo igualamos a cero

<center><math>\vec{0}=\overrightarrow{AI}_{21}\times\overrightarrow{AB}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_3 & \vec{\jmath}_3 & \vec{k} \\
-40-60\lambda & 80\lambda & 0 \\ -100 & 100 & 0\end{matrix}\right|\,\mathrm{cm}^2 = 100(-40+20\lambda)\vec{k}\,\mathrm{cm}^2</math></center>

de donde

<center><math>\lambda = 2\,</math>{{tose}}<math>\overrightarrow{CI}_{21}=\left(-120\vec{\imath}_3+160\vec{\jmath}_3\right)\,\mathrm{cm}</math></center>

y respecto al centro del aro

<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CI}_{21}=\left(-60\vec{\imath}_3+160\vec{\jmath}_3\right)\,\mathrm{cm}</math></center>

<center>[[Archivo:dos-discos-aro-reticula.png]]</center>

Igualmente, puede verificarse que se encuentran alineados los centros <math>I_{30}</math>, <math>I_{31}</math> e <math>I_{10}</math>, por un lado (los tres están en el eje <math>OX_3</math>) y los centros <math>I_{30}</math>, <math>I_{32}</math> e <math>I_{20}</math> por otro (sobre el eje <math>OY_3</math>).

Cuando las discos van avanzando sobre el aro, los seis centros van girando respecto al aro, manteniendo una posición fija respecto al sólido “3”.

Dos discos rodando en aro

2024-01-28T17:55:35Z

Drake: Página creada con «==Enunciado== Se tiene el sistema de la figura, formado por dos discos “1” y “2” de radios <math>R_1=40\,\mathrm{cm}</math> y <math>R_2=20\,\mathrm{cm}</math> cuyos centros, C y D, están unidos por una barra rígida “3” de longitud <math>L=100\,\mathrm{cm}</math>. Las dos ruedas del artilugio ruedan sin deslizar por la superficie interior de un aro “0” de radio <math>R_0=100\,\mathrm{cm}</math>, siendo A y B los respect…»

==Enunciado==
Se tiene el sistema de la figura, formado por dos discos “1” y “2” de radios <math>R_1=40\,\mathrm{cm}</math> y <math>R_2=20\,\mathrm{cm}</math> cuyos centros, C y D, están unidos por una barra rígida “3” de longitud <math>L=100\,\mathrm{cm}</math>. Las dos ruedas del artilugio ruedan sin deslizar por la superficie interior de un aro “0” de radio <math>R_0=100\,\mathrm{cm}</math>, siendo A y B los respectivos puntos de contacto. El centro del disco “1” gira con velocidad angular constante <math>\omega_{30}=1.50\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}</math> en sentido antihorario respecto al aro exterior “0”.

# Determine las cinco velocidades angulares relativas restantes.
# Localice los seis centros instantáneos de rotación.

'''Sugerencia:''' Emplee el sistema de ejes ligado al sólido “3” de la figura, tal que el eje <math>OX_3</math> pasa por el centro del disco “1”.

<center>[[Archivo:dos-discos-aro.png]]</center>

==Velocidad angulares==
===Movimiento {30}===
El enunciado nos da la velocidad angular con la que gira el punto C, centro del disco <math>1</math> alrededor del centro del aro “0”. Este punto pertenece tanto al sólido “1” como al “3” por tratarse de la articulación de la barra con el disco. Esta velocidad angular es la que posee toda la barra “3” en su rotación alrededor de O. Por eso, los subíndices del dato se refieren al movimiento {30} (y no al {10} ya que como veremos, el disco 1 posee una velocidad angular diferente):

<center><math>\omega_{30}=1.50\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

===Movimiento {10}===
Para hallar la velocidad angular observamos que este movimiento es una rotación alrededor del punto de contacto, A, y por tanto la velocidad del centro del disco “1” en este movimiento es

<center><math>\vec{v}^C_{10}=\omega_{10}\vec{k}\times\overrightarrow{AC}</math></center>

Por otro lado tenemos que la velocidad de C, considerado como parte de “3”, es una rotación alrededor de O

<center><math>\vec{v}^C_{10}=\vec{v}^C_{13}+\vec{v}^C_{30}=\vec{0}+\omega_{30}\vec{k}\times\overrightarrow{OC}</math></center>

Igualando ambas velocidades llegamos a la relación

<center><math>\omega_{10}\overrightarrow{AC}=\omega_{30}\overrightarrow{OC}</math></center>

Los vectores de posición relativos valen, en el sistema de referencia indicado:

<center><math>\overrightarrow{OC}=(R_0-R_1)\vec{\imath}_3=60\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{AC}=-R_1\vec{\imath}_3=-40\,\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm}</math></center>

De aquí obtenemos la velocidad angular

<center><math>\omega_{10}=-\frac{60}{40}1.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-2.25\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

===Movimiento {31}===
La velocidad angular del movimiento {31} es inmediata por aplicación de la ley de composición correspondiente

<center><math>\omega_{31}=\omega_{30}+\omega_{01}=\omega_{30}-\omega_{10}=1.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}-\left(-2.25\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right)=3.75\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

===Movimiento {20}===
El punto D, centro del disco “2” también gira alrededor de O con la misma velocidad angular que C. Considerado como parte del sólido “3” su velocidad lineal es

<center><math>\vec{v}^D_{30}=\omega_{30}\vec{k}\times\overrightarrow{OD}</math></center>

mientras que, considerado como parte del disco “2” realiza una rotación instantánea alrededor del punto B, de contacto del disco con el aro.

<center><math>\vec{v}^D_{20}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{BD}</math></center>

Estas dos velocidades deben ser iguales, ya que

<center><math>\vec{v}^D_{30}=\overbrace{\vec{v}^D_{32}}^{=\vec{0}} + \vec{v}^D_{20}</math></center>

Sustituyendo, llegamos a la relación

<center><math>\omega_{30}\overrightarrow{OD}=\omega_{20}\overrightarrow{BD}</math></center>

Aunque para determinar la velocidad angular nos basta con saber que los vectores de posición son proporcionales y de sentido opuesto, vamos a determinar su expresión en el sistema de referencia indicado, ya que ésta puede ser útil más adelante.

La figura sugiere que los puntos B y D se encuentran sobre el eje <math>OY_3</math>. Sin embargo, no tenemos certeza de tal afirmación. De hecho, para valores arbitrarios de <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>L</math> no será cierto en general. Vamos a demostrar que sí ocurre para los datos del enunciado. Para ello, hemos de probar que el ángulo COD es recto.

En el triángulo OCD los lados valen

<center><math>|\overrightarrow{OC}|=R_0-R_1=60\,\mathrm{cm}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>|\overrightarrow{OD}|=R_0-R_2=80\,\mathrm{cm}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>|\overrightarrow{CD}|=L=100\,\mathrm{cm}</math></center>

Aplicando el teorema del coseno tenemos que si <math>\gamma</math> es el ángulo en O

<center><math>\cos(\gamma)=\frac{|\overrightarrow{OC}|^2+|\overrightarrow{OD}|^2-|\overrightarrow{CD}|^2}{2|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OD}|}=\frac{60^2+80^2-100^2}{2\cdot 60\cdot 80}=0</math></center>

Por tanto el ángulo es efectivamente recto y los vectores de posición relativos son

<center><math>\overrightarrow{OD}=80\,\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{BD}=-20\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm}</math></center>

y la velocidad angular del movimiento {20} valen

<center><math>\omega_{20}=-\frac{80}{20}1.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-6.00\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

===Movimiento {32}===
De nuevo empleamos la ley de composición de velocidades angulares para hallar la del movimiento {32}

<center><math>\omega_{32}=\omega_{30}+\omega_{02}=\omega_{30}-\omega_{20}=7.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

===Movimiento {21}===
Por último, para hallar la velocidad angular con la que gira un disco respecto al otro empleamos de nuevo la ley de composición de velocidades empleando el aro “0” como sólido intermedio

<center><math>\omega_{21}=\omega_{20}+\omega_{01}=\omega_{20}-\omega_{10}=\left(-6.00+2.25\right)\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-3.75\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

Alternativamente, podemos emplear la barra “3” como sólido intermedio

<center><math>\omega_{21}=\omega_{23}+\omega_{31}=-\omega_{32}+\omega_{31}=\left(-7.50+3.75\right)\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-3.75\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

==Centros instantáneos de rotación==
La mayoría de los centros instantáneos de rotación son inmediatos. De hecho, todos menos uno.

;Movimiento {30}: El movimiento de la barra “3” respecto al aro “0” es una rotación alrededor del centro de éste. Por tanto

<center><math>I_{30}=O\,</math></center>

:En forma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OI}_{30}=\vec{0}</math></center>

;Movimiento {13}: Respecto de la barra “3”, el disco “1” realiza una rotación alrededor de su centro, por lo que

<center><math>I_{31}=C\,</math></center>

:En forma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OI}_{31}=60\,\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm}</math></center>

;Movimiento {23}: Análogamente, el disco “2” ejecuta, respecto de la barra “3”, una rotación alrededor de su centro:

<center><math>I_{32}=D\,</math></center>

:En forma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OI}_{32}=80\,\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm}</math></center>

;Movimiento {10}: Dado que el contacto entre el disco 1 y el aro 0 implica rodadura sin deslizamiento, el CIR del movimiento es el punto de contacto

<center><math>I_{10}=A\,</math></center>

:En forma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OI}_{10}=100\,\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm}</math></center>

;Movimiento {20}: El disco “2” también realiza, respecto del aro “0”, una rotación instantánea alrededor del punto de contacto, por lo que

<center><math>I_{20}=B\,</math></center>

:En forma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OI}_{20}=100\,\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm}</math></center>

;Movimiento {21}: Este es el único que no es evidente. Podemos hallar este punto analítica y gráficamente. Para calcularlo de manera analítica precisamos la velocidad de un punto. Si queremos la posición respecto al punto O, la fórmula correspondiente es

<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^O_{21}}{\omega_{21}}</math></center>

:Necesitamos la velocidad del punto O en el movimiento {21}. La obtenemos aplicando la fórmula de composición de velocidades. Los movimientos {20} y {10} son rotaciones instantáneas alrededor de los puntos B y A por lo que

<center><math>\vec{v}^O_{21}=\vec{v}^O_{20}-\vec{v}^O_{10}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{BO}-\omega_{10}\vec{k}\times\overrightarrow{AO}</math></center>

:Sustituyendo los valores numéricos

<center><math>\vec{v}^O_{21}=\left(-6.00\vec{k}\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right)\times(-100\,\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm})-\left(-2.25\vec{k}\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right)\times(-100\,\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm})=\left(-600\,\vec{\imath}_3-225\,\vec{\jmath}_3\right)\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>

:Llevando esto a la expresión analítica del CIR nos queda

<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\frac{\vec{k}\times\left(-600\,\vec{\imath}_3-225\,\vec{\jmath}_3\right)}{-3.75}\,\mathrm{cm}=\left(-60\vec{\imath}_3+160\vec{\jmath}_3\right)\mathrm{cm}</math></center>

También podemos hallar este CIr empleando la fórmula

<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\frac{\omega_{20}\overrightarrow{OI}_{20}+\omega_{01}\overrightarrow{OI}_{01}}{\omega_{20}+\omega_{01}}</math></center>

que para este caso nos da

<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\frac{-6.00(100\vec{\jmath}_3)+2.25(100\vec{\imath}_3)}{-6.00+2.25}\,\mathrm{cm}=\left(-60\vec{\imath}_3+160\vec{\jmath}_3\right)\mathrm{cm}</math></center>

Alternativamente, este CIR puede obtenerse gráficamente. Por el teorema de los tres centros, el CIR <math>I_{21}</math> se encuentra alineado con los dos centros <math>I_{20}</math> e <math>I_{10}</math>. Por tanto, se encuentra sobre una recta que pasa por A y B. Asimismo, se encuentra alineado con los centros <math>I_{32}</math> e <math>I_{31}</math>. Por ello, pertenece también a la recta que pasa por C y D. El CIR buscado se encuentra entonces en la intersección de estas dos rectas, la que pasa por AB y la que pasa por C y D.

Algebraicamente, esto se expresa observando que el vector <math>\overrightarrow{CI}</math> debe ser proporcional al <math>\overrightarrow{CD}</math>

<center><math>\overrightarrow{CI}_{21}=\lambda\overrightarrow{CD}=\lambda\left(-60\vec{\imath}_3+80\vec{\jmath}_3\right)\,\mathrm{cm}</math></center>

y el <math>\overrightarrow{AI}_{21}</math> al <math>\overrightarrow{AB}</math>

<center><math>\overrightarrow{AI}_{21}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}</math></center>

Sustituyendo tenemos

<center><math>\overrightarrow{AI}_{21}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}_{21}=\left((-40-60\lambda)\vec{\imath}_3+80\lambda\vec{\jmath}_3\right)\mathrm{cm}</math></center>

Hallamos el producto vectorial y lo igualamos a cero

<center><math>\vec{0}=\overrightarrow{AI}_{21}\times\overrightarrow{AB}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_3 & \vec{\jmath}_3 & \vec{k} \\
-40-60\lambda & 80\lambda & 0 \\ -100 & 100 & 0\end{matrix}\right|\,\mathrm{cm}^2 = 100(-40+20\lambda)\vec{k}\,\mathrm{cm}^2</math></center>

de donde

<center><math>\lambda = 2\,</math>{{tose}}<math>\overrightarrow{CI}_{21}=\left(-120\vec{\imath}_3+160\vec{\jmath}_3\right)\,\mathrm{cm}</math></center>

y respecto al centro del aro

<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CI}_{21}=\left(-60\vec{\imath}_3+160\vec{\jmath}_3\right)\,\mathrm{cm}</math></center>

<center>[[Archivo:dos-discos-aro-reticula.png]]</center>

Igualmente, puede verificarse que se encuentran alineados los centros <math>I_{30}</math>, <math>I_{31}</math> e <math>I_{10}</math>, por un lado (los tres están en el eje <math>OX_3</math>) y los centros <math>I_{30}</math>, <math>I_{32}</math> e <math>I_{20}</math> por otro (sobre el eje <math>OY_3</math>).

Cuando las discos van avanzando sobre el aro, los seis centros van girando respecto al aro, manteniendo una posición fija respecto al sólido “3”.

Dos rodillos con deslizamiento

2024-01-28T17:49:08Z

Drake:

==Enunciado==
Un rodillo de radio <math>R=60\,\mathrm{cm}</math> (sólido “0”) rueda sin deslizar sobre un suelo horizontal “1” de forma que su centro C avanza con una celeridad constante <math>v_0=30\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}</math> respecto al suelo. En su marcha, este rodillo empuja a un segundo rodillo de radio <math>r=15\,\mathrm{cm}</math> (sólido “2”), que se ve obligado a rodar sin deslizar sobre el mismo suelo, manteniéndose tangente al primer rodillo (ver figura).

# Calcule las velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{21}</math>, <math>\vec{\omega}_{01}</math> y <math>\vec{\omega}_{20}</math>.
# Halle la velocidad relativa de deslizamiento en el punto A de contacto entre los dos sólidos <math>\vec{v}^A_{20}</math>. ¿Cuál es la rapidez de este deslizamiento?
# Determine la posición del centro instantáneo de rotación <math>I_{20}</math> por los procedimientos siguientes: (i) analíticamente (con ayuda del resultado del apartado anterior); (ii) gráficamente.


<center>[[Archivo:dos-rodillos-01.png]]</center>


==Solución==
===Velocidades angulares===
====Movimiento {01}====
El movimiento {01} es uno de rodadura sin deslizamiento alrededor del punto O de contacto
del rodillo 0 con el suelo 1. La velocidad del punto C en este movimiento es igual a

<center><math>\vec{v}^C_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}</math></center>

donde

<center><math>\vec{v}^C_{01}=v_0\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OC}=R\vec{\jmath}</math></center>

Sustituyendo en la expresión anterior

<center><math>v_0\vec{\imath}=(\omega_{01}\vec{k})\times(R\vec{\jmath})=-\omega_{01}R\vec{\imath}</math></center>

de donde

<center><math>\omega_{01}=-\frac{v_0}{R}=-\frac{30\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}}{60\,\mathrm{cm}}=
-0.5\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

====Movimiento {21}====
Al ser empujado por el rodillo 0, el centro del rodillo 2 se ve forzado a avanzar con la
misma rapidez, de forma que

<center><math>\vec{v}^B_{21}=v_0\vec{\imath}</math></center>

Al rodar sin deslizar sobre la superficie horizontal, el rodillo 2 efectúa un movimiento
{21} de rotación en torno al punto D de contacto del rodillo con el suelo. Operando del
mismo modo que en el caso anterior obtenemos

<center><math>\omega_{21}=-\frac{v_0}{r} = -2.0\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

====Movimiento {20}====
La velocidad angular con la que un rodillo gira respecto al otro la obtenemos aplicando
la ley de composición de las velocidades angulares

<center><math>\omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\omega_{21}-\omega_{01}=-1.5\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

===Velocidad de deslizamiento===
El contacto entre los dos rodillos no es solo de rodadura, sino también de deslizamiento. En el punto en que son tangentes, el punto A del rodillo 0 se está moviendo hacia abajo, mientras que el punto A del rodillo 2 lo hace hacia arriba, con lo que existe una cierta velocidad relativa. El valor de esta velocidad es

<center><math>\vec{v}^A_{20} =\vec{v}^A_{21}-\vec{v}^A_{01}</math></center>

La velocidad del punto A en el movimiento {21} es igual a

<center><math>\vec{v}^A_{21}=\vec{v}^B_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BA}</math></center>

[[Archivo:dos-rodillos-triangulo.png|right]]

El vector de posición relativo cumple la relación de proporcionalidad

<center><math>\overrightarrow{BA}=-\frac{r}{R+r}\overrightarrow{CB}= -\frac{\overrightarrow{CB}}{5.0}</math></center>

siendo el vector de posición relativo entre los ejes de la forma

<center><math>\overrightarrow{CB}=d\vec{\imath}-(R-r)\vec{\jmath}</math></center>

La distancia <math>d</math> entre los puntos de contacto la obtenemos por aplicación del
teorema de Pitágoras

<center><math>d^2+(R-r)^2 = (R+r)^2\,</math>{{tose}}<math>d=2\sqrt{Rr}=60\,\mathrm{cm}</math></center>

lo que nos da

<center><math>\overrightarrow{BA}=(-12\vec{\imath}+9\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}</math></center>

y la velocidad

<center><math>\vec{v}^A_{21}=\left(30\vec{\imath}+
(-2.0\vec{k})\times(-12\vec{\imath}+9\vec{\jmath})\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=
\left(48\vec{\imath}+24\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}
</math></center>

Esta velocidad puede también hallarse reduciendo en el punto D, que es el CIR
<math>I_{21}</math>

<center><math>\vec{v}^A_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{DA}</math></center>

donde

<center><math>\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}=
(-12\vec{\imath}+24\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}
</math></center>

La velocidad en el movimiento {01} se calcula de manera similar. Reduciendo en el centro
del rodillo 0

<center><math>\vec{v}^A_{01}=\vec{v}^C_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CA}</math></center>

siendo ahora el vector de posición relativo

<center><math>\overrightarrow{CA}=\frac{R}{R+r}\overrightarrow{CB}=
(48\vec{\imath}-36\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}</math></center>

lo que resulta en la velocidad

<center><math>\vec{v}^A_{01}=\left(30\vec{\imath}+
(-0.5\vec{k})\times(48\vec{\imath}-36\vec{\jmath})\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=
\left(12\vec{\imath}-24\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}
</math></center>

Esta velocidad también puede calcularse como

<center><math>\vec{v}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}</math></center>

La velocidad de deslizamiento es la diferencia entre estas dos velocidades

<center><math>\vec{v}^A_{20}=\vec{v}^A_{21}-\vec{v}^A_{01} =
\left(36\vec{\imath}+48\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}
</math></center>

Esta velocidad relativa es tangente a la superficie de contacto y tiene por módulo

<center><math>v^A_{20}=\sqrt{36^2+48^2}\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=60\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}
</math></center>

[[Archivo:dos-rodillos-solido3.png|right]]

El que resulte el doble de la velocidad de avance de los rodillos no es casual ni dependiente de las dimensiones concretas de estos. Podemos demostrarlo de forma sencilla:

Observemos que los centros C y B se encuentran en todo momento a la misma distancia entre ellos, <math>R+r</math>. Por tanto, podemos imaginarnos un cuarto sólido, “3”, formado por una barra que une los dos centros. ¿Cómo son los diferentes movimientos respecto a esta barra?

* El sólido “1” el suelo se mueve hacia atrás con rapidez <math>v_0</math>.
* El disco “0” gira alrededor de su centro C con una velocidad angular tal que el punto O se mueve hacia atrás con celeridad <math>v_0</math>.
* El disco “2” gira alrededor de su centro B con una velocidad angular tal que el punto D se mueve hacia atrás con celeridad <math>v_0</math>.

La velocidad de deslizamiento en A será la diferencia

<center><math>\vec{v}^A_{20}=\vec{v}^A_{23} -\vec{v}^A_{03}</math></center>

Ahora bien, en estos dos movimientos de rotación las velocidades de A son tangentes a la línea de contacto entre discos, las dos tienen módulo <math>v_0</math> y poseen sentidos opuestos. Por tanto, su diferencia será un vector también tangente y de módulo <math>v_0-(-v_0) = 2v_0</math>. Este resultado es independiente de los radios de los discos.

===Centro instantáneo de rotación===
====Método analítico====
La posición del CIR <math>I_{20}</math> puede obtenerse analíticamente conocida la
velocidad de un punto y la velocidad angular. La posición del CIR respecto al punto A es

<center><math>\overrightarrow{AI}_{20}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}}{\omega_{20}}=
\frac{\vec{k}\times\left(36\vec{\imath}+48\vec{\jmath}\right)}{-1.5}\,\mathrm{cm}=
\left(32\vec{\imath}-24\vec{\jmath}\right)\mathrm{cm}</math></center>

y respecto al punto O

<center><math>\overrightarrow{OI}_{20}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}_{20}
=80\vec{\imath}\,\mathrm{cm}</math></center>

====Métodos geométricos====
[[Archivo:dos-rodillos-cir.png|right]]

Geométricamente, podemos determinar la posición del CIR {20} de diferentes formas.

Una posibilidad consiste en hallar en primer lugar la velocidad de un segundo punto, en
adición del que ya conocemos. Si consideramos la velocidad del punto O en el movimiento
{20} obtenemos

<center><math>\vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\overbrace{\vec{v}^O_{10}}^{=\vec{0}}=
\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{DO}</math></center>

La velocidad de arrastre se anula por ser O el CIR del movimiento {10}. La segunda
expresión nos dice que la velocidad de O en el movimiento {20} es perpendicular a la
recta que pasa por D y O.

El CIR <math>I_{20}</math> se encuentra entonces en la intersección de la recta
horizontal, que pasa por D y O, con la recta que une los centros C y B (perpendicular a
la velocidad de deslizamiento en A).

Alternativamente, podemos observar que la distancia entre B y C permanece constante en
todo momento, por lo que podemos imaginar un cuarto sólido 3, que une estos dos centros
(una barra, por ejemplo). Los movimientos de los dos rodillos respecto al sólido 3 son
rotaciones alrededor de los respectivos ejes B y C.

Aplicando ahora el teorema de los tres centros tenemos que el CIR <math>I_{20}</math> debe estar en la
intersección de la recta que pasa por <math>I_{01} (O)</math> e <math>I_{21}</math> (D), con la recta que pasa por
<math>I_{03}</math> (C) e <math>I_{23}</math> (B), llegándose al resultado ya conocido.

Otra forma consiste en, si no se ha calculado la velocidad de deslizamiento en A, buscar
otro punto cuya velocidad {20} sea fácil de calcular. El más simple es D, para el que
tenemos

<center><math>\vec{v}^D_{20}=\overbrace{\vec{v}^D_{21}}^{=\vec{0}}-\vec{v}^D_{01}=
-\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OD}</math></center>

Sustituyendo los valores numéricos queda

<center><math>\vec{v}^D_{20}= \frac{v_0d}{R}\vec{\jmath}=30\vec{\jmath}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>

Que junto con el resultado anterior

<center><math>\vec{v}^O_{20}=
\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{DO}=
\frac{v_0d}{r}\vec{\jmath}=120\vec{\jmath}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>

permite aplicar el método geométrico de determinación del CIR para el caso de que
tengamos dos velocidades paralelas.

También puede hallarse gráficamente con ayuda del sólido “3” introducido en el apartado anterior. Según hemos dicho, por el teorema de los tres centros, el CIR <math>I_{20}</math> debe estar en la intersección de la recta que pasa por <math>I_{01} (O)</math> e <math>I_{21}</math> (D). Además debe estar sobre la recta que pasa por el CIR <math>I_{03}</math> (que es el centro del rodillo “0”, C) y con el CIR <math>I_{23}</math> (que es el centro B del rodillo “2”). De nuevo llegamos a que debe estar en la intersección de la recta que pasa por O y D con la que pasa por B y C.

Archivo:Deslizamiento-dos-conos-01.png

2024-01-28T17:46:07Z

Drake:

Deslizamiento de dos sólidos cónicos

2024-01-28T17:45:19Z

Drake: Página creada con «==Enunciado== Dos conos rectos “1” y “2” de la misma altura <math>H</math> y mismo radio en la base <math>R_0</math> se encuentran en contacto a lo largo de una generatriz. Ambos conos se encuentran montados sobre un armazón “0”, de forma que se encuentran rotando con velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{10}=\omega_1\vec{k}</math> y <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_2\vec{k}</math> alrededor de sus respectivos ejes. Determine la…»

==Enunciado==
Dos conos rectos “1” y “2” de la misma altura <math>H</math> y mismo radio en la base <math>R_0</math>
se encuentran en contacto a lo largo de una generatriz. Ambos conos se encuentran montados sobre un armazón “0”, de forma que se encuentran rotando con velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{10}=\omega_1\vec{k}</math> y <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_2\vec{k}</math> alrededor de sus respectivos ejes. Determine la velocidad de deslizamiento en los puntos de contacto de los conos, como función de la altura <math>z</math> medida en la dirección de los ejes desde la base del cono “1”.

<center>[[Archivo:deslizamiento-dos-conos-01.png]]</center>

==Solución==
Este es un problema en el que a diferencia del resto, parece la tercera dimensión en el movimiento plano.

En este sistema, tanto en un cono como en el otro, la velocidad de todos los puntos se encuentra contenida en un plano perpendicular al eje OZ y por tanto se trata de un movimiento plano. Sin embargo, la velocidad de deslizamiento depende de la altura porque la sección transversal del movimiento plano depende de por donde hagamos el corte.

Cuando consideramos una sección transversal a una altura <math>z</math>, lo que obtenemos son dos círculos en contacto, cuyos radios dependen de la altura.

El radio del círculo 1 disminuye linealmente con la altura. Para <math>z=0</math> vale <math>R</math> y para <math>z=H</math> vale <math>0</math>. La ecuación de esta recta es

<center><math>R_1(z) = \left(1-\frac{z}{H}\right)R_0</math></center>

El radio del círculo “2” aumenta con <math>z</math> de manera también lineal:

<center><math>R_2(z) = \frac{z}{H}R_0</math></center>

La velocidad de deslizamiento es la velocidad relativa en el punto de contacto, D

<center><math>\vec{v}^D_{21}=\vec{v}^D_{20}-\vec{v}^D_{10}</math></center>

Cada una de estas velocidades corresponde a una rotación respecto a su respectivo eje de rotación, por lo que

<center><math>\vec{v}^D_{21}=\omega_2\vec{k}\times\overrightarrow{I_{20}D}-\omega_1\vec{k}\times\overrightarrow{I_{10}D}</math></center>

Los vectores de posición relativos valen

<center><math>\overrightarrow{I_{20}D}=-R_2\vec{\imath}_0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{I_{10}D}=R_1\vec{\imath}_0</math></center>

Llegamos a la velocidad de deslizamiento

<center><math>\vec{v}^D_{21}=-(\omega_1R_1+\omega_2R_2)\vec{\jmath}_0</math></center>

Sustituyendo ahora la dependencia en <math>z</math>

<center><math>\vec{v}^D_{21}=-\left(\omega_1R_0\left(1-\frac{z}{H}\right)+\omega_2R_0\frac{z}{H}\right)\vec{\jmath}_0=
\left(-\omega_1R_0+(\omega_1-\omega_2)R\frac{z}{H}\right)\vec{\jmath}_0</math></center>

Vemos entonces que la velocidad de deslizamiento depende de la altura, pudiendo ser en un sentido, en otro, o nula, según sean las velocidades angulares.

En el caso particular <math>\omega_1=\omega_2</math> no hay dependencia en <math>z</math> y la velocidad de deslizamiento es la misma a todos las alturas. Esto corresponde a que para estas velocidades angulares, uno de los conos se está trasladando respecto al otro.

Archivo:Dos-rodillos-cir2.png

2024-01-28T17:39:14Z

Drake:

Archivo:Dos-rodillos-solido3b.png

2024-01-28T17:38:21Z

Drake:

Archivo:Dos-rodillos-cir.png

2024-01-28T17:36:09Z

Drake:

Archivo:Dos-rodillos-solido3.png

2024-01-28T17:35:43Z

Drake:

Archivo:Dos-rodillos-triangulo.png

2024-01-28T17:35:20Z

Drake:

Archivo:Dos-rodillos-01.png

2024-01-28T17:34:53Z

Drake:

Dos rodillos con deslizamiento

2024-01-28T17:27:47Z

Drake: Página creada con « ==Enunciado== Un rodillo de radio <math>R=60\,\mathrm{cm}</math> (sólido “0”) rueda sin deslizar sobre un suelo horizontal “1” de forma que su centro C avanza con una celeridad constante <math>v_0=30\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}</math> respecto al suelo. En su marcha, este rodillo empuja a un segundo rodillo de radio <math>r=15\,\mathrm{cm}</math> (sólido “2”), que se ve obligado a rodar sin d…»

==Enunciado==
Un rodillo de radio <math>R=60\,\mathrm{cm}</math> (sólido “0”) rueda sin deslizar sobre un suelo horizontal “1” de forma que su centro C avanza con una celeridad constante <math>v_0=30\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}</math> respecto al suelo. En su marcha, este rodillo empuja a un segundo rodillo de radio <math>r=15\,\mathrm{cm}</math> (sólido “2”), que se ve obligado a rodar sin deslizar sobre el mismo suelo, manteniéndose tangente al primer rodillo (ver figura).

# Calcule las velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{21}</math>, <math>\vec{\omega}_{01}</math> y <math>\vec{\omega}_{20}</math>.
# Halle la velocidad relativa de deslizamiento en el punto A de contacto entre los dos sólidos <math>\vec{v}^A_{20}</math>. ¿Cuál es la rapidez de este deslizamiento?
# Determine la posición del centro instantáneo de rotación <math>I_{20}</math> por los procedimientos siguientes: (i) analíticamente (con ayuda del resultado del apartado anterior); (ii) gráficamente.


<center>[[Archivo:dos-rodillos-01.png]]</center>


==Solución==
===Velocidades angulares===
====Movimiento {01}====
El movimiento {01} es uno de rodadura sin deslizamiento alrededor del punto O de contacto
del rodillo 0 con el suelo 1. La velocidad del punto C en este movimiento es igual a

<center><math>\vec{v}^C_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}</math></center>

donde

<center><math>\vec{v}^C_{01}=v_0\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OC}=R\vec{\jmath}</math></center>

Sustituyendo en la expresión anterior

<center><math>v_0\vec{\imath}=(\omega_{01}\vec{k})\times(R\vec{\jmath})=-\omega_{01}R\vec{\imath}</math></center>

de donde

<center><math>\omega_{01}=-\frac{v_0}{R}=-\frac{30\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}}{60\,\mathrm{cm}}=
-0.5\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

====Movimiento {21}====
Al ser empujado por el rodillo 0, el centro del rodillo 2 se ve forzado a avanzar con la
misma rapidez, de forma que

<center><math>\vec{v}^B_{21}=v_0\vec{\imath}</math></center>

Al rodar sin deslizar sobre la superficie horizontal, el rodillo 2 efectúa un movimiento
{21} de rotación en torno al punto D de contacto del rodillo con el suelo. Operando del
mismo modo que en el caso anterior obtenemos

<center><math>\omega_{21}=-\frac{v_0}{r} = -2.0\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

====Movimiento {20}====
La velocidad angular con la que un rodillo gira respecto al otro la obtenemos aplicando
la ley de composición de las velocidades angulares

<center><math>\omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\omega_{21}-\omega_{01}=-1.5\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

===Velocidad de deslizamiento===
El contacto entre los dos rodillos no es solo de rodadura, sino también de deslizamiento. En el punto en que son tangentes, el punto A del rodillo 0 se está moviendo hacia abajo, mientras que el punto A del rodillo 2 lo hace hacia arriba, con lo que existe una cierta velocidad relativa. El valor de esta velocidad es

<center><math>\vec{v}^A_{20} =\vec{v}^A_{21}-\vec{v}^A_{01}</math></center>

La velocidad del punto A en el movimiento {21} es igual a

<center><math>\vec{v}^A_{21}=\vec{v}^B_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BA}</math></center>

[[Archivo:dos-rodillos-triangulo.png|right]]

El vector de posición relativo cumple la relación de proporcionalidad

<center><math>\overrightarrow{BA}=-\frac{r}{R+r}\overrightarrow{CB}= -\frac{\overrightarrow{CB}}{5.0}</math></center>

siendo el vector de posición relativo entre los ejes de la forma

<center><math>\overrightarrow{CB}=d\vec{\imath}-(R-r)\vec{\jmath}</math></center>

La distancia <math>d</math> entre los puntos de contacto la obtenemos por aplicación del
teorema de Pitágoras

<center><math>d^2+(R-r)^2 = (R+r)^2\,</math>{{tose}}<math>d=2\sqrt{Rr}=60\,\mathrm{cm}</math></center>

lo que nos da

<center><math>\overrightarrow{BA}=(-12\vec{\imath}+9\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}</math></center>

y la velocidad

<center><math>\vec{v}^A_{21}=\left(30\vec{\imath}+
(-2.0\vec{k})\times(-12\vec{\imath}+9\vec{\jmath})\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=
\left(48\vec{\imath}+24\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}
</math></center>

Esta velocidad puede también hallarse reduciendo en el punto D, que es el CIR
<math>I_{21}</math>

<center><math>\vec{v}^A_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{DA}</math></center>

donde

<center><math>\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}=
(-12\vec{\imath}+24\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}
</math></center>

La velocidad en el movimiento {01} se calcula de manera similar. Reduciendo en el centro
del rodillo 0

<center><math>\vec{v}^A_{01}=\vec{v}^C_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CA}</math></center>

siendo ahora el vector de posición relativo

<center><math>\overrightarrow{CA}=\frac{R}{R+r}\overrightarrow{CB}=
(48\vec{\imath}-36\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}</math></center>

lo que resulta en la velocidad

<center><math>\vec{v}^A_{01}=\left(30\vec{\imath}+
(-0.5\vec{k})\times(48\vec{\imath}-36\vec{\jmath})\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=
\left(12\vec{\imath}-24\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}
</math></center>

Esta velocidad también puede calcularse como

<center><math>\vec{v}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}</math></center>

La velocidad de deslizamiento es la diferencia entre estas dos velocidades

<center><math>\vec{v}^A_{20}=\vec{v}^A_{21}-\vec{v}^A_{01} =
\left(36\vec{\imath}+48\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}
</math></center>

Esta velocidad relativa es tangente a la superficie de contacto y tiene por módulo

<center><math>v^A_{20}=\sqrt{36^2+48^2}\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=60\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}
</math></center>

[[Archivo:dos-rodillos-solido3.png|right]]

El que resulte el doble de la velocidad de avance de los rodillos no es casual ni dependiente de las dimensiones concretas de estos. Podemos demostrarlo de forma sencilla:

Observemos que los centros C y B se encuentran en todo momento a la misma distancia entre ellos, <math>R+r</math>. Por tanto, podemos imaginarnos un cuarto sólido, “3”, formado por una barra que une los dos centros. ¿Cómo son los diferentes movimientos respecto a esta barra?

* El sólido “1” el suelo se mueve hacia atrás con rapidez <math>v_0</math>.
* El disco “0” gira alrededor de su centro C con una velocidad angular tal que el punto O se mueve hacia atrás con celeridad <math>v_0</math>.
* El disco “2” gira alrededor de su centro B con una velocidad angular tal que el punto D se mueve hacia atrás con celeridad <math>v_0</math>.

La velocidad de deslizamiento en A será la diferencia

<center><math>\vec{v}^A_{20}=\vec{v}^A_{23} -\vec{v}^A_{03}</math></center>

Ahora bien, en estos dos movimientos de rotación las velocidades de A son tangentes a la línea de contacto entre discos, las dos tienen módulo <math>v_0</math> y poseen sentidos opuestos. Por tanto, su diferencia será un vector también tangente y de módulo <math>v_0-(-v_0) = 2v_0</math>. Este resultado es independiente de los radios de los discos.

===Centro instantáneo de rotación===
====Método analítico====
La posición del CIR <math>I_{20}</math> puede obtenerse analíticamente conocida la
velocidad de un punto y la velocidad angular. La posición del CIR respecto al punto A es

<center><math>\overrightarrow{AI}_{20}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}}{\omega_{20}}=
\frac{\vec{k}\times\left(36\vec{\imath}+48\vec{\jmath}\right)}{-1.5}\,\mathrm{cm}=
\left(32\vec{\imath}-24\vec{\jmath}\right)\mathrm{cm}</math></center>

y respecto al punto O

<center><math>\overrightarrow{OI}_{20}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}_{20}
=80\vec{\imath}\,\mathrm{cm}</math></center>

====Métodos geométricos====
[[Archivo:dos-rodillos-cir.png|right]]

Geométricamente, podemos determinar la posición del CIR {20} de diferentes formas.

Una posibilidad consiste en hallar en primer lugar la velocidad de un segundo punto, en
adición del que ya conocemos. Si consideramos la velocidad del punto O en el movimiento
{20} obtenemos

<center><math>\vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\overbrace{\vec{v}^O_{10}}^{=\vec{0}}=
\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{DO}</math></center>

La velocidad de arrastre se anula por ser O el CIR del movimiento {10}. La segunda
expresión nos dice que la velocidad de O en el movimiento {20} es perpendicular a la
recta que pasa por D y O.

El CIR <math>I_{20}</math> se encuentra entonces en la intersección de la recta
horizontal, que pasa por D y O, con la recta que une los centros C y B (perpendicular a
la velocidad de deslizamiento en A).

Alternativamente, podemos observar que la distancia entre B y C permanece constante en
todo momento, por lo que podemos imaginar un cuarto sólido 3, que une estos dos centros
(una barra, por ejemplo). Los movimientos de los dos rodillos respecto al sólido 3 son
rotaciones alrededor de los respectivos ejes B y C.

Aplicando ahora el teorema de los tres centros tenemos que el CIR <math>I_{20}</math> debe estar en la
intersección de la recta que pasa por <math>I_{01} (O)</math> e <math>I_{21}</math> (D), con la recta que pasa por
<math>I_{03}</math> (C) e <math>I_{23}</math> (B), llegándose al resultado ya conocido.

Otra forma consiste en, si no se ha calculado la velocidad de deslizamiento en A, buscar
otro punto cuya velocidad {20} sea fácil de calcular. El más simple es D, para el que
tenemos

<center><math>\vec{v}^D_{20}=\overbrace{\vec{v}^D_{21}}^{=\vec{0}}-\vec{v}^D_{01}=
-\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OD}</math></center>

Sustituyendo los valores numéricos queda

<center><math>\vec{v}^D_{20}= \frac{v_0d}{R}\vec{\jmath}=30\vec{\jmath}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>

Que junto con el resultado anterior

<center><math>\vec{v}^O_{20}=
\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{DO}=
\frac{v_0d}{r}\vec{\jmath}=120\vec{\jmath}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>

permite aplicar el método geométrico de determinación del CIR para el caso de que
tengamos dos velocidades paralelas.

También puede hallarse gráficamente con ayuda del sólido “3” introducido en el apartado anterior. Según hemos dicho, por el teorema de los tres centros, el CIR <math>I_{20}</math> debe estar en la intersección de la recta que pasa por <math>I_{01} (O)</math> e <math>I_{21}</math> (D). Además debe estar sobre la recta que pasa por el CIR <math>I_{03}</math> (que es el centro del rodillo “0”, C) y con el CIR <math>I_{23}</math> (que es el centro B del rodillo “2”). De nuevo llegamos a que debe estar en la intersección de la recta que pasa por O y D con la que pasa por B y C.

Archivo:Base-ruleta-03.gif

2024-01-28T13:10:50Z

Drake:

Archivo:Base-ruleta-02.png

2024-01-28T13:10:30Z

Drake:

Archivo:Base-ruleta-02.gif

2024-01-28T13:09:45Z

Drake:

Archivo:Base-ruleta-01.png

2024-01-28T13:09:28Z

Drake:

Ejemplo paramétrico de movimiento plano

2024-01-28T13:05:25Z

Drake: Página creada con «==Enunciado== La escuadra <math>O_2X_2Y_2</math> (sólido “2”) se mueve respecto a la escuadra <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido “1”) de forma que su origen de coordenadas, <math>O_2</math>, verifica la ecuación paramétrica <center><math>\overrightarrow{O_1O_2} =A(\cos(\theta)+\theta \,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\imath}_1 + A(\mathrm{sen}(\theta)-\theta \cos(\theta))\vec{\jmath}_1</math></center> siendo <math>\theta=\theta(t)</math> el ángul…»

==Enunciado==
La escuadra <math>O_2X_2Y_2</math> (sólido “2”) se mueve respecto a la escuadra <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido “1”) de forma que su origen de coordenadas, <math>O_2</math>, verifica la ecuación paramétrica

<center><math>\overrightarrow{O_1O_2} =A(\cos(\theta)+\theta \,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\imath}_1 + A(\mathrm{sen}(\theta)-\theta \cos(\theta))\vec{\jmath}_1</math></center>

siendo <math>\theta=\theta(t)</math> el ángulo que el eje <math>O_2X_2</math> forma con el <math>O_1X_1</math>.

# Calcule la velocidad instantánea del punto <math>O_1</math> en el movimiento {21}: <math>\vec{v}^{O_1}_{21}</math>.
# Determine la posición del CIR <math>I_{21}</math> y exprésela empleando el sistema de referencia ligado al sólido “1”.
# Exprese la posición del mismo punto <math>I_{21}</math> en el sistema de referencia ligado al sólido “2”.

==Velocidad==
La velocidad del punto <math>O_1</math>, como parte del sólido “2” respecto al “1”, <math>\vec{v}^{O_1}_{21}</math>, puede calcularse de diferentes formas.

===Empleando el sistema de referencia “1”===
Debemos hallar la velocidad de un punto cuya posición no conocemos en todo instante. El punto cuya posición sí conocemos y podemos derivar es <math>O_2</math>. Por ello, debemos usar la expresión del campo de velocidades

<center><math>\vec{v}^{O_1}_{21}=\vec{v}^{O_2}_{21} + \omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{O_2O_1}</math></center>

Veamos cada término por separado.

La velocidad de <math>O_2</math> en el movimiento {21} sí puede hallarse derivando respecto al tiempo, por aplicación de la regla de la cadena.

<center><math>\vec{v}^{O_2}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\overrightarrow{O_1O_2}\right|_1=A\dot{\theta}\theta\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)</math></center>

La velocidad angular es inmediata, puesto que conocemos el ángulo que forman los ejes <math>OX_1</math> y <math>OX_2</math>

<center><math>\vec{\omega}_{21}=\dot{\theta}\vec{k}</math></center>

El vector de posición relativo es el opuesto al que aparece en el enunciado

<center><math>\overrightarrow{O_2O_1}=-\overrightarrow{O_1O_2} =-A(\cos(\theta)+\theta \,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\imath}_1 - A(\mathrm{sen}(\theta)-\theta \cos(\theta))\vec{\jmath}_1</math></center>

Reuniendo todo esto obtenemos la velocidad del punto <math>O_1</math>

<center><math>\vec{v}^{O_1}_{21}=\vec{v}^{O_2}_{21} + \omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{O_2O_1}=A\dot{\theta}\left(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1-\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\right)</math></center>

===Empleando el sistema de referencia “2”===
Puesto que el punto <math>O_1</math> es el origen de coordenadas del sistema de referencia “1”, puede parecer más intuitivo considerar el movimiento inverso, del sólido “1” respecto al “2”. Las velocidades de los movimientos inversos se relacionan por la igualdad

<center><math>\vec{v}^{O_1}_{21}=-\vec{v}^{O_1}_{12}</math></center>

Para hallar el segundo miembro, expresaremos la posición del punto <math>O_1</math> en el sistema de referencia ligado al sólido “2”. El vector de posición relativo es, según dijimos,

<center><math>\overrightarrow{O_2O_1}=-\overrightarrow{O_1O_2} =-A(\cos(\theta)+\theta \,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\imath}_1 - A(\mathrm{sen}(\theta)-\theta \cos(\theta))\vec{\jmath}_1</math></center>

Esta vector aun está expresado en el sistema de referencia “1”. Para pasar al “2” debemos relacionar las bases respectivas. Las relaciones son

<center><math>\left\{\begin{array}{lcr}
\vec{\imath}_2 & = & \cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1 \\
\vec{\jmath}_2 & = & -\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1 + \cos(\theta)\vec{\jmath}_1
\end{array}\right.</math></center>

Podemos obtener el vector de expresión en la base “2” simplemente observando que

<center><math>\overrightarrow{O_2O_1}=-A(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta))\vec{\jmath}_1-A\theta(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1 - \cos(\theta))\vec{\jmath}_1</math></center>

donde podemos reconocer los vectores de la base, por lo que

<center><math>\overrightarrow{O_2O_1}=-A\vec{\imath}_2+A\theta\vec{\jmath}_2</math></center>

La obtención de la velocidad inversa es entonces trivial

<center><math>\vec{v}^{O_1}_{12}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\overrightarrow{O_2O_1}\right|_2 = A\dot{\theta}\vec{\jmath}_2</math></center>

y la velocidad que pide el enunciado es

<center><math>\vec{v}^{O_1}_{21}=-\vec{v}^{O_1}_{21}=- A\dot{\theta}\vec{\jmath}_2</math></center>

==CIR en el sistema “1”==
Para hallar la posición del centro instantáneo de rotación disponemos de la fórmula analítica

<center><math>\overrightarrow{O_1I}_{21}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^{O_1}_{21}}{\omega_{21}}</math></center>

siendo ya conocidas cada una de las cantidades. Sustituyendo

<center><math>\overrightarrow{O_1I}_{21}=\frac{\vec{k}\times\left(A\dot{\theta}\left(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1-\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\right)\right)}{\dot{\theta}} = A\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)</math></center>

A la vista de este resultado tenemos que

* La posición del CIR no depende de la rapidez con la que varía el ángulo, <math>\dot{\theta}</math>.
* En este caso concreto, a medida que va variando <math>\theta</math>, la posición de los sucesivos CCIIR se encuentra sobre una circunferencia de radio <math>A</math> en torno a <math>O_1</math>.

==CIR en el sistema “2”==
De la misma manera puede calcularse la posición en el sistema “2”. Para expresar este resultado, debemos hallar el vector de posición relativo a <math>O_2</math> y expresarla en el sistema de ejes ligado al sólido “2”.

Esto lo podemos conseguir de varias formas:

;A partir de la velocidad de <math>O_2</math>: Puesto que hemos calculado previamente la velocidad de <math>O_2</math> podemos volver a aplicar la fórmula analítica para la posición del CIR

<center><math>\overrightarrow{O_2I}_{21}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^{O_2}_{21}}{\omega_{21}}</math></center>

:donde ahora

<center><math>\vec{v}^{O_2}_{21}= A\dot{\theta}\theta\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)=A\dot{\theta}\theta\vec{\imath}_2</math></center>

:Sustituyendo

<center><math>\overrightarrow{O_2I}_{21}=\frac{\vec{k}\times(A\dot{\theta}\theta\vec{\imath}_2)}{\dot{\theta}}=A\theta\vec{\jmath}_2</math></center>

;A partir de la posición relativa a <math>O_1</math>: Puesto que ya hemos determinado la posición del CIR relativa a <math>O_1</math>, para hallar la posición relativo a <math>O_2</math> nos basta con sumar vectores

<center><math>\overrightarrow{O_2I}_{21}=\overrightarrow{O_2O_1}+\overrightarrow{O_1I}_{21}</math></center>

:donde, como hemos visto

<center><math>\overrightarrow{O_2O_1}=-A\vec{\imath}_2+A\theta\vec{\jmath}_2</math></center>

:y

<center><math>\overrightarrow{O_1I}_{21}= A\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)=A\vec{\imath}_2</math></center>

:Sumando estas dos expresiones

<center><math>\overrightarrow{O_2I}_{21}=-A\vec{\imath}_2+A\theta\vec{\jmath}_2+A\vec{\imath}_2=A\theta\vec{\jmath}_2</math></center>

Vemos que este CIR se mueve a lo largo de la recta correspondiente al eje <math>O_2Y_2</math>

==Interpretación de los resultados==
De acuerdo con los resultados anteriores, hemos obtenido que, a medida que aumenta el valor del ángulo <math>\theta</math>, la posición del CIR <math>I_{21}</math> va desplazándose a lo largo de una circunferencia, según el sistema del sólido “1” y a lo largo de una recta, según el sólido “2”. Este resultado posee una interpretación geométrica sencilla.

Cuando varía <math>\theta</math> el punto <math>O_2</math> va describiendo la [[evolvente de una circunferencia]]. Este curva puede describirse como la posición que ocupa el extremo de un hilo tenso, pero también es la que curva que corresponde al extremo de una barra recta que rueda sin deslizar sobre un disco circular.

Empleando esta interpretación vemos que es natural que las sucesivas posiciones del CIR se encuentren sobre una circunferencia, en el sistema ligado a ésta, y sobre una recta, en el sistema ligado a la barra.

<center>[[Archivo:base-ruleta-01.png|400px]]{{qquad}}[[Archivo:base-ruleta-02.gif]]</center>

<center>[[Archivo:base-ruleta-02.png|400px]]{{qquad}}[[Archivo:base-ruleta-03.gif]]</center>

Este movimiento puede también verse de manera inversa. Considerando como sistema fijo el “2” y como móvil el “1”, el sistema equivalente pasa a ser el de un disco que rueda sobre una superficie horizontal. Con esta reinterpretación, es inmediato que el vector de posición relativa <math>\overrightarrow{O_1I}_{12}</math> en el sistema “2” se exprese como un vector constante, <math>\overrightarrow{O_1I}_{21}=A\vec{\imath}_2</math>, ya que se trata del vector que une el centro del disco con el punto de apoyo, y esta posición relativa es constante.

Rotación de un disco inclinado

2024-01-28T12:44:59Z

Drake: Página creada con «==Enunciado== Un disco de radio <math>a=60\,\mathrm{mm}</math> en cuyo eje está ensartada una barra de longitud <math>L=80\,\mathrm{mm}</math> se halla apoyado en el extremo de la barra y en el borde del disco. El disco rueda sobre una superficie horizontal, manteniendo fija la posición del extremo de la barra. El giro es uniforme, de forma que el centro del disco completa una revolución cada <math>T=4\,\mathrm{s}</math>. Se consideran como sólido 1 la superficie…»

==Enunciado==
Un disco de radio <math>a=60\,\mathrm{mm}</math> en cuyo eje está ensartada una barra de longitud <math>L=80\,\mathrm{mm}</math> se halla apoyado en el extremo de la barra y en el borde del disco. El disco rueda sobre una superficie horizontal, manteniendo fija la posición del extremo de la barra. El giro es uniforme, de forma que el centro del disco completa una revolución cada <math>T=4\,\mathrm{s}</math>.

Se consideran como sólido 1 la superficie horizontal, como sólido intermedio 0 uno que gira alrededor del eje Z, de forma que la barra se encuentra permanentemente en el plano XZ y como sólido 2 el disco. En un instante dado se toman los ejes del sistema 0 y 1 coincidentes y tales que OZ es la normal al plano horizontal que pasa por O, el extremo de la barra, OX es la recta horizontal que pasa por O y por A, el punto de contacto del disco con la mesa, y OY es la normal a los otros dos ejes.

# Determine la posición de los ejes instantáneos de rotación en los movimientos absoluto {21}, relativo {20} y de arrastre {01}.
# Halle las velocidades de los puntos A (de contacto del disco con la mesa), B (diametralmente opuesto a A) y C (centro del disco), en los tres movimientos.
# Calcule la aceleración de los mismos puntos.
# Suponga que se marca un punto en el borde del disco y se analiza su movimiento a lo largo del tiempo. ¿Es éste periódico? Si es así, ¿cuál es su periodo?

==Ejes instantáneos de rotación==
Puesto que tenemos un punto fijo en los tres movimientos, que es el punto O de contacto de la barra con la mesa, los movimientos absoluto, relativo y de arrastre son sendas rotaciones puras, cuyos ejes instantáneos de rotación pasan por el punto O.

La orientación de cada eje la da la velocidad angular de cada movimiento.

;Movimiento absoluto {21}: En el movimiento del disco respecto a la mesa tenemos dos puntos instantáneamente en reposo, el ya mencionado punto O y el punto A de contacto del disco con la mesa, por estar rodando el disco sobre la mesa. Por tanto el eje instantáneo de rotación es la recta horizontal que pasa por estos dos puntos (que hemos tomado como eje OX tanto en el sólido 0 como en el 1) y la velocidad angular de este movimiento es de la forma

<center><math>\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\vec{\imath}</math></center>

;Movimiento relativo {20}: Respecto a la barra el disco efectúa un movimiento de rotación en torno a su eje (la propia barra), por lo que el eje instantáneo de rotación es la recta que pasa por O y por C y la velocidad angular es de la forma

==Velocidades==
Comenzamos anotando lo que sabemos.

Por la condición de rodadura, la velocidad absoluta del punto A es nula

<center><math>\vec{v}^A_{21}=\vec{0}</math></center>

El punto C donde se unen solidariamente la barra y el disco, posee velocidad relativa nula

<center><math>\vec{v}^C_{20}=\vec{0}</math></center>

También conocemos la velocidad angular del movimiento de arrastre, ya que conocemos el periodo de revolución del disco alrededor del eje vertical

<center><math>\vec{\omega}_{01}=\frac{2\pi}{T}\vec{k} </math></center>

Asimismo, es conocida la posición instantánea de A, B y C. Aplicando semejanza de triángulos tenemos

<center><math>\overrightarrow{OA}=\sqrt{L^2+a^2}\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OC}=\frac{L^2}{\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\imath}+\frac{La}{\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OB}=\frac{L^2-a^2}{\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\imath}+\frac{2La}{\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\imath}</math></center>

que, para los datos del problema valen, en milímetros:

<center><math>\overrightarrow{OA}=100\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OC}=64\vec{\imath}+48\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OC}=28\vec{\imath}+96\vec{\imath}</math></center>

por lo que la velocidad de arrastre de C es

<center><math>\vec{v}^C_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}=\frac{2\pi}{T}\,\frac{L^2}{\sqrt{L^2-a^2}}\vec{\jmath}</math></center>

Su velocidad absoluta será la misma por ser nula la velocidad relativa

<center><math>\vec{v}^C_{21}=\vec{v}^C_{20}+\vec{v}^C_{01}=\frac{2\pi}{T}\,\frac{L^2}{\sqrt{L^2-a^2}}\vec{\jmath}</math></center>

Por otro lado, esta velocidad es igual a

<center><math>\vec{v}^C_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OC} = \left(\omega_{21}\vec{\imath}\right)\times\overrightarrow{OC}=-\frac{aL\omega_{21}}{\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\jmath}</math></center>

y de aquí identificamos la velocidad angular absoluta

<center><math>\vec{\omega}_{21}=-\frac{L}{a}\,\frac{2\pi}{T}\vec{\imath}</math></center>

Restando obtenemos la velocidad angular relativa

<center><math>\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=-\frac{2\pi}{aT}\left(L\vec{\imath}+a\vec{k}\right)</math></center>

Tal como habíamos dicho, esta velocidad angular apunta en la dirección de la barra.

Por otro lado, la velocidad de arrastre del punto A es

<center><math>\vec{v}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\frac{2\pi}{T}\sqrt{L^2+a^2}\vec{\jmath}</math></center>

y la relativa será igual y opuesta a esta

<center><math>\vec{v}^A_{20}=\vec{v}^A_{21}-\vec{v}^A_{01}=-\frac{2\pi}{T}\sqrt{L^2+a^2}\vec{\jmath}</math></center>

Las velocidades de arrastre, relativa y absoluta de B se obtienen del mismo modo

<center><math>\vec{v}^B_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB}=\frac{2\pi(L^2-a^2)}{T\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\jmath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OB}=\frac{4\pi L^2}{T\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\jmath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B_{20}=\vec{v}^B_{21}-\vec{v}^B_{01} = \frac{2\pi\sqrt{L^2-a^2}}{T}\vec{\jmath}</math></center>

Sustituyendo los valores numéricos obtenemos los siguientes resultados,

{| class="bordeado"
|-
! Movimiento
! Arrastre {01}
! Relativo {20}
! Absoluto {21}
|-
| <math>\vec{\omega}</math> (1/s)
| <math>(\pi/2)\vec{k}</math>
| <math>-(2\pi/3)\vec{\imath}-(\pi/2)\vec{k}</math>
| <math>-(2\pi/3)\vec{\imath}</math>
|-
| <math>\vec{v}^A</math> (mm/s)
| <math>50\pi\vec{\jmath}</math>
| <math>-50\pi\vec{\jmath}</math>
| <math>\vec{0}</math>
|-
| <math>\vec{v}^B</math> (mm/s)
| <math>14\pi\vec{\jmath}</math>
| <math>50\pi\vec{\jmath}</math>
| <math>64\pi\vec{\jmath}</math>
|-
| <math>\vec{v}^C</math> (mm/s)
| <math>32\pi\vec{\jmath}</math>
| <math>\vec{0}</math>
| <math>32\pi\vec{\jmath}</math>
|}

==Aceleraciones==
En el caso de las aceleraciones sabemos que, por girar uniformemente el disco en torno al eje OZ

<center><math>\vec{\alpha}_{01}=\vec{0}</math></center>

También es nula la aceleración angular relativa

<center><math>\vec{\alpha}_{20}=\vec{0}</math></center>

ya que el disco gira uniformemente en el sistema intermedio.

La aceleración angular absoluta, en cambio, no es nula

<center><math>\vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=-\frac{4\pi^2 L}{a T^2}\vec{\jmath}</math></center>

Puesto que conocemos las velocidades y aceleraciones de los tres movimientos y sabemos que existe un punto fijo en los tres movimientos, podemos aplicar en todos los casos, la fórmula general del campo de aceleraciones de un sólido.

<center><math>\vec{a}^P_{ik} = \overbrace{\vec{a}^O_{ik}}^{=\vec{0}}+\vec{\alpha}_{ik}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{ik}\times(\vec{\omega}_{ik}\times\overrightarrow{OP})</math></center>

Esto nos da los siguientes resultados:

===Movimiento de arrastre===
El sólido 0 efectúa una rotación uniforme alrededor del eje OZ por lo que la aceleración de todos los puntos equivale a la de un movimiento circular uniforme: radial hacia adentro de la circunferencia y de módulo igual al cuadrado de la velocidad angular multiplicada por la distancia al eje de giro.

;Punto A:
<center><math>\vec{a}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA})=-\frac{4\pi^2}{T^2}\sqrt{L^2+a^2}\vec{\imath}</math></center>

;Punto B:
<center><math>\vec{a}^B_{01}=\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB})=-\frac{4\pi^2}{T^2}\frac{L^2-a^2}{\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\imath}</math></center>

;Punto C:
<center><math>\vec{a}^C_{01}=\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC})=-\frac{4\pi^2}{T^2}\frac{L^2}{\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\imath}</math></center>

===Movimiento relativo===
El sólido 2 también efectúa una rotación uniforme, en este caso en torno en torno a la barra. La aceleración de todos los puntos es de nuevo la de un movimiento circular uniforme: radial hacia adentro de la circunferencia y de módulo igual al cuadrado de la velocidad angular multiplicada por la distancia al eje de giro.

;Punto A:
<center><math>\vec{a}^A_{20}=\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OA})=\frac{4\pi^2}{a T^2}\sqrt{L^2+a^2}(a\vec{\imath}-L\vec{k})</math></center>

;Punto B:
<center><math>\vec{a}^B_{20}=\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OB})=-\frac{4\pi^2}{a T^2}\sqrt{L^2+a^2}(a\vec{\imath}-L\vec{k})</math></center>

;Punto C:
<center><math>\vec{a}^C_{20}=\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OC})=\vec{0}</math></center>

===Movimiento absoluto===
La aceleración angular no es nula en el movimiento absoluto, por lo que ya las aceleraciones deben incluir los dos términos

;Punto A:
<center><math>\vec{a}^A_{21}=\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{OA}+\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA})=\frac{4\pi^2L}{a T^2}\sqrt{L^2+a^2}\vec{k}</math></center>

;Punto B:
<center><math>\vec{a}^B_{21}=\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{OB}+\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OB})=-\frac{4\pi^2L}{a T^2\sqrt{L^2+a^2}}(2La\vec{\imath}+(L^2+a^2)\vec{k})</math></center>

;Punto C: Esta aceleración es sencilla de calcular empleando la composición de movimientos
<center><math>\vec{a}^C_{21}=\overbrace{\vec{a}^C_{20}}^{=\vec{0}}+\vec{a}^C_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\overbrace{\vec{v}^C_{20}}^{=\vec{0}}=-\frac{4\pi^2}{T^2}\frac{L^2}{\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\imath}</math></center>

Sustituyendo los valores numéricos obtenemos los siguientes resultados,

{| class="bordeado"
|-
! Movimiento
! Arrastre {01}
! Relativo {20}
! Absoluto {21}
|-
| <math>\vec{\alpha}</math> (1/s²)
| <math>\vec{0}</math>
| <math>\vec{0}</math>
| <math>-(\pi^2/3)\vec{\jmath}</math>
|-
| <math>\vec{a}^A</math> (mm/s²)
| <math>-25\pi^2\vec{\imath}</math>
| <math>-25\pi^2\vec{\imath}+(100\pi^2/3)\vec{k}</math>
| <math>(100\pi^2/3)\vec{k}</math>
|-
| <math>\vec{a}^B</math> (mm/s²)
| <math>-7\pi\vec{\imath}</math>
| <math>25\pi^2\vec{\imath}-(100\pi^2/3)\vec{k}</math>
| <math>-32\pi^2\vec{\imath}-(100\pi^2/3)\vec{k}</math>
|-
| <math>\vec{a}^C</math> (mm/s²)
| <math>-16\pi\vec{\imath}</math>
| <math>\vec{0}</math>
| <math>-16\pi\vec{\imath}</math>
|}

==Periodo del movimiento==
Parecería que, dado que el disco completa una vuelta en un periodo T, el movimiento de un punto del borde será periódico con el mismo periodo. Sin embargo, no es así. El que el disco de una vuelta no quiere decir que un punto concreto vuelva a ocupar la misma posición. Es más, en general no será así.

Cuando el disco da una vuelta sobre la mesa, la circunferencia que describe tiene una longitud

<center><math>l = 2\pi\sqrt{L^2+a^2}</math></center>

Puesto que en todo momento ha permanecido en contacto, el número de vueltas que ha dado sobre si mismo en ese tiempo es

<center><math>n = \frac{l}{2\pi a} = \frac{\sqrt{L^2+a^2}}{a}</math></center>

Para una longitud de la barra y un radio arbitrarios, esta cantidad será en general irracional (por ejemplo, si <math>a=L</math> habrá dado <math>\sqrt{2}</math> vueltas). Si <math>n</math> es irracional el movimiento es aperiódico, ya que ningún múltiplo entero de <math>l</math> producirá un múltiplo entero de <math>2\pi a</math>, así que nunca ocurrirá que un punto en concreto del borde del disco toque la mesa exactamente dos (o más) veces en el mismo sitio.

Si <math>n</math> es racional de forma que puede escribirse como la fracción <math>p/q</math>, se cumple que

<center><math>\frac{p}{q}=\frac{l}{2\pi a}</math>{{tose}} <math>q l = p(2\pi a)\,</math></center>

Esto quiere decir que cuando el disco da <math>q</math> vueltas alrededor del eje vertical, da <math>p</math> vueltas sobre sí mismo. En este caso el movimiento sí es periódico y su periodo será <math>qT</math> siendo T el periodo de una vuelta del disco alrededor del eje.

En nuestro caso

<center><math>n = \frac{\sqrt{80^2+60^2}}{60} = \frac{5}{3}</math></center>

lo que quiere decir que en 3 vueltas alrededor del eje, el disco da 5 alrededor de la barra, con lo que el periodo será

<center><math>T_A = 3T = 12\,\mathrm{s}</math></center>

Archivo:Disco-rotante-movil.gif

2024-01-28T12:31:27Z

Drake:

Archivo:Disco-rotante-fijo.gif

2024-01-28T12:31:01Z

Drake:

Observación desde plataforma giratoria

2024-01-28T12:30:20Z

Drake: Página creada con «==Enunciado== Un individuo se encuentra sentado en el eje de una plataforma giratoria horizontal (sólido “0”) que rota con velocidad angular constante <math>\Omega</math> respecto al suelo (sólido “1”). Esta persona arroja horizontalmente un hueso de aceituna desde una altura <math>h</math> con velocidad <math>v_0\,</math>. Despreciando el rozamiento del aire, de forma que el hueso se mueve exclusivamente por la acción de su peso, determine…»

==Enunciado==
Un individuo se encuentra sentado en el eje de una plataforma giratoria horizontal (sólido “0”) que rota con velocidad angular constante <math>\Omega</math> respecto al suelo (sólido “1”). Esta persona arroja horizontalmente un hueso de aceituna desde una altura <math>h</math> con velocidad <math>v_0\,</math>. Despreciando el rozamiento del aire, de forma que el hueso se mueve exclusivamente por la acción de su peso, determine la velocidad y la aceleración que mide el observador rotatorio para cada instante. ¿Cuál es la rapidez relativa a la plataforma con la que golpea el suelo de ésta?

==Velocidad==
En este problema se trata de analizar cómo ve el mundo un observador en rotación. La velocidad y la aceleración que mide este observador no coinciden con las que mide uno situado en el suelo, no sometido a rotación.

Tenemos aquí tres sólidos: el hueso, que consideramos sólido “2”, el suelo exterior, que desempeña el papel de sólido “1” y la plataforma giratoria, que consideraremos como sólido “0”.

{| class="bordeado"
|-
| [[Archivo:disco-rotante-fijo.gif]]
| [[Archivo:disco-rotante-movil.gif]]
|-
! Desde el suelo
! Desde la plataforma
|}

Lo que va a ocurrir es que, mientras que para un observador situado en el suelo, el hueso va a a describir una parábola vertical, para el observador de la plataforma además se va a ir desviando lateralmente.

===Movimiento {21}===
Conocemos el movimiento del sólido “2” respecto al suelo “1”: describe un movimiento parabólico desde el punto inicial, ya que una vez que se separa del observador rotatorio, pierde la rotación que pudiera tener.

Si consideramos que el plano del movimiento {21} del hueso es el <math>OX_1Z_1</math>, la posición instantánea del hueso es

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl} x_1 & = & v_0t \\ && \\ y_1 & = & 0 \\ && \\ z_1 & = & h-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad\overrightarrow{OH}=v_0 t \vec{\imath}_1+\left(h-\frac{1}{2}gt^2\right)\vec{k}_1</math></center>

Puesto que tenemos la posición en cada instante, podemos derivar para obtener la velocidad y la aceleración en el movimiento {21}

<center><math>\vec{v}^H_{21}=v_0\vec{\imath}_1-g t \vec{k}_1</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^H_{21}=-g\vec{k}_1</math></center>

===Movimiento {01}===
La plataforma está rotando con velocidad angular <math>\Omega</math> en sentido antihorario con respecto al suelo:

<center><math>\vec{\omega}_{01}=\Omega\vec{k}_1</math></center>

La velocidad {01} del punto H (velocidad de arrastre) va a depender de la distancia entre H y el eje fijo de rotación:

<center><math>\vec{v}^H_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OH}=-\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ 0 & 0 & \Omega\\ v_0 t & 0 & h-gt^2/2\end{matrix}\right| = \Omega v_0 t \vec{\jmath}_1</math></center>

Nótese que hemos expresado esta velocidad en los ejes ligados al sólido 1 (el suelo).

===Movimiento {20}===
Según la ley de composición de velocidades:
<center><math>\vec{v}^H_{21}=\vec{v}^H_{20}+\vec{v}^H_{01}</math></center>

Por tanto, restando las dos velocidades calculadas anteriormente obtenemos la velocidad medida por el observador ligado a la plataforma giratoria:

<center><math>\vec{v}^H_{20}=\vec{v}^H_{21}-\vec{v}^H_{01}=v_0\vec{\imath}_1-\Omega v_0 t \vec{\jmath}_1-g t\vec{k}_1</math></center>

Podría pensarse que el observador móvil ve un movimiento de aceleración constante (ya que el nuevo término se parece a la componente vertical). Sin embargo no es así, ya que hemos expresado el resultado en unos ejes ligados al suelo “1”, que para el observador giratorio son unos ejes móviles.

Para expresar el vector velocidad en una base ligada a la plataforma en rotación, debemos relacionar las bases respectivas. Tenemos que el vector <math>\vec{k}</math> es el mismo para ambas bases. Para los otros dos vectores tenemos las relaciones

<center><math>\begin{array}{rcl}\vec{\imath}_1 & = & \cos(\Omega t) \vec{\imath}_0 -\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}_0 \\
\vec{\jmath}_1 & = & \mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_0 + \cos(\Omega t)\vec{\jmath}_0\end{array}</math></center>

lo que nos da la velocidad

<center><math>\vec{v}^H_{20}=\left(v_0\cos(\Omega t)-\Omega v_0 t\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{\imath}_0-\left(v_0\mathrm{sen}(\Omega t)+\Omega v_0 t\cos(\Omega t)\right)\vec{\jmath}_0-g t\vec{k}_0</math></center>

que no es para nada la ecuación de un movimiento de aceleración constante.

==Aceleración==
Del mismo modo que para la velocidad, tenemos la aceleración.
===En el movimiento {21}===
La aceleración del hueso respecto al suelo es constante

<center><math>\vec{a}^H_{21}=-g\vec{k}_1</math></center>

===En el movimiento {01}===
Para la aceleración {01} empleamos la expresión del campo de aceleraciones de un sólido

<center><math>\vec{a}^H_{01}=\vec{a}^O_{01} +\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OH}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OH})</math></center>

En este caso, la aceleración de un punto del eje es nula, por ser éste fijo. También se anula la aceleración angular, por rotar la plataforma con velocidad angular constante. Para el último término resulta:

<center><math>\vec{a}^H_{01}=\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OH})=-\Omega^2v_0t\vec{\imath}_1</math></center>

Vemos que resulta una aceleración radial hacia adentro, como corresponde a que en este movimiento haya una rotación alrededor del eje.

De nuevo, hay que señalar que este resultado lo hemos expresado usando los ejes ligados al suelo, que para el observador rotatorio son ejes móviles.

===En el movimiento {20}===
Por último, según el teorema de Coriolis tenemos:

<center><math>\vec{a}^H_{21}=\vec{a}^H_{20}+\vec{a}^H_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^H_{20}</math></center>

Nos queda por hallar el tercer sumando:

<center><math>2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^H_{20}=2\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ 0 & 0 & \Omega \\ v_0 & -\Omega v_0 t & -g t\end{matrix}\right| = 2\Omega^2 v_0 t\,\vec{\imath}_1+2\Omega v_0\,\vec{\jmath}_1</math></center>

Despejando la aceleración {20}:

<center><math>\vec{a}^H_{20}=\vec{a}^H_{21}-\vec{a}^H_{01}-2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^H_{20}=-\Omega^2v_0t\,\vec{\imath}_1-2\Omega v_0\,\vec{\jmath}_1-g\,\vec{k}_1</math></center>

De nuevo, si queremos expresar este resultado en la base ligada a la plataforma giratoria queda
<center><math>
\vec{a}^H_{20}=(-\Omega^2v_0t\cos(\Omega t)-2\Omega v_0\mathrm{sen}(\Omega t))\vec{\imath}_0+(\Omega^2v_0t\,\mathrm{sen}(\Omega t)-2\Omega v_0\cos(\Omega t))\vec{\jmath}_0-g\vec{k}_0</math></center>

==Rapidez de impacto==
La celeridad respecto a la plataforma con la que el hueso impacta en ella viene dada por el módulo de la velocidad {20}

<center><math>c = |\vec{v}^H_{20}|</math></center>

en el momento del impacto. Este se produce cuando <math>z_1=0</math>, lo que ocurre en el instante

<center><math>0 = h-\frac{1}{2}gt_i^2\qquad\Rightarrow\qquad t_i = \sqrt{\frac{2h}{g}}</math></center>

y la velocidad en ese momento es

<center><math>\vec{v}^H_{20}(t_i)=v_0\,\vec{\imath}_1-\Omega v_0 t_i \,\vec{\jmath}_1-g t_i\,\vec{k}_1=v_0\,\vec{\imath}_1-\Omega v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}} \,\vec{\jmath}_1-\sqrt{2gh}\,\vec{k}_1</math></center>

con módulo

<center><math>|\vec{v}^H_{20}| = \sqrt{v_0^2 + \frac{2h\Omega^2v_0^2}{g}+2gh} = \sqrt{2gh}\sqrt{1+ \frac{v_0^2(g+2\Omega^2h)}{2g^2h}}</math></center>

Nótese que para hallar el módulo no necesitamos expresar el vector en la base móvil.

Esta rapidez es mayor que la que tendría si impactara contra el suelo inmóvil. Para un observador en el suelo, esto se debe a que, aunque el hueso cae con la velocidad habitual, la plataforma “va a su encuentro”, aumentando la celeridad de impacto. Para el observador giratorio, se debe a que el hueso no cae haciendo una parábola, sino que también tiene un movimiento lateral que hay que incluir en la velocidad.

Triángulo en movimiento helicoidal

2024-01-28T12:13:32Z

Drake:

==Enunciado==
[[Archivo:triangulo-rotante.png|right]]

El triángulo de vértices A, B y C, constituye un sólido rígido en movimiento respecto del sistema de referencia fijo OXYZ. De dicho movimiento se conocen los siguientes datos:

* Los vértices A y B permanecen en todo instante sobre el eje OZ, desplazándose ambos con igual velocidad instantánea: <math>\vec{v}^A =
\vec{v}^B = v(t) \vec{k}</math>.
* El vértice C se mueve describiendo la hélice <math>\Gamma</math>, que en el sistema OXYZ está descrita por las ecuaciones paramétricas siguientes (donde <math>A</math> y <math>b</math> son constantes conocidas):
<center>
<math>\vec{r}(\theta)= A\cos\theta\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}+ \frac{b}{2\pi}\theta\vec{k}</math>
</center>
# Indique de forma razonada cuál es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento en el movimiento descrito. Determine el vector velocidad angular en términos de los datos expresados en el enunciado.
# Exprese, en función de los datos del enunciado, la componente normal de la aceleración del vértice C en un instante cualquiera.
# Para el caso en que <math>v(t) = v_0\,</math> (cte), y <math>\, b = \pi A</math>, calcule la aceleración del vértice C. Determine la ley horaria <math>s = s(t)\,</math> con que el punto C describe su trayectoria.

==EIRMD==
El eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento se caracteriza porque en cada uno de sus puntos

<center><math>\vec{v}^I \parallel \vec{\omega}</math></center>

Por otro lado, tenemos que, dados dos puntos cualesquiera del sólido

<center><math>\vec{v}^B = \vec{v}^A + \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}</math></center>

En este caso en concreto tenemos que las velocidades de A y B son iguales por lo que

<center><math>\vec{v}^A = \vec{v}^B \qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}</math></center>

Esto quiere decir que <math>\vec{\omega}</math> es paralelo a <math>\overrightarrow{AB}</math> y por tanto

<center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{k}</math></center>

Pero esta misma dirección es la de las velocidades de A y B

<center><math>\vec{v}^A = \vec{v}^B = v(t)\vec{k}\parallel \vec{\omega}=\omega \vec{k}</math></center>

Por tanto el EIRMD no es otro que el el eje que pasa por A y B: el eje Z.

La velocidad de deslizamiento, común a todos los puntos del sólido, será igual a la componente vertical de la velocidad de A o B

<center><math>v_d = v^A=v(t)\,</math></center>

Para determinar el vector velocidad angular del sólido, tendremos en cuenta que

<center><math>\vec{v}^C=\vec{v}^O + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OC}=v(t)\vec{k} + \omega\vec{k}\times\left(A\cos\theta\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}+ \frac{b}{2\pi}\theta\vec{k}\right)=-\omega A\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\imath}+\omega A\cos\theta\vec{\jmath}+v(t)\vec{k}</math></center>

pero también

<center><math>\vec{v}^C=\frac{\mathrm{d}\vec{r}^C}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}^C}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=
\left(-A\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\imath}+A\cos\theta\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)\dot{\theta}</math></center>

e igualando componentes en ambas expresiones, se llega a

<center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{k}=\dot{\theta}\vec{k}=\frac{2\pi v(t)}{b}\vec{k}</math></center>

==Aceleración normal==
La aceleración normal de C es igual a

<center><math>\vec{a}^C_n = \frac{(v^C)^2}{R_\kappa}\vec{N}</math></center>

siendo <math>R_{\kappa}</math> el radio de curvatura de la trayectoria.

La celeridad de una partícula en un movimiento helicoidal de un sólido es

<center><math>v^C = \sqrt{v_d^2 + \omega^2d^2}</math></center>

siendo <math>d</math> la distancia de la partícula al eje. Esta distancia es igual a <math>A</math> en este caso. Sustituyendo los valores de la velocidad de deslizamiento y la velocidad angular, obtenemos la rapidez

<center><math>v^C = \sqrt{v^2+ \left(\frac{2\pi v}{b}\right)^2A^2} = \frac{v}{b}\sqrt{(2\pi A)^2 + b^2}</math></center>

El radio de curvatura de una hélice no es igual a <math>A</math>, el radio del cilindro sobre el que se encuentra, sino que es igual a

<center><math>R_\kappa= A + \frac{b^2}{4\pi^2A}=\frac{(2\pi A)^2+b^2}{(2\pi)^2A}</math></center>

Reuniendo ambos resultados obtenemos el módulo de la aceleración normal de C

<center><math>a^C_n = \frac{((2\pi A)^2 + b^2)(2\pi)^2 Av^2}{b^2((2\pi A)^2 + b^2)}=\frac{(2\pi)^2 A v^2}{b^2}</math></center>

Si deseamos esta aceleración normal en forma vectorial, debemos multiplicar por el vector normal a la trayectoria que, para una hélice, es

<center><math>\vec{N}=-\cos\theta\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}</math></center>

por lo que la aceleración normal es

<center><math>\vec{a}^C_n = -\frac{(2\pi)^2v^2A}{b^2}\left(\cos\theta\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}\right)</math></center>

==Aceleración y ley horaria==
===Aceleración===
Si <math>v(t) = v_0</math> la celeridad del punto C es

<center><math>v^C = \frac{\sqrt{(2\pi A)^2+b^2}}{b}\, v_0=\mathrm{cte}</math></center>

y teniendo en cuenta que <math>b=\, \pi A</math>

<center><math>v^C = \sqrt{5}\, v_0=\mathrm{cte}</math></center>

Si la celeridad es constante, el movimiento de C es uniforme y su aceleración tangencial nula

<center><math>\vec{a}^C_t = \frac{\mathrm{d}v^C}{\mathrm{d}t}\vec{T}=\vec{0}</math></center>

y por tanto toda la aceleración es normal, siendo su valor el que ya conocemos

<center><math>\vec{a}^C = \vec{a}^C_n = -\frac{4\pi^2v_0^2A}{b^2}\left(\cos\theta\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}\right)</math></center>

y sustituyendo <math>b=\, \pi A</math>

<center><math>\vec{a}^C = \vec{a}^C_n = -\frac{4v_0^2}{A}\left(\cos\theta\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}\right)</math></center>

===Ley horaria===
La ley horaria es inmediata, puesto que la celeridad es constante

<center><math>\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=v^C = \sqrt{5}\,v_0</math>{{tose}}<math>s=s_0+ \sqrt{5}\,v_0 t</math></center>

También podemos dar como ley horaria la variación del parámetro <math>\theta</math> con el tiempo. Utilizando la relación entre <math>\dot{\theta}</math> y <math>v(t)</math> que se obtuvo al determinar la velocidad angular, se tiene

<center><math>\dot{\theta}=\frac{2\pi v_0}{b}=\frac{2v_0}{A}\qquad\Rightarrow\qquad \theta=\theta_0+2\frac{v_0 t}{A}</math></center>

cumpliéndose la relación

<center><math>s = \frac{\sqrt{5}\, A}{2}\,\theta</math></center>

[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]

Triángulo en movimiento helicoidal

2024-01-28T12:12:15Z

Drake: /* Aceleración normal */

No Boletín - Identificación de movimiento a partir de tres velocidades (Ex.Dic/12)

2024-01-28T12:07:02Z

Drake: Página creada con «==Enunciado== Las posiciones y velocidades instantáneas de tres puntos de un sólido rígido respecto a un sistema de referencia cartesiano <math>OXYZ\,</math> vienen dadas por: {| class="bordeado" |- ! Punto ! <math>\vec{r}</math> (m) ! <math>\vec{v}</math> (m/s) |- ! A | <math>-\vec{\imath}+\vec{k}</math> | <math>-2\,\vec{\jmath}</math> |- ! B | <math>2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k}</math> | <math>-\vec{\imath}+\vec{k}</math> |- ! C | <math>-2\,\vec{\jmath…»

==Enunciado==
Las posiciones y velocidades instantáneas de tres puntos de un sólido rígido respecto a un sistema de referencia cartesiano <math>OXYZ\,</math> vienen dadas por:

{| class="bordeado"
|-
! Punto
! <math>\vec{r}</math> (m)
! <math>\vec{v}</math> (m/s)
|-
! A
| <math>-\vec{\imath}+\vec{k}</math>
| <math>-2\,\vec{\jmath}</math>
|-
! B
| <math>2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k}</math>
| <math>-\vec{\imath}+\vec{k}</math>
|-
! C
| <math>-2\,\vec{\jmath}+\vec{k}</math>
| <math>2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}-2\,\vec{k}</math>
|}

¿Qué tipo de movimiento instantáneo es?

==Solución==
Deducimos, en primer lugar, el vector velocidad angular <math>\,\vec{\omega}=\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,\,</math> del sólido, componente a componente, exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades en la relación entre las velocidades conocidas.

Por ejemplo, la relación entre <math>\vec{v}_B\,</math> y <math>\vec{v}_A\,</math> debe satisfacer la ecuación:
<center><math>
\vec{v}_B=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,-\vec{\imath}+\vec{k}=-2\,\vec{\jmath}+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right|
</math></center>
E igualando componentes homólogas:
<center><math>
\left.\begin{array}{rcl} -1 & = & 0+\omega_y-\omega_z \\ 0 & = & -2+3\,\omega_z-\omega_x \\ 1 & = & 0+\omega_x-3\,\omega_y \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \omega_y=\omega_z-1\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_x=3\,\omega_z-2
</math></center>
Y relacionando de forma análoga <math>\vec{v}_C\,</math> y <math>\vec{v}_A\,</math>, podemos culminar la deducción de <math>\vec{\omega}\,</math>:
<center><math>
\vec{v}_C=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}-2\,\vec{k}=-2\,\vec{\jmath}+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 3\,\omega_z-2 & \omega_z-1 & \omega_z \\ 1 & -2 & 0 \end{array}\right|
</math></center>
E igualando componentes homólogas:
<center><math>
\left.\begin{array}{rcl} 2 & = & 0+2\,\omega_z \\ -1 & = & -2+\omega_z \\ -2 & = & 0-7\,\omega_z+5 \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \omega_z=1\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_y=0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_x=1
</math></center>
Por tanto, el vector velocidad angular es:
<center><math>
\vec{\omega}=(\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s}
</math></center>
A continuación, calculamos la velocidad de deslizamiento <math>v_d\,</math>, que es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular:
<center><math>
v_d=\frac{\vec{v}_A\cdot\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}=\frac{-2\,\vec{\jmath}\cdot(\vec{\imath}+\vec{k}\,)}{|\vec{\imath}+\vec{k}\,|}=0\,\,\mathrm{m/s}
</math></center>
Conocidos los invariantes primero (<math>\vec{\omega}\,</math>) y segundo (<math>v_d\,</math>), procedemos a clasificar el movimiento instantáneo del sólido rígido:
<center><math>
\left.\begin{array}{l} \vec{\omega}\neq\vec{0} \\ v_d=0 \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{ROTACION}
</math></center>

No Boletín - Cálculo de primer y segundo invariante (Ex.Ene/12)

2024-01-28T12:01:51Z

Drake: Página creada con «==Enunciado== Las posiciones y velocidades instantáneas de tres puntos de un sólido rígido vienen dadas por: {| class="bordeado" |- ! Punto ! <math>\vec{r}</math> (m) ! <math>\vec{v}</math> (m/s) |- ! A | <math>\vec{\imath}</math> | <math>3\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}+\vec{k}</math> |- ! B | <math>\vec{\jmath}+\vec{k}</math> | <math>2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k}</math> |- ! C | <math>2\,\vec{k}</math> | <math>3\,\vec{\imath}+\vec{k}</math> |} # Calcul…»

==Enunciado==
Las posiciones y velocidades instantáneas de tres puntos de un sólido rígido vienen dadas por:

{| class="bordeado"
|-
! Punto
! <math>\vec{r}</math> (m)
! <math>\vec{v}</math> (m/s)
|-
! A
| <math>\vec{\imath}</math>
| <math>3\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}+\vec{k}</math>
|-
! B
| <math>\vec{\jmath}+\vec{k}</math>
| <math>2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k}</math>
|-
! C
| <math>2\,\vec{k}</math>
| <math>3\,\vec{\imath}+\vec{k}</math>
|}

# Calcule la velocidad angular del sólido rígido (primer invariante).
# Calcule la velocidad de deslizamiento del sólido rígido (segundo invariante).

==Cálculo de la velocidad angular==
Podemos deducir el vector velocidad angular <math>\,\vec{\omega}=\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,\,</math> del sólido, componente a componente, exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades en la relación entre las velocidades conocidas.

Por ejemplo, la relación entre <math>\vec{v}_B\,</math> y <math>\vec{v}_A\,</math> debe satisfacer la ecuación:
<center><math>
\vec{v}_B=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)=(3\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right|
</math></center>
E igualando componentes homólogas:
<center><math>
\left.\begin{array}{rcl} 2 & = & 3+\omega_y-\omega_z \\ 1 & = & 3-\omega_z-\omega_x \\ 2 & = & 1+\omega_x+\omega_y \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \omega_y=\omega_z-1\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_x=2-\omega_z
</math></center>
Y relacionando de forma análoga <math>\vec{v}_C\,</math> y <math>\vec{v}_A\,</math>, podemos culminar la deducción de <math>\vec{\omega}\,</math>:
<center><math>
\vec{v}_C=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,(3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)=(3\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2-\omega_z & \omega_z-1 & \omega_z \\ -1 & 0 & 2 \end{array}\right|
</math></center>
E igualando componentes homólogas:
<center><math>
\left.\begin{array}{rcl} 3 & = & 3+2\omega_z-2 \\ 0 & = & 3-\omega_z-4+2\omega_z \\ 1 & = & 1+\omega_z-1 \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \omega_z=1\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_y=0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_x=1
</math></center>
Por tanto, el vector velocidad angular (primer invariante) es:
<center><math>
\vec{\omega}=(\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s}
</math></center>

==Cálculo de la velocidad de deslizamiento==
Y la velocidad de deslizamiento <math>v_d\,</math> (segundo invariante) es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular:
<center><math>
v_d=\frac{\vec{v}_C\cdot\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}=\frac{(3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\cdot(\vec{\imath}+\vec{k}\,)}{|\vec{\imath}+\vec{k}\,|}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,\,\mathrm{m/s}
</math></center>

Caída a lo largo de una hélice

2024-01-23T12:53:49Z

Drake: /* Fuerza */

==Enunciado==
Una pequeña anilla de masa <math>m</math> esta obligada a moverse sin rozamiento a lo largo de una hélice de radio <math>A</math> cuyas vueltas están inclinadas un ángulo <math>\alpha</math>. El eje de la hélice está situado verticalmente. La anilla se encuentra sometida a la acción de la gravedad y parte del reposo desde una altura <math>z=h</math>. Cuando se encuentra en <math>z=0</math>, ¿con qué velocidad se mueve? ¿Qué fuerza ejerce la anilla sobre la hélice?

==Velocidad==
En su movimiento a lo largo de la hélice, la partícula se encuentra sometida a dos fuerzas, la de la gravedad y la fuerza de reacción vincular debida la hélice y que la obliga a moverse a lo largo de ella.

Esta fuerza de reacción vincular es puramente normal a la trayectoria, al no haber rozamiento, y por tanto no realiza trabajo alguno sobre la partícula. Por ello, a la hora de expresar la conservación de la energía mecánica, podemos limitarnos a considerar la acción del peso y escribir

<center><math>\frac{1}{2}mv^2+mgz = E = \mathrm{cte}</math></center>

En el instante inicial la energía cinética es nula y la energía potencial (tomando como origen el punto más bajo) vale <math>mgh</math>. En el instante final la energía potencial es nula. Por tanto

<center><math>0 + mgh = \frac{1}{2}mv^2 + 0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>v = \sqrt{2gh}</math></center>

Esta es la ''rapidez'' con la que se mueve la partícula, pero no su ''velocidad'', que es un vector. La velocidad lleva la dirección del vector tangente

Por comodidad podemos tomar los ejes OX y OY de forma que el origen de coordenadas esté en el eje de la hélice y el punto final se encuentre en el eje OX, en la posición <math>\overrightarrow{OP}=A\vec{\imath}</math>.

El vector tangente tiene la misma inclinación que la hélice y por tanto en el punto <math>P</math> es

[[Archivo:Helice-desarrollada.png|right]]

<center><math>\vec{T}=\cos(\alpha)\vec{\jmath}+\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}</math></center>

Teniendo en cuenta que componente vertical de la velocidad es hacia abajo, el sentido de la velocidad es opuesto al de este vector tangente, con lo que queda finalmente

<center><math>\vec{v}=-\sqrt{2gh}\left(\cos(\alpha)\vec{\jmath}+\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}\right)</math></center>

==Fuerza==
La partícula se encuentra sometida a las dos fuerzas indicadas, con lo que la segunda ley de Newton se escribe

<center><math>m\vec{a} = m\vec{g}+\vec{\Phi}</math></center>

Si separamos en la parte tangencial y la parte normal de la aceleración quedan las ecuaciones

<center><math>\begin{array}{rcl}
m\vec{a}_t & = & m\vec{g}_\parallel\\
m\vec{a}_n & = & m\vec{g}_\perp+\vec{\Phi}
\end{array}</math></center>

donde <math>\vec{g}_\parallel</math> y <math>\vec{g}_\perp</math> representan la parte de la aceleración de la gravedad que es paralela a la velocidad y la que es perpendicular a ella (que puede tener componente tanto en la dirección del vector normal como del binormal).

En la componente tangencial no aparece la fuerza de reacción vincular, por ser ésta puramente perpendicular a la trayectoria. Esto nos permite despejar esta fuerza como

<center><math>\vec{\Phi} = m\vec{a}_n -m\vec{g}_\perp</math></center>

El primero de los dos términos es de la aceleración normal

<center><math>m\vec{a}_n = m\frac{v^2}{R}\vec{N}</math></center>

Aquí <math>R</math> es el radio de curvatura de la hélice

<center><math>R = A + \frac{b^2}{4\pi^2A} = \frac{A}{\cos^2(\alpha)}</math></center>

El vector normal a una trayectoria apunta en la dirección en que varía <math>\vec{T}</math>. Al avanzar a lo largo de la hélice, la componente vertical de este vector permanece constante y solo cambian sus componentes horizontales. Por tanto el vector normal <math>\vec{N}</math> es uno horizontal, ortogonal a <math>\vec{T}</math> y dirigido hacia el interior de la hélice. Este vector es

<center><math>\vec{N}=-\vec{\imath}</math></center>

por lo que el término de masa por aceleración normal vale

<center><math>m\vec{a}_n = -m\frac{2gh}{A}\cos^2(\alpha)\vec{\imath}</math></center>

[[Archivo:gravedad-helice.png|right]]

Para hallar la componente del peso en la dirección perpendicular, le restamos su parte paralela

<center><math>m\vec{g}_\perp = m\vec{g}-m\vec{g}_\parallel</math></center>

siendo

<center><math>m\vec{g}_\parallel = (m\vec{g}\cdot\vec{T})\vec{T} = -mg\,\mathrm{sen}(\alpha)(\cos(\alpha)\vec{\jmath}+\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k})</math></center>

Esto nos da

<center><math>m\vec{g}_\perp = -mg\vec{k} + mg\,\mathrm{sen}(\alpha)\cos(\alpha)\vec{\jmath} + mg\,\mathrm{sen}^2(\alpha)\vec{k}=
mg\cos(\alpha)\left(\mathrm{sen}(\alpha)\vec{\jmath}-\cos(\alpha)\vec{k}\right)</math></center>

Es fácil llegar a este resultado gráficamente hallando la proyección de <math>\vec{g}</math> ortogonal a <math>\vec{T}</math>.

Sumando los dos resultados obtenemos la fuerza de reacción vincular

<center><math>\vec{\Phi} = -\frac{2mgh}{A}\cos^2(\alpha)\vec{\imath}-mg\cos(\alpha)\mathrm{sen}(\alpha)\vec{\jmath}+mg\cos^2(\alpha)\vec{k}</math></center>

Esta es la fuerza que la hélice ejerce sobre la partícula. La fuerza que ésta ejerce sobre la hélice será igual y de sentido contrario

<center><math>\vec{F}=-\vec{\Phi}=\frac{2mgh}{A}\cos^2(\alpha)\vec{\imath}+mg\cos(\alpha)\mathrm{sen}(\alpha)\vec{\jmath}-mg\cos^2(\alpha)\vec{k}</math></center>

Archivo:Gravedad-helice.png

2024-01-23T12:53:11Z

Drake:

Caída a lo largo de una hélice

2024-01-23T12:51:32Z

Drake: Página creada con «==Enunciado== Una pequeña anilla de masa <math>m</math> esta obligada a moverse sin rozamiento a lo largo de una hélice de radio <math>A</math> cuyas vueltas están inclinadas un ángulo <math>\alpha</math>. El eje de la hélice está situado verticalmente. La anilla se encuentra sometida a la acción de la gravedad y parte del reposo desde una altura <math>z=h</math>. Cuando se encuentra en <math>z=0</math>, ¿con qué velocidad se mueve? ¿Qué fuerza ejerce la an…»

==Enunciado==
Una pequeña anilla de masa <math>m</math> esta obligada a moverse sin rozamiento a lo largo de una hélice de radio <math>A</math> cuyas vueltas están inclinadas un ángulo <math>\alpha</math>. El eje de la hélice está situado verticalmente. La anilla se encuentra sometida a la acción de la gravedad y parte del reposo desde una altura <math>z=h</math>. Cuando se encuentra en <math>z=0</math>, ¿con qué velocidad se mueve? ¿Qué fuerza ejerce la anilla sobre la hélice?

==Velocidad==
En su movimiento a lo largo de la hélice, la partícula se encuentra sometida a dos fuerzas, la de la gravedad y la fuerza de reacción vincular debida la hélice y que la obliga a moverse a lo largo de ella.

Esta fuerza de reacción vincular es puramente normal a la trayectoria, al no haber rozamiento, y por tanto no realiza trabajo alguno sobre la partícula. Por ello, a la hora de expresar la conservación de la energía mecánica, podemos limitarnos a considerar la acción del peso y escribir

<center><math>\frac{1}{2}mv^2+mgz = E = \mathrm{cte}</math></center>

En el instante inicial la energía cinética es nula y la energía potencial (tomando como origen el punto más bajo) vale <math>mgh</math>. En el instante final la energía potencial es nula. Por tanto

<center><math>0 + mgh = \frac{1}{2}mv^2 + 0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>v = \sqrt{2gh}</math></center>

Esta es la ''rapidez'' con la que se mueve la partícula, pero no su ''velocidad'', que es un vector. La velocidad lleva la dirección del vector tangente

Por comodidad podemos tomar los ejes OX y OY de forma que el origen de coordenadas esté en el eje de la hélice y el punto final se encuentre en el eje OX, en la posición <math>\overrightarrow{OP}=A\vec{\imath}</math>.

El vector tangente tiene la misma inclinación que la hélice y por tanto en el punto <math>P</math> es

[[Archivo:Helice-desarrollada.png|right]]

<center><math>\vec{T}=\cos(\alpha)\vec{\jmath}+\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}</math></center>

Teniendo en cuenta que componente vertical de la velocidad es hacia abajo, el sentido de la velocidad es opuesto al de este vector tangente, con lo que queda finalmente

<center><math>\vec{v}=-\sqrt{2gh}\left(\cos(\alpha)\vec{\jmath}+\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}\right)</math></center>

==Fuerza==
La partícula se encuentra sometida a las dos fuerzas indicadas, con lo que la segunda ley de Newton se escribe

<center><math>m\vec{a} = m\vec{g}+\vec{\Phi}</math></center>

Si separamos en la parte tangencial y la parte normal de la aceleración quedan las ecuaciones

<center><math>\begin{array}{rcl}
m\vec{a}_t & = & m\vec{g}_\parallel\\
m\vec{a}_n & = & m\vec{g}_\perp+\vec{\Phi}
\end{array}</math></center>

donde <math>\vec{g}_\parallel</math> y <math>\vec{g}_\perp</math> representan la parte de la aceleración de la gravedad que es paralela a la velocidad y la que es perpendicular a ella (que puede tener componente tanto en la dirección del vector normal como del binormal).

En la componente tangencial no aparece la fuerza de reacción vincular, por ser ésta puramente perpendicular a la trayectoria. Esto nos permite despejar esta fuerza como

<center><math>\vec{\Phi} = m\vec{a}_n -m\vec{g}_\perp</math></center>

El primero de los dos términos es de la aceleración normal

<center><math>m\vec{a}_n = m\frac{v^2}{R}\vec{N}</math></center>

Aquí <math>R</math> es el [[Ejemplo_de_movimiento_helicoidal#Triedro_de_Frenet|radio de curvatura de la hélice]]

<center><math>R = A + \frac{b^2}{4\pi^2A} = \frac{A}{\cos^2(\alpha)}</math></center>

El vector normal a una trayectoria apunta en la dirección en que varía <math>\vec{T}</math>. Al avanzar a lo largo de la hélice, la componente vertical de este vector permanece constante y solo cambian sus componentes horizontales. Por tanto el vector normal <math>\vec{N}</math> es uno horizontal, ortogonal a <math>\vec{T}</math> y dirigido hacia el interior de la hélice. Este vector es

<center><math>\vec{N}=-\vec{\imath}</math></center>

por lo que el término de masa por aceleración normal vale

<center><math>m\vec{a}_n = -m\frac{2gh}{A}\cos^2(\alpha)\vec{\imath}</math></center>

[[Archivo:gravedad-helice.png|right]]

Para hallar la componente del peso en la dirección perpendicular, le restamos su parte paralela

<center><math>m\vec{g}_\perp = m\vec{g}-m\vec{g}_\parallel</math></center>

siendo

<center><math>m\vec{g}_\parallel = (m\vec{g}\cdot\vec{T})\vec{T} = -mg\,\mathrm{sen}(\alpha)(\cos(\alpha)\vec{\jmath}+\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k})</math></center>

Esto nos da

<center><math>m\vec{g}_\perp = -mg\vec{k} + mg\,\mathrm{sen}(\alpha)\cos(\alpha)\vec{\jmath} + mg\,\mathrm{sen}^2(\alpha)\vec{k}=
mg\cos(\alpha)\left(\mathrm{sen}(\alpha)\vec{\jmath}-\cos(\alpha)\vec{k}\right)</math></center>

Es fácil llegar a este resultado gráficamente hallando la proyección de <math>\vec{g}</math> ortogonal a <math>\vec{T}</math>.

Sumando los dos resultados obtenemos la fuerza de reacción vincular

<center><math>\vec{\Phi} = -\frac{2mgh}{A}\cos^2(\alpha)\vec{\imath}-mg\cos(\alpha)\mathrm{sen}(\alpha)\vec{\jmath}+mg\cos^2(\alpha)\vec{k}</math></center>

Esta es la fuerza que la hélice ejerce sobre la partícula. La fuerza que ésta ejerce sobre la hélice será igual y de sentido contrario

<center><math>\vec{F}=-\vec{\Phi}=\frac{2mgh}{A}\cos^2(\alpha)\vec{\imath}+mg\cos(\alpha)\mathrm{sen}(\alpha)\vec{\jmath}-mg\cos^2(\alpha)\vec{k}</math></center>

Caída libre de un cuerpo

2024-01-23T12:48:36Z

Drake: /* Velocidad límite */

==Enunciado==
Se trata de analizar el efecto de la fricción en la caída de un cuerpo pequeño, como puede ser una gota de lluvia.
<ol>
<li> Inicialmente consideramos despreciable el rozamiento. Si tenemos una gota de agua de radio 0.50 mm que cae verticalmente, partiendo del reposo desde una altura ''h'' = 2 km, ¿cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? ¿Con qué velocidad impacta? Suponga g = 9.81 m/s².</li>
<li> Para este mismo caso ideal, determine la energía cinética, potencial y mecánica en el punto inicial y el punto final del movimiento, así como para una altura <math>z</math> arbitraria.</li>
<li> Un cuerpo pequeño inmerso en un fluido experimenta una fuerza de fricción viscosa de la forma

<center><math>\vec{F}_r=-\gamma\vec{v}</math></center>

siendo <math>\gamma</math> una constante de fricción que para una esfera en aire es de valor <math>\gamma(\mathrm{kg}/\mathrm{s}) = 3.4\times 10^{-4}\,R(\mathrm{m})</math> con <math>R</math> el radio de la partícula. Si se incluye esta fuerza, ¿qué ecuación diferencial resulta para la velocidad vertical? </li>
<li>Razone que, partiendo de la ecuación anterior, se llega a que la velocidad tiende a un valor límite.</li>
<li>Si prácticamente toda la caída de la gota se produce a la velocidad límite, ¿con qué velocidad llega al suelo? ¿Cuánto tarda en caer? ¿Cuánta energía mecánica se pierde por el camino?</li>
<li>Determine la expresión exacta de la velocidad y la altura como función del tiempo</li>
</ol>

==Tiempo y velocidad sin rozamiento==
Supondremos en primer lugar que no existe fricción con el aire. En ese caso, la única fuerza actuando sobre la partícula es el peso, de forma que la ecuación de movimiento

<center><math>m\vec{a}=m\vec{g}=-mg\vec{k}</math></center>

En principio, la masa inercial no tiene por qué coincidir con la que aparece en el peso. Sin embargo, Galileo mostró que eran iguales y que todos los cuerpos caen la misma aceleración

<center><math>\vec{a}=\vec{g}=-g\vec{k}</math></center>

Las condiciones iniciales para este problema son

<center><math>\vec{r}_0 = h\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}_0=\vec{0}</math></center>

La integración de esta sistema es inmediata. Integrando una vez

<center><math>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{g}t = -gt\vec{k}</math></center>

y una segunda vez

<center><math>\vec{r}(t) = \left(h-\frac{1}{2}gt^2\right)\vec{k}</math></center>

La partícula describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, aumentando la celeridad linealmente con el tiempo. La partícula impacta contra el suelo cuando <math>z=0</math> lo cual ocurre para

<center><math>t_{z=0}= \sqrt{\frac{2h}{g}}</math></center>

y la velocidad en ese momento

<center><math>\vec{v}_{z=0}=-\sqrt{2gh}\vec{k}</math></center>

La componente vertical de la velocidad es negativa pues va dirigida hacia abajo. La celeridad en el momento de impacto es

<center><math>\left|\vec{v}\right| = \sqrt{2gh}</math></center>

Para una altura de inicial de 2 km, se obtiene aproximadamente un tiempo de caída de 20 s y una celeridad de impacto de 200 m/s. Es evidente que no es esta la celeridad con la que una gota de lluvia (o un paracaidista) llega al suelo. Un cálculo correcto debe tener en cuenta la fricción con el aire.

==Energía sin rozamiento==
La energía cinética es igual a

<center><math>K = \frac{1}{2}mv^2</math></center>

En el instante inicial, la partícula se encuentra en reposo y

<center><math>K = 0\,\mathrm{J}\qquad (z=h)</math></center>

En el momento del impacto

<center><math>K = \frac{1}{2}m(2gh) = mgh</math></center>

Para hallar el valor numérico necesitamos la masa de la partícula. Para una esfera de agua de radio 0.50 mm su masa es

<center><math>m = \rho V =1000\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\times\frac{4\pi}{3}(0.50\,\mathrm{mm})^3\left(\frac{1\,\mathrm{m}}{1000\,\mathrm{mm}}\right)^3 = 5.2\times10^{-7}\,\mathrm{kg}</math></center>

lo que nos da una energía cinética final

<center><math>K = 10\,\mathrm{mJ}\qquad(z=0)</math></center>

La energía potencial la obtenemos integrando la fuerza desde el origen de potencial hasta una cierta posición. La fuerza que actúa sobre la partícula es su peso

<center><math>\vec{F}=-mg\vec{k}</math></center>

Si tomamos como origen de energías el suelo (<math>z=0</math>) la energía potencial a una cierta altura es

<center><math>U(z)=-\int_0^z F\,\mathrm{d}z = mgz</math></center>

En el instante inicial <math>z=h</math> y

<center><math>U = mgh = 10\,\mathrm{mJ}\qquad (z=h)</math></center>

En el instante final, su altura es nula y

<center><math>U = 0\,\mathrm{J}\qquad (z=0)</math></center>

La energía mecánica es suma de las dos anteriores. Esta suma posee un valor constante

<center><math>E = K + U = 10\,\mathrm{mJ}</math></center>

Para una altura intermedia las expresiones de las diferentes energías son

<center><math>K = \frac{1}{2}mv^2 = mg(h-z)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>U=mgz\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>E=K+U = mgh\,</math></center>

==Ecuación diferencial==
Una partícula pequeña que se mueve en un fluido viscoso, como el aire, experimenta una fuerza de rozamiento que, para pequeñas celeridades, es proporcional a la velocidad y opuesta a ella

<center><math>\vec{F}_r=-\gamma\vec{v}</math></center>

de forma que el movimiento de una gota de lluvia verifica la ecuación de movimiento

<center><math>m\vec{a}=m\vec{g}-\gamma\vec{v}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{r}_0=h\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}_0=\vec{0}</math></center>

Puesto que el movimiento es puramente vertical, podemos reducir el problema al estudio de la componente Z y escribir todos los vectores como

<center><math>\vec{v}=v_z\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{g}=-g\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}=a_z\vec{k}=\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t}\vec{k}</math></center>

Tenemos entonces la ecuación de movimiento

<center><math>m\frac{\mathrm{d}v_{z}}{\mathrm{d}t}\vec{k}=-mg\vec{k}-\gamma v_{z}\vec{k}</math></center>

Puesto que dos vectores son iguales cuando lo son sus componentes, podemos igualar la componente Z y reducir el problema a la ecuación escalar

<center><math>m\frac{\mathrm{d}v_{z}}{\mathrm{d}t}=-mg-\gamma v_{z}</math></center>

Nótese que en esta ecuación no se ha hecho ninguna hipótesis sobre el sentido de la velocidad, sólo sobre su dirección. La componente <math>v_z</math> puede ser un número negativo (de hecho lo será, pues la partícula está cayendo), en cuyo caso la fuerza de rozamiento irá hacia arriba. El que aparezca un signo menos delante de la fuerza de rozamiento no implica que el sentido sea hacia abajo.

==Velocidad límite==
Antes de dar la solución, veamos cómo es el movimiento. Inicialmente la velocidad es nula, por lo que no hay fricción. El movimiento comienza siendo prácticamente uniformemente acelerado. Sin embargo, a medida que la celeridad va aumentando, la fricción crece y la aceleración disminuye. Llega un momento en que la fuerza de rozamiento iguala al peso, y la velocidad deja de aumentar en módulo, permaneciendo en su valor límite, dado por

<center><math>0 = -mg -\gamma v_{z}\,</math>{{tose}}<math>v_{z,\mathrm{lim}} = -\frac{mg}{\gamma}</math></center>

es negativa, pues se dirige hacia abajo.

Su valor numérico lo obtenemos hallando en primer lugar el valor de \gamma para esta gota de lluvia. Sustituyendo R = 0.50 mm
<center><math>
\gamma = \left(3.4\times 10^{-4} \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}}\right)\times(0.50\,\mathrm{mm})\times\frac{1\,\mathrm{m}}{1000\,\mathrm{mm}}=1.7\times 10^{-7}\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}}</math></center>

lo que nos da la celeridad límite

<center><math>v_\mathrm{lim} = \frac{mg}{\gamma}= 30\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

Esta velocidad ya es considerablemente inferior a la que habíamos obtenido suponiendo despreciable el rozamiento. Aun así, es considerablemente mayor que el valor experimental que se tiene para las gotas de lluvia, que puede rondar los 10 m/s. La diferencia se debe a que el rozamiento es realmente más intenso y requiere fórmulas más complicadas.

==Caída a la velocidad límite==
Si la altura de caída es muy grande, puede suponerse que la velocidad es prácticamente la límite para todo el trayecto, con lo que la celeridad de impacto es la celeridad límite

<center><math>v_\mathrm{lim} = \frac{mg}{\gamma}\sim 30\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

y el tiempo de caída es aproximadamente

<center><math>t_{z=0}\sim \frac{h}{v_\mathrm{lim}} = \frac{\gamma h}{mg}</math></center>

Este resultado sí está de acuerdo con la experiencia cotidiana de que los objetos más pesados tardan menos en caer e impactan con una mayor celeridad. Para una gota de agua de 0.50 mm de radio predice un tiempo de caída de 67 s y una celeridad de impacto de 30 m/s, valor mucho más razonable que el que omite el rozamiento. La energía mecánica de la gota al llegar al suelo es exclusivamente la energía cinética asociada a la celeridad límite, la cual evaluada para los datos numéricos del enunciado resulta ser de 0.2 mJ, que comparados con los 10 mJ de energía mecánica inicial revelan el hecho de que la práctica totalidad de la energía mecánica (en concreto, 9.8 mJ) se ha visto disipada durante la caída por causa de la fuerza de fricción viscosa.

==Velocidad y posición con rozamiento==
La solución exacta la obtenemos hallando el incremento de velocidad entre dos instantes sucesivos

<center><math>m\,\mathrm{d}v_{z} = -\left(mg+\gamma v_{z}\right)\mathrm{d}t</math></center>

Despejando obtenemos el tiempo que tarda en producirse un aumento de velocidad diferencial como

<center><math>\mathrm{d}t = -\frac{m\,\mathrm{d}v_{z}}{mg+\gamma v_{z}}</math></center>

Sumando todos los incrementos

<center><math>t = \int_0^t\mathrm{d}t = -\int_0^{v_{z}} \frac{m\,\mathrm{d}v_{z}}{mg+\gamma v_{z}} = -\frac{m}{\gamma}\ln\left(\frac{mg+\gamma v_{z}}{mg}\right)</math></center>

Despejando la velocidad como función del tiempo

<center><math>v_{z}(t) = -\frac{mg}{\gamma}\left(1-\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\right)</math></center>

El comportamiento de esta función predice que efectivamente la velocidad tiende hacia la velocidad límite. Integrando de nuevo obtenemos la altura como función del tiempo

<center><math>z(t) = h-\frac{mg}{\gamma}t+\frac{m^2g}{\gamma^2}\left(1-\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\right)</math></center>

Sin embargo, para hallar el instante exacto en que llega al suelo (<math>t_{z=0}</math>) es preciso resolver una ecuación que solo admite solución numérica.

Archivo:Orbitas-B.gif

2024-01-23T12:47:36Z

Drake:

Partícula sometida a fuerza magnética

2024-01-23T12:46:47Z

Drake: /* Caso P1 = 0 */

==Enunciado==
Sea una partícula con carga <math>q</math> y masa <math>m</math> sometida exclusivamente a un campo magnético uniforme y constante, de forma que experimenta la fuerza

<center><math>\vec{F}_m = q\vec{v}\times\vec{B}_0</math></center>

Supongamos que la partícula posee una velocidad inicial <math>\vec{v}_0</math>

# Demuestre que la energía cinética de la partícula es una integral primera.
# Demuestre que el producto <math>P_1 = \vec{v}\cdot\vec{B}_0</math> es también una constante de movimiento.
# De acuerdo con lo anterior, ¿es <math>P_2 = |\vec{v}\times\vec{B}_0|</math> una integral primera?
# Suponga que <math>P_1 \neq 0</math> y <math>P_2 = 0</math>, ¿qué representa en términos de la velocidad inicial? ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula en este caso?
# Suponga ahora <math>P_1 = 0</math> y <math>P_2\neq 0</math>,
## ¿A qué tipo de velocidad inicial corresponde?
## Demuestre que en este caso la trayectoria es plana.
## Calcule el radio de curvatura de la trayectoria. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

==Energía cinética==
La energía cinética de la carga es

<center><math>K = \frac{1}{2}mv^2</math></center>

Para ver que es una integral primera, derivamos respecto al tiempo

<center><math>\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=m\vec{v}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=
\vec{v}\cdot(m\vec{a})</math></center>

Sustituyendo aquí la fuerza magnética

<center><math>\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=q\vec{v}\cdot(\vec{v}\times\vec{B}_0)=0</math></center>

Puesto que la fuerza es puramente normal en todo momento, la potencia desarrollada por ella es nula y la energía cinética permanece constante. Ello implica que el movimiento de una carga en un campo magnético es siempre uniforme.

==Componente paralela==
La cantidad

<center><math>P_1 = \vec{v}\cdot\vec{B}_0</math></center>

es proporcional a la componente de la velocidad paralela al campo magnético

<center><math>\mathrm{proy}_{\parallel\vec{B}_0}(\vec{v}) = \frac{P_1}{B_0}</math></center>

De nuevo, para ver que es una integral primera, derivamos respecto al tiempo

<center><math>\frac{\mathrm{d}P_1}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\cdot\vec{B}_0=
\frac{q}{m}(\vec{v}\times\vec{B}_0)\cdot\vec{B}_0 = 0</math></center>

Puesto que la derivada es nula, <math>P_1</math> es una integral primera. Geométricamente, esto quiere decir que la proyección de la velocidad en la dirección del campo magnético se mantiene constante en todo momento.

==Componente ortogonal==
La cantidad <math>P_2</math>

<center><math>P_2 = \left|\vec{v}\times\vec{B}_0\right|</math></center>

es proporcional a la proyección ortogonal de la velocidad sobre el campo magnético

<center><math>\mathrm{proy}_{\perp\vec{B}_0}(\vec{v}) = \frac{P_2}{B_0}</math></center>

La constancia de <math>P_2</math> se deduce de la de <math>P_1</math> y de la energía cinética <math>K</math>. Tenemos que, por un lado

<center><math>v^2 B_0^2 = v^2B_0^2\cos^2(\alpha) + v_0^2B_0\mathrm{sen}^2(\alpha) = P_1^2 + P_2^2</math></center>

y por otro lado

<center><math>v^2B_0^2 = \frac{2B_0^2}{m}K</math></center>

y por tanto

<center><math>P_2 = \sqrt{\frac{2B_0^2}{m}K-P_1^2}</math></center>

Si <math>K</math> y <math>P_1</math> son integrales primeras, <math>P_2</math> también lo es. Geométricamente, tenemos que la velocidad tiene un componente paralela y una ortogonal. Puesto que el módulo de la velocidad es constante y la proyección paralela tampoco varía en el tiempo, resulta que la magnitud de la componente normal permanece invariable, aunque su dirección pueda ir cambiando.

==Caso P2 = 0 ==
El caso <math>P_2=0</math> corresponde a que la velocidad inicial no tiene componente ortogonal a <math>\vec{B}_0</math>, esto es, se trata de una velocidad inicial paralela al campo magnético.

La constancia de <math>P_2</math> implica que la velocidad siempre es paralela al campo magnético. Puesto que la rapidez también permanece constante, se deduce que la velocidad permanece constante en módulo dirección y sentido

<center><math>\vec{v}=\vec{v}_0 = \mathrm{cte}</math></center>

y el movimiento resultante es rectilíneo y uniforme en la dirección del campo magnético.

==Caso P1 = 0 ==
En este caso no hay componente de la velocidad paralela al campo magnético. Esto corresponde a una velocidad inicial perpendicular al campo magnético.

La constancia de <math>P_1</math> implica que la velocidad es siempre perpendicular a <math>\vec{B}_0</math>. La aceleración también lo es. Por tanto, el producto vectorial de <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math> tiene siempre la dirección paralela al campo magnético, el vector binormal es constante y la trayectoria es plana.

Por otro lado, puesto que la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, la aceleración es normal en todo momento y

<center><math>a_n = \frac{|q||\vec{v}\times\vec{B}|}{m} = \frac{|q|P_2}{m} = \frac{|q||\vec{v}_0\times\vec{B}_0|}{m} = \frac{|q|v_0B_0}{m}</math></center>

[[Archivo:orbitas-B.gif|right|300px]]

El radio de curvatura en cada instante será igual a

<center><math>R = \frac{v^2}{a_n} = \frac{mv_0^2}{|q|v_0B_0} = \frac{mv_0}{|q|B_0}</math></center>

Este radio es constante y por tanto la carga describe un movimiento circular uniforme.

El valor del radio de la circunferencia, proporcional a la cantidad de movimiento de la partícula, se denomina ''radio de Larmor'' y es esencial en el descubrimiento de nuevas partículas. La velocidad angular de giro es, en módulo,

<center><math>\omega = \frac{v_0}{R} = \frac{|q|B_0}{m}</math></center>

Esta cantidad se conoce en física de partículas como ''frecuencia ciclotrón''.

En el caso general en que ni <math>P_1</math> ni <math>P_2</math> sean nulas, el movimiento resultante es una combinación de los dos anteriores: un avance a velocidad constante en la dirección del campo magnético, acompañado de un giro uniforme alrededor de él, resultando un movimiento helicoidal.

Partícula sometida a fuerza magnética

2024-01-23T12:45:56Z

Drake: Página creada con «==Enunciado== Sea una partícula con carga <math>q</math> y masa <math>m</math> sometida exclusivamente a un campo magnético uniforme y constante, de forma que experimenta la fuerza <center><math>\vec{F}_m = q\vec{v}\times\vec{B}_0</math></center> Supongamos que la partícula posee una velocidad inicial <math>\vec{v}_0</math> # Demuestre que la energía cinética de la partícula es una integral primera. # Demuestre que el producto <math>P_1 = \vec{v}\cdot\vec{B}_…»

==Enunciado==
Sea una partícula con carga <math>q</math> y masa <math>m</math> sometida exclusivamente a un campo magnético uniforme y constante, de forma que experimenta la fuerza

<center><math>\vec{F}_m = q\vec{v}\times\vec{B}_0</math></center>

Supongamos que la partícula posee una velocidad inicial <math>\vec{v}_0</math>

# Demuestre que la energía cinética de la partícula es una integral primera.
# Demuestre que el producto <math>P_1 = \vec{v}\cdot\vec{B}_0</math> es también una constante de movimiento.
# De acuerdo con lo anterior, ¿es <math>P_2 = |\vec{v}\times\vec{B}_0|</math> una integral primera?
# Suponga que <math>P_1 \neq 0</math> y <math>P_2 = 0</math>, ¿qué representa en términos de la velocidad inicial? ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula en este caso?
# Suponga ahora <math>P_1 = 0</math> y <math>P_2\neq 0</math>,
## ¿A qué tipo de velocidad inicial corresponde?
## Demuestre que en este caso la trayectoria es plana.
## Calcule el radio de curvatura de la trayectoria. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

==Energía cinética==
La energía cinética de la carga es

<center><math>K = \frac{1}{2}mv^2</math></center>

Para ver que es una integral primera, derivamos respecto al tiempo

<center><math>\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=m\vec{v}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=
\vec{v}\cdot(m\vec{a})</math></center>

Sustituyendo aquí la fuerza magnética

<center><math>\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=q\vec{v}\cdot(\vec{v}\times\vec{B}_0)=0</math></center>

Puesto que la fuerza es puramente normal en todo momento, la potencia desarrollada por ella es nula y la energía cinética permanece constante. Ello implica que el movimiento de una carga en un campo magnético es siempre uniforme.

==Componente paralela==
La cantidad

<center><math>P_1 = \vec{v}\cdot\vec{B}_0</math></center>

es proporcional a la componente de la velocidad paralela al campo magnético

<center><math>\mathrm{proy}_{\parallel\vec{B}_0}(\vec{v}) = \frac{P_1}{B_0}</math></center>

De nuevo, para ver que es una integral primera, derivamos respecto al tiempo

<center><math>\frac{\mathrm{d}P_1}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\cdot\vec{B}_0=
\frac{q}{m}(\vec{v}\times\vec{B}_0)\cdot\vec{B}_0 = 0</math></center>

Puesto que la derivada es nula, <math>P_1</math> es una integral primera. Geométricamente, esto quiere decir que la proyección de la velocidad en la dirección del campo magnético se mantiene constante en todo momento.

==Componente ortogonal==
La cantidad <math>P_2</math>

<center><math>P_2 = \left|\vec{v}\times\vec{B}_0\right|</math></center>

es proporcional a la proyección ortogonal de la velocidad sobre el campo magnético

<center><math>\mathrm{proy}_{\perp\vec{B}_0}(\vec{v}) = \frac{P_2}{B_0}</math></center>

La constancia de <math>P_2</math> se deduce de la de <math>P_1</math> y de la energía cinética <math>K</math>. Tenemos que, por un lado

<center><math>v^2 B_0^2 = v^2B_0^2\cos^2(\alpha) + v_0^2B_0\mathrm{sen}^2(\alpha) = P_1^2 + P_2^2</math></center>

y por otro lado

<center><math>v^2B_0^2 = \frac{2B_0^2}{m}K</math></center>

y por tanto

<center><math>P_2 = \sqrt{\frac{2B_0^2}{m}K-P_1^2}</math></center>

Si <math>K</math> y <math>P_1</math> son integrales primeras, <math>P_2</math> también lo es. Geométricamente, tenemos que la velocidad tiene un componente paralela y una ortogonal. Puesto que el módulo de la velocidad es constante y la proyección paralela tampoco varía en el tiempo, resulta que la magnitud de la componente normal permanece invariable, aunque su dirección pueda ir cambiando.

==Caso P2 = 0 ==
El caso <math>P_2=0</math> corresponde a que la velocidad inicial no tiene componente ortogonal a <math>\vec{B}_0</math>, esto es, se trata de una velocidad inicial paralela al campo magnético.

La constancia de <math>P_2</math> implica que la velocidad siempre es paralela al campo magnético. Puesto que la rapidez también permanece constante, se deduce que la velocidad permanece constante en módulo dirección y sentido

<center><math>\vec{v}=\vec{v}_0 = \mathrm{cte}</math></center>

y el movimiento resultante es rectilíneo y uniforme en la dirección del campo magnético.

==Caso P1 = 0 ==
En este caso no hay componente de la velocidad paralela al campo magnético. Esto corresponde a una velocidad inicial perpendicular al campo magnético.

La constancia de <math>P_1</math> implica que la velocidad es siempre perpendicular a <math>\vec{B}_0</math>. La aceleración también lo es. Por tanto, el producto vectorial de <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math> tiene siempre la dirección paralela al campo magnético, el vector binormal es constante y la trayectoria es plana.

Por otro lado, puesto que la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, la aceleración es normal en todo momento y

<center><math>a_n = \frac{|q||\vec{v}\times\vec{B}|}{m} = \frac{|q|P_2}{m} = \frac{|q||\vec{v}_0\times\vec{B}_0|}{m} = \frac{|q|v_0B_0}{m}</math></center>

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El radio de curvatura en cada instante será igual a

<center><math>R = \frac{v^2}{a_n} = \frac{mv_0^2}{|q|v_0B_0} = \frac{mv_0}{|q|B_0}</math></center>

Este radio es constante y por tanto la carga describe un movimiento circular uniforme.

El valor del radio de la circunferencia, proporcional a la cantidad de movimiento de la partícula, se denomina ''radio de Larmor'' y es esencial en el descubrimiento de nuevas partículas. La velocidad angular de giro es, en módulo,

<center><math>\omega = \frac{v_0}{R} = \frac{|q|B_0}{m}</math></center>

Esta cantidad se conoce en física de partículas como ''frecuencia ciclotrón''.

En el caso general en que ni <math>P_1</math> ni <math>P_2</math> sean nulas, el movimiento resultante es una combinación de los dos anteriores: un avance a velocidad constante en la dirección del campo magnético, acompañado de un giro uniforme alrededor de él, resultando un [[Cinemática_del_punto_material_(G.I.T.I.)#Helicoidal|movimiento helicoidal]].

Caída libre de un cuerpo

2024-01-23T12:42:40Z

Drake: Página creada con «==Enunciado== Se trata de analizar el efecto de la fricción en la caída de un cuerpo pequeño, como puede ser una gota de lluvia. <ol> <li> Inicialmente consideramos despreciable el rozamiento. Si tenemos una gota de agua de radio 0.50 mm que cae verticalmente, partiendo del reposo desde una altura ''h'' = 2 km, ¿cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? ¿Con qué velocidad impacta? Suponga g = 9.81 m/s².</li> <li> Para este mismo caso ide…»

==Enunciado==
Se trata de analizar el efecto de la fricción en la caída de un cuerpo pequeño, como puede ser una gota de lluvia.
<ol>
<li> Inicialmente consideramos despreciable el rozamiento. Si tenemos una gota de agua de radio 0.50 mm que cae verticalmente, partiendo del reposo desde una altura ''h'' = 2 km, ¿cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? ¿Con qué velocidad impacta? Suponga g = 9.81 m/s².</li>
<li> Para este mismo caso ideal, determine la energía cinética, potencial y mecánica en el punto inicial y el punto final del movimiento, así como para una altura <math>z</math> arbitraria.</li>
<li> Un cuerpo pequeño inmerso en un fluido experimenta una fuerza de fricción viscosa de la forma

<center><math>\vec{F}_r=-\gamma\vec{v}</math></center>

siendo <math>\gamma</math> una constante de fricción que para una esfera en aire es de valor <math>\gamma(\mathrm{kg}/\mathrm{s}) = 3.4\times 10^{-4}\,R(\mathrm{m})</math> con <math>R</math> el radio de la partícula. Si se incluye esta fuerza, ¿qué ecuación diferencial resulta para la velocidad vertical? </li>
<li>Razone que, partiendo de la ecuación anterior, se llega a que la velocidad tiende a un valor límite.</li>
<li>Si prácticamente toda la caída de la gota se produce a la velocidad límite, ¿con qué velocidad llega al suelo? ¿Cuánto tarda en caer? ¿Cuánta energía mecánica se pierde por el camino?</li>
<li>Determine la expresión exacta de la velocidad y la altura como función del tiempo</li>
</ol>

==Tiempo y velocidad sin rozamiento==
Supondremos en primer lugar que no existe fricción con el aire. En ese caso, la única fuerza actuando sobre la partícula es el peso, de forma que la ecuación de movimiento

<center><math>m\vec{a}=m\vec{g}=-mg\vec{k}</math></center>

En principio, la masa inercial no tiene por qué coincidir con la que aparece en el peso. Sin embargo, Galileo mostró que eran iguales y que todos los cuerpos caen la misma aceleración

<center><math>\vec{a}=\vec{g}=-g\vec{k}</math></center>

Las condiciones iniciales para este problema son

<center><math>\vec{r}_0 = h\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}_0=\vec{0}</math></center>

La integración de esta sistema es inmediata. Integrando una vez

<center><math>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{g}t = -gt\vec{k}</math></center>

y una segunda vez

<center><math>\vec{r}(t) = \left(h-\frac{1}{2}gt^2\right)\vec{k}</math></center>

La partícula describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, aumentando la celeridad linealmente con el tiempo. La partícula impacta contra el suelo cuando <math>z=0</math> lo cual ocurre para

<center><math>t_{z=0}= \sqrt{\frac{2h}{g}}</math></center>

y la velocidad en ese momento

<center><math>\vec{v}_{z=0}=-\sqrt{2gh}\vec{k}</math></center>

La componente vertical de la velocidad es negativa pues va dirigida hacia abajo. La celeridad en el momento de impacto es

<center><math>\left|\vec{v}\right| = \sqrt{2gh}</math></center>

Para una altura de inicial de 2 km, se obtiene aproximadamente un tiempo de caída de 20 s y una celeridad de impacto de 200 m/s. Es evidente que no es esta la celeridad con la que una gota de lluvia (o un paracaidista) llega al suelo. Un cálculo correcto debe tener en cuenta la fricción con el aire.

==Energía sin rozamiento==
La energía cinética es igual a

<center><math>K = \frac{1}{2}mv^2</math></center>

En el instante inicial, la partícula se encuentra en reposo y

<center><math>K = 0\,\mathrm{J}\qquad (z=h)</math></center>

En el momento del impacto

<center><math>K = \frac{1}{2}m(2gh) = mgh</math></center>

Para hallar el valor numérico necesitamos la masa de la partícula. Para una esfera de agua de radio 0.50 mm su masa es

<center><math>m = \rho V =1000\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\times\frac{4\pi}{3}(0.50\,\mathrm{mm})^3\left(\frac{1\,\mathrm{m}}{1000\,\mathrm{mm}}\right)^3 = 5.2\times10^{-7}\,\mathrm{kg}</math></center>

lo que nos da una energía cinética final

<center><math>K = 10\,\mathrm{mJ}\qquad(z=0)</math></center>

La energía potencial la obtenemos integrando la fuerza desde el origen de potencial hasta una cierta posición. La fuerza que actúa sobre la partícula es su peso

<center><math>\vec{F}=-mg\vec{k}</math></center>

Si tomamos como origen de energías el suelo (<math>z=0</math>) la energía potencial a una cierta altura es

<center><math>U(z)=-\int_0^z F\,\mathrm{d}z = mgz</math></center>

En el instante inicial <math>z=h</math> y

<center><math>U = mgh = 10\,\mathrm{mJ}\qquad (z=h)</math></center>

En el instante final, su altura es nula y

<center><math>U = 0\,\mathrm{J}\qquad (z=0)</math></center>

La energía mecánica es suma de las dos anteriores. Esta suma posee un valor constante

<center><math>E = K + U = 10\,\mathrm{mJ}</math></center>

Para una altura intermedia las expresiones de las diferentes energías son

<center><math>K = \frac{1}{2}mv^2 = mg(h-z)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>U=mgz\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>E=K+U = mgh\,</math></center>

==Ecuación diferencial==
Una partícula pequeña que se mueve en un fluido viscoso, como el aire, experimenta una fuerza de rozamiento que, para pequeñas celeridades, es proporcional a la velocidad y opuesta a ella

<center><math>\vec{F}_r=-\gamma\vec{v}</math></center>

de forma que el movimiento de una gota de lluvia verifica la ecuación de movimiento

<center><math>m\vec{a}=m\vec{g}-\gamma\vec{v}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{r}_0=h\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}_0=\vec{0}</math></center>

Puesto que el movimiento es puramente vertical, podemos reducir el problema al estudio de la componente Z y escribir todos los vectores como

<center><math>\vec{v}=v_z\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{g}=-g\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}=a_z\vec{k}=\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t}\vec{k}</math></center>

Tenemos entonces la ecuación de movimiento

<center><math>m\frac{\mathrm{d}v_{z}}{\mathrm{d}t}\vec{k}=-mg\vec{k}-\gamma v_{z}\vec{k}</math></center>

Puesto que dos vectores son iguales cuando lo son sus componentes, podemos igualar la componente Z y reducir el problema a la ecuación escalar

<center><math>m\frac{\mathrm{d}v_{z}}{\mathrm{d}t}=-mg-\gamma v_{z}</math></center>

Nótese que en esta ecuación no se ha hecho ninguna hipótesis sobre el sentido de la velocidad, sólo sobre su dirección. La componente <math>v_z</math> puede ser un número negativo (de hecho lo será, pues la partícula está cayendo), en cuyo caso la fuerza de rozamiento irá hacia arriba. El que aparezca un signo menos delante de la fuerza de rozamiento no implica que el sentido sea hacia abajo.

==Velocidad límite==
Antes de dar la solución, veamos cómo es el movimiento. Inicialmente la velocidad es nula, por lo que no hay fricción. El movimiento comienza siendo prácticamente uniformemente acelerado. Sin embargo, a medida que la celeridad va aumentando, la fricción crece y la aceleración disminuye. Llega un momento en que la fuerza de rozamiento iguala al peso, y la velocidad deja de aumentar en módulo, permaneciendo en su valor límite, dado por

<center><math>0 = -mg -\gamma v_{z}\,</math>{{tose}}<math>v_{z,\mathrm{lim}} = -\frac{mg}{\gamma}</math></center>

es negativa, pues se dirige hacia abajo.

Su valor numérico lo obtenemos hallando en primer lugar el valor de \gamma para esta gota de lluvia. Sustituyendo R = 0.50 mm
<center><math>
\gamma = \left(3.4\times 10^{-4} \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}}\right)\times(0.50\,\mathrm{mm})\times\frac{1\,\mathrm{m}}{1000\,\mathrm{mm}}=1.7\times 10^{-7}\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}}</math></center>

lo que nos da la celeridad límite

<center><math>v_\mathrm{lim} = \frac{mg}{\gamma}= 30\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

Esta velocidad ya es considerablemente inferior a la que habíamos obtenido suponiendo despreciable el rozamiento. Aun así, es considerablemente mayor que el valor experimental que se tiene para las gotas de lluvia, que puede rondar los [http://hypertextbook.com/facts/2007/EvanKaplan.shtml 10 m/s]. La diferencia se debe a que el rozamiento es realmente más intenso y requiere fórmulas más complicadas.

==Caída a la velocidad límite==
Si la altura de caída es muy grande, puede suponerse que la velocidad es prácticamente la límite para todo el trayecto, con lo que la celeridad de impacto es la celeridad límite

<center><math>v_\mathrm{lim} = \frac{mg}{\gamma}\sim 30\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

y el tiempo de caída es aproximadamente

<center><math>t_{z=0}\sim \frac{h}{v_\mathrm{lim}} = \frac{\gamma h}{mg}</math></center>

Este resultado sí está de acuerdo con la experiencia cotidiana de que los objetos más pesados tardan menos en caer e impactan con una mayor celeridad. Para una gota de agua de 0.50 mm de radio predice un tiempo de caída de 67 s y una celeridad de impacto de 30 m/s, valor mucho más razonable que el que omite el rozamiento. La energía mecánica de la gota al llegar al suelo es exclusivamente la energía cinética asociada a la celeridad límite, la cual evaluada para los datos numéricos del enunciado resulta ser de 0.2 mJ, que comparados con los 10 mJ de energía mecánica inicial revelan el hecho de que la práctica totalidad de la energía mecánica (en concreto, 9.8 mJ) se ha visto disipada durante la caída por causa de la fuerza de fricción viscosa.

==Velocidad y posición con rozamiento==
La solución exacta la obtenemos hallando el incremento de velocidad entre dos instantes sucesivos

<center><math>m\,\mathrm{d}v_{z} = -\left(mg+\gamma v_{z}\right)\mathrm{d}t</math></center>

Despejando obtenemos el tiempo que tarda en producirse un aumento de velocidad diferencial como

<center><math>\mathrm{d}t = -\frac{m\,\mathrm{d}v_{z}}{mg+\gamma v_{z}}</math></center>

Sumando todos los incrementos

<center><math>t = \int_0^t\mathrm{d}t = -\int_0^{v_{z}} \frac{m\,\mathrm{d}v_{z}}{mg+\gamma v_{z}} = -\frac{m}{\gamma}\ln\left(\frac{mg+\gamma v_{z}}{mg}\right)</math></center>

Despejando la velocidad como función del tiempo

<center><math>v_{z}(t) = -\frac{mg}{\gamma}\left(1-\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\right)</math></center>

El comportamiento de esta función predice que efectivamente la velocidad tiende hacia la velocidad límite. Integrando de nuevo obtenemos la altura como función del tiempo

<center><math>z(t) = h-\frac{mg}{\gamma}t+\frac{m^2g}{\gamma^2}\left(1-\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\right)</math></center>

Sin embargo, para hallar el instante exacto en que llega al suelo (<math>t_{z=0}</math>) es preciso resolver una ecuación que solo admite solución numérica.

No Boletín - Trabajo y fuerza en un movimiento armónico simple (Ex.Ene/13)

2024-01-23T12:39:34Z

Drake: /* Solución */

==Enunciado==
Sea una partícula, de masa <math>100\,\mathrm{g}\,</math>, que describe un movimiento armónico simple cuya ecuación horaria es:
<center><math>
\vec{r}(t)=B\,\mathrm{sen}(\Omega t)\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
(B = 5\,\mathrm{m}\,,\,\Omega = 2 \,\mathrm{rad/s})
</math></center>

# ¿Cuánto vale el trabajo realizado sobre la partícula en el trayecto desde <math>\vec{r}=\vec{0}\,</math> hasta <math>\vec{r}=\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,</math>?
# ¿Cuál es el valor de la fuerza que actúa sobre la partícula cuando ésta se halla en la posición <math>\vec{r}=-\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,</math>?

==Solución==
Derivando el vector de posición de la partícula respecto al tiempo una y dos veces, obtenemos su velocidad y su aceleración, respectivamente:

<center><math>
\vec{v}=\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}=\Omega B\,\mathrm{cos}(\Omega t)\,\vec{\jmath}
\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=-\Omega^2 B\,\mathrm{sen}(\Omega t)\,\vec{\jmath}=-\Omega^2\vec{r}
</math></center>
Y, conforme a la segunda ley de Newton, la fuerza que actúa sobre la partícula es:
<center><math>
\vec{F}=m\vec{a}=-m\Omega^2\vec{r}
</math></center>
siendo <math>m\,</math> la masa de la partícula.

Para determinar el valor de la fuerza que actúa sobre la partícula cuando ésta se halla en la posición <math>\vec{r}=-\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,</math>, basta sustituir en la fórmula anterior ese valor concreto de <math>\vec{r}\,</math>, así como los valores numéricos <math>m=0.1\,\mathrm{kg}\,</math>, <math>B=5\,\mathrm{m}\,</math> y <math>\Omega=2 \,\mathrm{rad/s}\,</math>:
<center><math>
\vec{r}=-\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{F}=-m\Omega^2\left(-\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\right)=m\Omega^2\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}=\vec{\jmath}\,\,\mathrm{N}
</math></center>

Para calcular el trabajo realizado sobre la partícula en el trayecto desde <math>\vec{r}=\vec{0}\,</math> hasta <math>\vec{r}=\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,</math>, determinamos primero la celeridad de la partícula al inicio (<math>v_i\,</math>) y al final (<math>v_f\,</math>) de dicho trayecto:
<center><math>
\begin{array}{l} \vec{r}(t_i)=B\,\mathrm{sen}(\Omega t_i)\,\vec{\jmath}=\vec{0} \,\, \rightarrow \,\, t_i=0 \,\, \rightarrow \,\, \vec{v}(t_i)=\Omega B\,\mathrm{cos}(\Omega t_i)\,\vec{\jmath}=\Omega B\,\vec{\jmath} \,\, \rightarrow \,\, v(t_i)=\Omega B
\\ \\ \vec{r}(t_f)=B\,\mathrm{sen}(\Omega t_f)\,\vec{\jmath}=\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath} \,\, \rightarrow \,\, t_f=\displaystyle\frac{\pi}{6\Omega} \,\, \rightarrow \,\, \vec{v}(t_f)=\Omega B\,\mathrm{cos}(\Omega t_f)\,\vec{\jmath}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega B\,\vec{\jmath} \,\, \rightarrow \,\, v(t_f)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega B \end{array}
</math></center>
y, finalmente, aplicamos el teorema de las fuerzas vivas (trabajo igual a variación de energía cinética):
<center><math>
W_{t_i}^{t_f}=K(t_f)-K(t_i)=\frac{1}{2}m\left[v^2(t_f)-v^2(t_i)\right]=\frac{1}{2}\,m\,\Omega^2B^2\left[\displaystyle\frac{3}{4}-1\right]=-\frac{1}{8}\,m\,\Omega^2B^2=-1.25\,\mathrm{J}
</math></center>

No Boletín - Trabajo y fuerza en un movimiento armónico simple (Ex.Ene/13)

2024-01-23T12:36:58Z

Drake: /* Solución */

==Enunciado==
Sea una partícula, de masa <math>100\,\mathrm{g}\,</math>, que describe un movimiento armónico simple cuya ecuación horaria es:
<center><math>
\vec{r}(t)=B\,\mathrm{sen}(\Omega t)\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
(B = 5\,\mathrm{m}\,,\,\Omega = 2 \,\mathrm{rad/s})
</math></center>

# ¿Cuánto vale el trabajo realizado sobre la partícula en el trayecto desde <math>\vec{r}=\vec{0}\,</math> hasta <math>\vec{r}=\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,</math>?
# ¿Cuál es el valor de la fuerza que actúa sobre la partícula cuando ésta se halla en la posición <math>\vec{r}=-\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,</math>?

==Solución==
Derivando el vector de posición de la partícula respecto al tiempo una y dos veces, obtenemos su velocidad y su aceleración, respectivamente:

<center><math>
\vec{v}=\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}=\Omega B\,\mathrm{cos}(\Omega t)\,\vec{\jmath}
\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=-\Omega^2 B\,\mathrm{sen}(\Omega t)\,\vec{\jmath}=-\Omega^2\vec{r}
</math></center>
Y, conforme a la segunda ley de Newton, la fuerza que actúa sobre la partícula es:
<center><math>
\vec{F}=m\vec{a}=-m\Omega^2\vec{r}
</math></center>
siendo <math>m\,</math> la masa de la partícula.

Para determinar el valor de la fuerza que actúa sobre la partícula cuando ésta se halla en la posición <math>\vec{r}=-\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,</math>, basta sustituir en la fórmula anterior ese valor concreto de <math>\vec{r}\,</math>, así como los valores numéricos <math>m=0.1\,\mathrm{kg}\,</math>, <math>B=5\,\mathrm{m}\,</math> y <math>\Omega=2 \,\mathrm{rad/s}\,</math>:
<center><math>
\vec{r}=-\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{F}=-m\Omega^2\left(-\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\right)=m\Omega^2\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}=\vec{\jmath}\,\,\mathrm{N}
</math></center>

Para calcular el trabajo realizado sobre la partícula en el trayecto desde <math>\vec{r}=\vec{0}\,</math> hasta <math>\vec{r}=\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,</math>, determinamos primero la celeridad de la partícula al inicio (<math>v_i\,</math>) y al final (<math>v_f\,</math>) de dicho trayecto:
<center><math>
\begin{array}{lllllllll} \vec{r}(t_i)=B\,\mathrm{sen}(\Omega t_i)\,\vec{\jmath}=\vec{0} & \rightarrow & t_i=0 & \rightarrow & \vec{v}(t_i)=\Omega B\,\mathrm{cos}(\Omega t_i)\,\vec{\jmath}=\Omega B\,\vec{\jmath} & \rightarrow & v(t_i)=\Omega B
\\ \\ \vec{r}(t_f)=B\,\mathrm{sen}(\Omega t_f)\,\vec{\jmath}=\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath} & \rightarrow & t_f=\displaystyle\frac{\pi}{6\Omega} & \rightarrow & \vec{v}(t_f)=\Omega B\,\mathrm{cos}(\Omega t_f)\,\vec{\jmath}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega B\,\vec{\jmath} & \rightarrow & v(t_f)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega B \end{array}
</math></center>
y, finalmente, aplicamos el teorema de las fuerzas vivas (trabajo igual a variación de energía cinética):
<center><math>
W_{t_i}^{t_f}=K(t_f)-K(t_i)=\frac{1}{2}m\left[v^2(t_f)-v^2(t_i)\right]=\frac{1}{2}\,m\,\Omega^2B^2\left[\displaystyle\frac{3}{4}-1\right]=-\frac{1}{8}\,m\,\Omega^2B^2=-1.25\,\mathrm{J}
</math></center>

No Boletín - Trabajo y fuerza en un movimiento armónico simple (Ex.Ene/13)

2024-01-23T12:35:56Z

Drake: Página creada con «==Enunciado== Sea una partícula, de masa <math>100\,\mathrm{g}\,</math>, que describe un movimiento armónico simple cuya ecuación horaria es: <center><math> \vec{r}(t)=B\,\mathrm{sen}(\Omega t)\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (B = 5\,\mathrm{m}\,,\,\Omega = 2 \,\mathrm{rad/s}) </math></center> # ¿Cuánto vale el trabajo realizado sobre la partícula en el trayecto desde <math>\vec{r}=\vec{0}\,</math> hasta <math>\vec{r}=\displaystyle\frac{B}…»

==Enunciado==
Sea una partícula, de masa <math>100\,\mathrm{g}\,</math>, que describe un movimiento armónico simple cuya ecuación horaria es:
<center><math>
\vec{r}(t)=B\,\mathrm{sen}(\Omega t)\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
(B = 5\,\mathrm{m}\,,\,\Omega = 2 \,\mathrm{rad/s})
</math></center>

# ¿Cuánto vale el trabajo realizado sobre la partícula en el trayecto desde <math>\vec{r}=\vec{0}\,</math> hasta <math>\vec{r}=\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,</math>?
# ¿Cuál es el valor de la fuerza que actúa sobre la partícula cuando ésta se halla en la posición <math>\vec{r}=-\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,</math>?

==Solución==
Derivando el vector de posición de la partícula respecto al tiempo una y dos veces, obtenemos su velocidad y su aceleración, respectivamente:

<center><math>
\vec{v}=\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}=\Omega B\,\mathrm{cos}(\Omega t)\,\vec{\jmath}
\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=-\Omega^2 B\,\mathrm{sen}(\Omega t)\,\vec{\jmath}=-\Omega^2\vec{r}
</math></center>
Y, conforme a la segunda ley de Newton, la fuerza que actúa sobre la partícula es:
<center><math>
\vec{F}=m\vec{a}=-m\Omega^2\vec{r}
</math></center>
siendo <math>m\,</math> la masa de la partícula.

Para determinar el valor de la fuerza que actúa sobre la partícula cuando ésta se halla en la posición <math>\vec{r}=-\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,</math>, basta sustituir en la fórmula anterior ese valor concreto de <math>\vec{r}\,</math>, así como los valores numéricos <math>m=0.1\,\mathrm{kg}\,</math>, <math>B=5\,\mathrm{m}\,</math> y <math>\Omega=2 \,\mathrm{rad/s}\,</math>:
<center><math>
\vec{r}=-\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{F}=-m\Omega^2\left(-\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\right)=m\Omega^2\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}=\vec{\jmath}\,\,\mathrm{N}
</math></center>

Para calcular el trabajo realizado sobre la partícula en el trayecto desde <math>\vec{r}=\vec{0}\,</math> hasta <math>\vec{r}=\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,</math>, determinamos primero la celeridad de la partícula al inicio (<math>v_i\,</math>) y al final (<math>v_f\,</math>) de dicho trayecto:
<center><math>
\begin{array}{lllllllll} \vec{r}(t_i)=B\,\mathrm{sen}(\Omega t_i)\,\vec{\jmath}=\vec{0} & \longrightarrow & t_i=0 & \longrightarrow & \vec{v}(t_i)=\Omega B\,\mathrm{cos}(\Omega t_i)\,\vec{\jmath}=\Omega B\,\vec{\jmath} & \longrightarrow & v(t_i)=\Omega B
\\ \\ \vec{r}(t_f)=B\,\mathrm{sen}(\Omega t_f)\,\vec{\jmath}=\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath} & \longrightarrow & t_f=\displaystyle\frac{\pi}{6\Omega} & \longrightarrow & \vec{v}(t_f)=\Omega B\,\mathrm{cos}(\Omega t_f)\,\vec{\jmath}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega B\,\vec{\jmath} & \longrightarrow & v(t_f)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega B \end{array}
</math></center>
y, finalmente, aplicamos el teorema de las fuerzas vivas (trabajo igual a variación de energía cinética):
<center><math>
W_{t_i}^{t_f}=K(t_f)-K(t_i)=\frac{1}{2}m\left[v^2(t_f)-v^2(t_i)\right]=\frac{1}{2}\,m\,\Omega^2B^2\left[\displaystyle\frac{3}{4}-1\right]=-\frac{1}{8}\,m\,\Omega^2B^2=-1.25\,\mathrm{J}
</math></center>

No Boletín - Fuerza, momento cinético y trabajo (Ex.Ene/12)

2024-01-23T12:32:57Z

Drake: /* Trabajo */

==Enunciado==
Una partícula P, de masa <math>m\,</math> y no vinculada, se mueve con respecto a un sistema de referencia OXYZ conforme a la ecuación horaria:

<center><math>\overrightarrow{OP}\equiv\vec{r}(t)=b\,[\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\imath}+\sqrt{2}\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\jmath}\,\,]</math></center>

donde <math>b\,</math> y <math>\omega\,</math> son constantes conocidas.

# ¿Qué fuerza neta <math>\vec{F}</math> actúa sobre la partícula?
# ¿Cuánto vale el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas?
# ¿Cuál es el valor del trabajo neto realizado sobre la partícula entre <math>\,t=0\,\,</math> y <math>\,t=\pi/(4\omega)\,</math>?

==Fuerza neta==
Derivando el vector de posición de la partícula P respecto al tiempo una y dos veces, obtenemos su velocidad y su aceleración, respectivamente:

<center><math>
\vec{v}=\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}=\omega b\,[-\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\imath}+\sqrt{2}\,\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\jmath}\,\,]
\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=-\omega^2 b\,[\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\imath}+\sqrt{2}\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\jmath}\,\,]=-\omega^2\vec{r}
</math></center>

Y conforme a la segunda ley de Newton, la fuerza neta que actúa sobre la partícula P es:
<center><math>
\vec{F}=m\vec{a}=-m\omega^2\vec{r}=-m\omega^2\overrightarrow{OP}=m\omega^2\overrightarrow{PO}
</math></center>

Observamos que la recta de acción de la fuerza neta sobre P pasa en todo instante por el origen de coordenadas O. Se trata, pues, de un movimiento bajo fuerza central (con centro en O).

==Momento cinético==
El momento cinético de la partícula P respecto al origen de coordenadas O se calcula a partir de su definición:
<center><math>
\vec{L}_O=\overrightarrow{OP}\wedge m\vec{v}=m\omega b^2\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \mathrm{cos}(\omega t) & \sqrt{2}\,\mathrm{sen}(\omega t) & 0 \\ -\mathrm{sen}(\omega t) & \sqrt{2}\,\mathrm{cos}(\omega t) & 0 \end{array}\right|=\sqrt{2}\,m\omega b^2\,\vec{k}
</math></center>

Al tratarse de un movimiento bajo fuerza central (con centro en O), se obtiene que el momento cinético (respecto a O) es constante a lo largo del tiempo (es una integral primera del movimiento).

==Trabajo==
Calculamos el trabajo que nos piden mediante el teorema de las fuerzas vivas:

<math>
\,\,\,\,\,W_{0}^{\pi/4\,\omega}=K\left(\frac{\pi}{4\,\omega}\right)-K(0)=\frac{1}{2}m\,\left[v^2\left(\displaystyle\frac{\pi}{4\,\omega}\right)-v^2(0)\right]=</math>

<math>\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{2}m\omega^2b^2\left[\mathrm{sen}^2\left(\frac{\pi}{4}\right)+2\,\mathrm{cos}^2\left(\frac{\pi}{4}\right)-\mathrm{sen}^2\left(0\right)-2\,\mathrm{cos}^2\left(0\right)\right]=-\frac{1}{4}m\omega^2b^2
</math>

No Boletín - Fuerza, momento cinético y trabajo (Ex.Ene/12)

2024-01-23T12:32:41Z

Drake: /* Trabajo */

==Enunciado==
Una partícula P, de masa <math>m\,</math> y no vinculada, se mueve con respecto a un sistema de referencia OXYZ conforme a la ecuación horaria:

<center><math>\overrightarrow{OP}\equiv\vec{r}(t)=b\,[\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\imath}+\sqrt{2}\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\jmath}\,\,]</math></center>

donde <math>b\,</math> y <math>\omega\,</math> son constantes conocidas.

# ¿Qué fuerza neta <math>\vec{F}</math> actúa sobre la partícula?
# ¿Cuánto vale el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas?
# ¿Cuál es el valor del trabajo neto realizado sobre la partícula entre <math>\,t=0\,\,</math> y <math>\,t=\pi/(4\omega)\,</math>?

==Fuerza neta==
Derivando el vector de posición de la partícula P respecto al tiempo una y dos veces, obtenemos su velocidad y su aceleración, respectivamente:

<center><math>
\vec{v}=\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}=\omega b\,[-\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\imath}+\sqrt{2}\,\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\jmath}\,\,]
\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=-\omega^2 b\,[\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\imath}+\sqrt{2}\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\jmath}\,\,]=-\omega^2\vec{r}
</math></center>

Y conforme a la segunda ley de Newton, la fuerza neta que actúa sobre la partícula P es:
<center><math>
\vec{F}=m\vec{a}=-m\omega^2\vec{r}=-m\omega^2\overrightarrow{OP}=m\omega^2\overrightarrow{PO}
</math></center>

Observamos que la recta de acción de la fuerza neta sobre P pasa en todo instante por el origen de coordenadas O. Se trata, pues, de un movimiento bajo fuerza central (con centro en O).

==Momento cinético==
El momento cinético de la partícula P respecto al origen de coordenadas O se calcula a partir de su definición:
<center><math>
\vec{L}_O=\overrightarrow{OP}\wedge m\vec{v}=m\omega b^2\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \mathrm{cos}(\omega t) & \sqrt{2}\,\mathrm{sen}(\omega t) & 0 \\ -\mathrm{sen}(\omega t) & \sqrt{2}\,\mathrm{cos}(\omega t) & 0 \end{array}\right|=\sqrt{2}\,m\omega b^2\,\vec{k}
</math></center>

Al tratarse de un movimiento bajo fuerza central (con centro en O), se obtiene que el momento cinético (respecto a O) es constante a lo largo del tiempo (es una integral primera del movimiento).

==Trabajo==
Calculamos el trabajo que nos piden mediante el teorema de las fuerzas vivas:

<math>
\,\,\,\,\,W_{0}^{\pi/4\,\omega}=K\left(\frac{\pi}{4\,\omega}\right)-K(0)=\frac{1}{2}m\,\left[v^2\left(\displaystyle\frac{\pi}{4\,\omega}\right)-v^2(0)\right]=</math>

<math>\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{2}m\omega^2b^2\left[\mathrm{sen}^2\left(\frac{\pi}{4}\right)+2\,\mathrm{cos}^2\left(\frac{\pi}{4}\right)-\mathrm{sen}^2\left(0\right)-2\,\mathrm{cos}^2\left(0\right)\right]=-\frac{1}{4}m\omega^2b^2
</math>

No Boletín - Fuerza, momento cinético y trabajo (Ex.Ene/12)

2024-01-23T12:32:19Z

Drake: /* Trabajo */

==Enunciado==
Una partícula P, de masa <math>m\,</math> y no vinculada, se mueve con respecto a un sistema de referencia OXYZ conforme a la ecuación horaria:

<center><math>\overrightarrow{OP}\equiv\vec{r}(t)=b\,[\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\imath}+\sqrt{2}\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\jmath}\,\,]</math></center>

donde <math>b\,</math> y <math>\omega\,</math> son constantes conocidas.

# ¿Qué fuerza neta <math>\vec{F}</math> actúa sobre la partícula?
# ¿Cuánto vale el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas?
# ¿Cuál es el valor del trabajo neto realizado sobre la partícula entre <math>\,t=0\,\,</math> y <math>\,t=\pi/(4\omega)\,</math>?

==Fuerza neta==
Derivando el vector de posición de la partícula P respecto al tiempo una y dos veces, obtenemos su velocidad y su aceleración, respectivamente:

<center><math>
\vec{v}=\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}=\omega b\,[-\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\imath}+\sqrt{2}\,\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\jmath}\,\,]
\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=-\omega^2 b\,[\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\imath}+\sqrt{2}\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\jmath}\,\,]=-\omega^2\vec{r}
</math></center>

Y conforme a la segunda ley de Newton, la fuerza neta que actúa sobre la partícula P es:
<center><math>
\vec{F}=m\vec{a}=-m\omega^2\vec{r}=-m\omega^2\overrightarrow{OP}=m\omega^2\overrightarrow{PO}
</math></center>

Observamos que la recta de acción de la fuerza neta sobre P pasa en todo instante por el origen de coordenadas O. Se trata, pues, de un movimiento bajo fuerza central (con centro en O).

==Momento cinético==
El momento cinético de la partícula P respecto al origen de coordenadas O se calcula a partir de su definición:
<center><math>
\vec{L}_O=\overrightarrow{OP}\wedge m\vec{v}=m\omega b^2\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \mathrm{cos}(\omega t) & \sqrt{2}\,\mathrm{sen}(\omega t) & 0 \\ -\mathrm{sen}(\omega t) & \sqrt{2}\,\mathrm{cos}(\omega t) & 0 \end{array}\right|=\sqrt{2}\,m\omega b^2\,\vec{k}
</math></center>

Al tratarse de un movimiento bajo fuerza central (con centro en O), se obtiene que el momento cinético (respecto a O) es constante a lo largo del tiempo (es una integral primera del movimiento).

==Trabajo==
Calculamos el trabajo que nos piden mediante el teorema de las fuerzas vivas:

<math>
\,\,\,\,\,W_{0}^{\pi/4\,\omega}=K\left(\frac{\pi}{4\,\omega}\right)-K(0)=\frac{1}{2}m\,\left[v^2\left(\displaystyle\frac{\pi}{4\,\omega}\right)-v^2(0)\right]=</math>

<math>\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{2}m\omega^2b^2\left[\mathrm{sen}^2\left(\frac{\pi}{4}\right)+2\,\mathrm{cos}^2\left(\frac{\pi}{4}\right)-\mathrm{sen}^2\left(0\right)-2\,\mathrm{cos}^2\left(0\right)\right]=-\frac{1}{4}m\omega^2b^2
</math>

No Boletín - Fuerza, momento cinético y trabajo (Ex.Ene/12)

2024-01-23T12:30:37Z

Drake: Página creada con «==Enunciado== Una partícula P, de masa <math>m\,</math> y no vinculada, se mueve con respecto a un sistema de referencia OXYZ conforme a la ecuación horaria: <center><math>\overrightarrow{OP}\equiv\vec{r}(t)=b\,[\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\imath}+\sqrt{2}\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\jmath}\,\,]</math></center> donde <math>b\,</math> y <math>\omega\,</math> son constantes conocidas. # ¿Qué fuerza neta <math>\vec{F}</math> actúa sobre la partícula? # ¿Cu…»

==Enunciado==
Una partícula P, de masa <math>m\,</math> y no vinculada, se mueve con respecto a un sistema de referencia OXYZ conforme a la ecuación horaria:

<center><math>\overrightarrow{OP}\equiv\vec{r}(t)=b\,[\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\imath}+\sqrt{2}\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\jmath}\,\,]</math></center>

donde <math>b\,</math> y <math>\omega\,</math> son constantes conocidas.

# ¿Qué fuerza neta <math>\vec{F}</math> actúa sobre la partícula?
# ¿Cuánto vale el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas?
# ¿Cuál es el valor del trabajo neto realizado sobre la partícula entre <math>\,t=0\,\,</math> y <math>\,t=\pi/(4\omega)\,</math>?

==Fuerza neta==
Derivando el vector de posición de la partícula P respecto al tiempo una y dos veces, obtenemos su velocidad y su aceleración, respectivamente:

<center><math>
\vec{v}=\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}=\omega b\,[-\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\imath}+\sqrt{2}\,\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\jmath}\,\,]
\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=-\omega^2 b\,[\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\imath}+\sqrt{2}\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\jmath}\,\,]=-\omega^2\vec{r}
</math></center>

Y conforme a la segunda ley de Newton, la fuerza neta que actúa sobre la partícula P es:
<center><math>
\vec{F}=m\vec{a}=-m\omega^2\vec{r}=-m\omega^2\overrightarrow{OP}=m\omega^2\overrightarrow{PO}
</math></center>

Observamos que la recta de acción de la fuerza neta sobre P pasa en todo instante por el origen de coordenadas O. Se trata, pues, de un movimiento bajo fuerza central (con centro en O).

==Momento cinético==
El momento cinético de la partícula P respecto al origen de coordenadas O se calcula a partir de su definición:
<center><math>
\vec{L}_O=\overrightarrow{OP}\wedge m\vec{v}=m\omega b^2\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \mathrm{cos}(\omega t) & \sqrt{2}\,\mathrm{sen}(\omega t) & 0 \\ -\mathrm{sen}(\omega t) & \sqrt{2}\,\mathrm{cos}(\omega t) & 0 \end{array}\right|=\sqrt{2}\,m\omega b^2\,\vec{k}
</math></center>

Al tratarse de un movimiento bajo fuerza central (con centro en O), se obtiene que el momento cinético (respecto a O) es constante a lo largo del tiempo (es una integral primera del movimiento).

==Trabajo==
Calculamos el trabajo que nos piden mediante el teorema de las fuerzas vivas:
<center><math>
W_{0}^{\pi/4\,\omega}=K\left(\frac{\pi}{4\,\omega}\right)-K(0)=\frac{1}{2}m\,\left[v^2\left(\displaystyle\frac{\pi}{4\,\omega}\right)-v^2(0)\right]=\frac{1}{2}m\omega^2b^2\left[\mathrm{sen}^2\left(\frac{\pi}{4}\right)+2\,\mathrm{cos}^2\left(\frac{\pi}{4}\right)-\mathrm{sen}^2\left(0\right)-2\,\mathrm{cos}^2\left(0\right)\right]=-\frac{1}{4}m\omega^2b^2
</math></center>

No Boletín - Ecuaciones horarias en coordenadas polares (Ex.Jun/13)

2024-01-23T12:26:03Z

Drake: Página creada con «==Enunciado== right El movimiento de una partícula <math>P\,</math>, de masa <math>m\,</math>, en el plano <math>OXY\,</math> queda descrito en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias: <center><math> \rho(t)=\rho_{ 0}\,e^{-\omega t}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta(t)=\theta_0\,e^{\Omega t} </math></center> siendo <math>\rho_{0}\,</math>, <math>\theta_0\,</math>, <math>\omega\,</math> y <math>\Omega\,</math> constantes conocidas. #…»

==Enunciado==
[[Archivo:polares.png|right]]

El movimiento de una partícula <math>P\,</math>, de masa <math>m\,</math>, en el plano <math>OXY\,</math> queda descrito en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:
<center><math>
\rho(t)=\rho_{ 0}\,e^{-\omega t}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta(t)=\theta_0\,e^{\Omega t}
</math></center>
siendo <math>\rho_{0}\,</math>, <math>\theta_0\,</math>, <math>\omega\,</math> y <math>\Omega\,</math> constantes conocidas.

# Evalúe la energía cinética de la partícula <math>P\,</math> en el instante inicial <math>t=0\,</math>.
# Determine (en función del tiempo) la aceleración de la partícula <math>P\,</math> en componentes polares.
# Determine (en función del tiempo) el momento cinético de la partícula <math>P\,</math> respecto al origen de coordenadas <math>O\,</math>.
# Deduzca razonadamente la relación que debe existir entre las constantes <math>\omega\,</math> y <math>\Omega\,</math> para que el movimiento de la partícula <math>P\,</math> sea un movimiento central con centro en <math>O\,</math>.

==Energía cinética en el instante inicial==

La velocidad de la partícula <math>P\,</math> en componentes polares viene dada por la expresión:

<center><math>\vec{v} = \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}</math></center>

Calculando las primeras derivadas respecto al tiempo de las ecuaciones horarias, y sustituyéndolas después en dicha expresión, se obtiene:

<center><math>\dot{\rho}=-\omega\rho_0 e^{-\omega t}</math>{{qquad}};{{qquad}}{{qquad}}<math>\dot{\theta}=\Omega\,\theta_0\,e^{\Omega t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v} = -\omega\rho_0\, e^{-\omega t}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\theta_0\rho_0\,e^{(\Omega-\omega) t}\,\vec{u}_{\theta}</math></center>

Haciendo el producto escalar del vector velocidad por sí mismo, obtenemos el cuadrado de la celeridad:

<center><math>v^2 = \vec{v}\cdot\vec{v} = \rho_0^2\left[\omega^2 e^{-2\omega t}+\Omega^2\theta_0^2\,e^{2(\Omega-\omega) t}\right]</math></center>

que, evaluado en el instante inicial <math>t=0\,</math> y multiplicado por el factor <math>m/2\,</math>, nos da la energía cinética inicial de la partícula <math>P\,</math>:
<center><math>
K(0)=\frac{1}{2}m\,v(0)^2=\frac{1}{2}m\rho_0^2(\omega^2+\Omega^2\theta_0^2)
</math></center>

==Aceleración en componentes polares==

La aceleración de la partícula <math>P\,</math> en componentes polares viene dada por la expresión:

<center><math>\vec{a} = \left(\ddot{\rho}-\rho\,{\dot{\theta}}^2\right)\,\vec{u}_{\rho}+\left(2\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,\right)\,\vec{u}_{\theta}</math></center>

Calculando las segundas derivadas respecto al tiempo de las ecuaciones horarias, y sustituyendo después en la expresión de la aceleración tanto éstas como las derivadas primeras anteriormente determinadas, se obtiene:

<center><math>\ddot{\rho}=\omega^{2}\! \rho_0 e^{-\omega t}=</math>{{qquad}};{{qquad}}{{qquad}}<math>\ddot{\theta}=\Omega^2\theta_0\,e^{\Omega t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}(t) = \rho_0\,e^{-\omega t}(\omega^2-\Omega^2\theta_0^2\,e^{2\Omega t})\,\vec{u}_{\rho}+\rho_0\,\theta_0(\Omega^2-2\omega\Omega)\,e^{(\Omega-\omega) t}\,\vec{u}_{\theta}</math></center>

==Momento cinético respecto al origen de coordenadas==

El momento cinético de la partícula <math>P\,</math> respecto al origen de coordenadas <math>O\,</math> se define como:
<center><math>
\vec{L}_O=\overrightarrow{OP}\times m\,\vec{v}
</math></center>
Sustituyendo <math>\overrightarrow{OP}=\rho\,\vec{u}_{\rho}\,</math> y <math>\vec{v} = \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}\,</math> en la anterior expresión, se obtiene:
<center><math>
\vec{L}_O=m\rho^2\dot{\theta}\,\vec{k}=m\Omega\rho_0^2\theta_0\,e^{(\Omega-2\omega) t}\,\vec{k}
</math></center>

==Movimiento central con centro en el origen de coordenadas==

Si el movimiento de la partícula <math>P\,</math> es un movimiento central con centro en el punto <math>O\,</math>, su momento cinético respecto a dicho punto ha de ser constante (independiente del tiempo). Que la expresión de <math>\vec{L}_O\,</math> obtenida en el apartado anterior cumpla esta condición exige la nulidad del coeficiente que multiplica al tiempo en la exponencial, y de ahí se deduce la relación necesaria entre <math>\omega\,</math> y <math>\Omega\,</math>:
<center><math>
\vec{L}_O=\overrightarrow{\mathrm{cte}}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, m\Omega\rho_0^2\theta_0\,e^{(\Omega-2\omega) t}\,\vec{k}=\overrightarrow{\mathrm{cte}}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, e^{(\Omega-2\omega) t}=\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,
\Omega-2\omega=0\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, \Omega=2\omega
</math></center>

Archivo:Curva-potencial.png

2024-01-23T12:22:38Z

Drake:

No Boletín - Cuestión sobre posiciones de equilibrio (Ex.Ene/12)

2024-01-23T12:21:12Z

Drake: Página creada con «==Enunciado== right Una partícula se mueve en el eje <math>OX\,</math> bajo la acción de una fuerza conservativa. La función energía potencial <math>U(x)\,</math> y el nivel de energía mecánica <math>E\,</math> de la partícula son los representados en la gráfica adjunta. En el instante inicial la partícula se halla en la posición <math>x=x_0\,</math>, la cual se observa que corresponde a uno de los puntos de corte de <math>E\…»

==Enunciado==
[[Archivo:curva-potencial.png|right]]

Una partícula se mueve en el eje <math>OX\,</math> bajo la acción de una fuerza conservativa. La función energía potencial <math>U(x)\,</math>
y el nivel de energía mecánica <math>E\,</math> de la partícula son los representados en la gráfica adjunta. En el instante inicial la partícula se halla en la posición <math>x=x_0\,</math>, la cual se observa que corresponde a uno de los puntos de corte de <math>E\,</math> y <math>U(x)\,</math>.

¿Por cuántas posiciones de equilibrio distintas pasará sin detenerse la partícula en su movimiento?

==Solución==
En el caso de un movimiento unidimensional conservativo, las posiciones de equilibrio son aquellas para las cuales existen extremos locales de la función energía potencial, es decir, aquellas posiciones para las que la partícula alcanza un mínimo (eq. estable) o un máximo (eq. inestable) de energía potencial. Así pues, para la curva de potencial del enunciado, detectamos en principio la existencia de tres posiciones de equilibrio (dos estables y una inestable).

Ahora bien, que una posición de equilibrio exista no implica que la partícula vaya a tener acceso a ella. Esto va a depender de las condiciones iniciales del movimiento o, dicho de otro modo, del nivel concreto de energía mecánica que tenga la partícula (recuérdese que el nivel de energía mecánica es constante y se calcula a partir de las condiciones iniciales). En el caso que nos ocupa, observamos que el nivel de energía mecánica está por debajo del máximo local de energía potencial (lo cual convierte a la posición de equilibrio inestable en inaccesible para la partícula), pero por encima de los dos mínimos simétricos de la citada función de energía potencial. Por tanto, las dos posiciones de equilibrio estable quedan dentro de sendas regiones "permitidas" para la partícula. Pero nótese que esas dos regiones "permitidas" son dos pozos de potencial separados por una barrera infranqueable. En efecto, el máximo local de energía potencial, que resulta inaccesible con el nivel de energía mecánica que tiene la partícula, se encuentra separando esas dos regiones "permitidas". Por la posición inicial dada <math>x=x_0\,</math>, sabemos que la partícula se halla en el instante inicial en el pozo de la derecha de la gráfica. Pues bien, de dicho pozo no podrá escapar y, por tanto, oscilará indefinidamente alrededor de la única posición de equilibrio que queda dentro del mismo.

En definitiva, la respuesta a la pregunta del enunciado es UNA.

'''Nota''': Esta cuestión se planteó en examen tipo-test y las respuestas propuestas (a elegir una) fueron: NINGUNA, UNA, DOS y TRES.

Archivo:Nautilus-02.png

2024-01-22T17:23:35Z

Drake:

Archivo:Nautilus-01.png

2024-01-22T17:23:17Z

Drake:

Archivo:Nautilus2.gif

2024-01-22T17:23:04Z

Drake:

Espiral logarítmica

2024-01-22T17:21:21Z

Drake: Página creada con «==Enunciado== right Una partícula recorre la espiral logarítmica de ecuación <center><math>\vec{r} = b (\cos(\theta)\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath})\mathrm{e}^{-k\theta}</math></center> donde <math>b</math> y <math>k</math> son constantes. El movimiento es uniforme a lo largo de la curva, con celeridad constante <math>v_0</math>. En el instante inicial la partícula se encuentra en <math>\theta=0</math> # Determine la…»

==Enunciado==

[[Archivo:nautilus2.gif|right]]

Una partícula recorre la espiral logarítmica de ecuación

<center><math>\vec{r} = b (\cos(\theta)\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath})\mathrm{e}^{-k\theta}</math></center>

donde <math>b</math> y <math>k</math> son constantes. El movimiento es uniforme a lo largo de la curva, con celeridad constante <math>v_0</math>. En el instante inicial la partícula se encuentra en <math>\theta=0</math>

# Determine la ley horaria <math>\theta = \theta(t)</math>.
# Calcule el tiempo que tarda en llegar a <math>\vec{r}=\vec{0}</math>. ¿Cuántas vueltas da para ello?
# Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas en cada punto de la trayectoria.
# Determine la posición de los centros de curvatura de este movimiento.

==Ley horaria==
[[Archivo:nautilus-01.png|right]]

Para hallar la ley horaria <math>\theta = \theta(t)</math> aplicamos que el movimiento es uniforme y por tanto

<center><math>\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right| = |\vec{v}| = v_0</math></center>

Sin embargo, lo que se nos da es la trayectoria como función de la coordenada <math>\theta</math> y la velocidad no es la derivada de la posición respecto a <math>\theta</math>, sino respecto al tiempo. Para relacionar las dos cosas aplicamos la regla de la cadena

<center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta}</math></center>

Aquí <math>\dot{\theta} =\mathrm{d}\theta/\mathrm{d}t</math> es una función que debemos determinar.

Tomando módulos

<center><math>v_0= \left|\vec{v}\right|= \left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|\dot{\theta}</math></center>

Derivando en la ecuación de la trayectoria

<center><math>
\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta} = b(-\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\imath}+\cos\theta\vec{\jmath})\mathrm{e}^{-k\theta}-bk(\cos\theta\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath})\mathrm{e}^{-k\theta}</math></center>

[[Archivo:nautilus-02.png|right]]

Podemos simplificar esta expresión definiendo dos vectores unitarios

<center><math>\vec{u}_1(\theta) = \cos\theta\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{u}_2(\theta) = -\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\imath}+\cos\theta\vec{\jmath}</math></center>

Estos vectores verifican que son unitarios y ortogonales

<center><math>\vec{u}_1\cdot\vec{u}_1=1</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{u}_2\cdot\vec{u}_2=1</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2=0</math></center>

y tienen por derivadas

[[Archivo:nautilus-03.gif|left]]

<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{u}_1}{\mathrm{d}\theta}=\vec{u}_2</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\frac{\mathrm{d}\vec{u}_2}{\mathrm{d}\theta}=-\vec{u}_1</math></center>

El vector <math>\vec{u}_1</math> es el unitario en la dirección del vector de posición instantáneo de la partícula, y <math>\vec{u}_2</math> el ortogonal a él. Estos dos vectores van rotando a medida que la partícula se mueve.

Con ayuda de estos vectores, la posición se expresa

<center><math>\vec{r}(\theta)=b\,\mathrm{e}^{-k\theta}\vec{u}_1(\theta)</math></center>

y la derivada respecto al ángulo <math>\theta</math>

<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}=-k b\,\mathrm{e}^{-k\theta}\vec{u}_1+b\,\mathrm{e}^{-k\theta}\frac{\mathrm{d}\vec{u}_1}{\mathrm{d}\theta}=b\,\mathrm{e}^{-k\theta}\left(\vec{u}_2-k\vec{u}_1\right)</math></center>

que es la expresión que ya teníamos, pero más concisa.

Imponiendo ahora que la celeridad es <math>v_0\,</math> queda

<center><math>v_0 = b\,\mathrm{e}^{-k\theta}\left|\vec{u}_2-k\vec{u}_1\right|\dot{\theta}=b\sqrt{1+k^2}\,\mathrm{e}^{-k\theta}\dot{\theta}</math></center>

Para integrar esta ecuación separamos los diferenciales

<center><math>\frac{v_0}{b\sqrt{1+k^2}}\,\mathrm{d}t = \mathrm{e}^{-k\theta}\,\mathrm{d}\theta</math></center>

e integramos, teniendo en cuenta que para <math>t=0</math>, <math>\theta=0</math>

<center><math>\frac{v_0}{b\sqrt{1+k^2}}\int_0^t\mathrm{d}t = \int_0^\theta \mathrm{e}^{-k\theta}\,\mathrm{d}\theta</math></center>

lo que nos da

<center><math>\frac{v_0 t}{b\sqrt{1+k^2}} = \left.\left(-\frac{\mathrm{e}^{-k\theta}}{k}\right)\right|_0^\theta = \frac{1-\mathrm{e}^{-k\theta}}{k}</math></center>

Despejando de aquí

<center><math>\theta = -\frac{1}{k}\ln\left(1-\frac{v_0k}{b\sqrt{1+k^2}}t\right)</math></center>

==Tiempo en llegar al origen==
El tiempo que tarda la partícula en llegar al origen lo obtenemos exigiendo que <math>\vec{r}=\vec{0}</math>. La posición para cada valor de <math>\theta</math> es igual a

<center><math>\vec{r}=b\,\mathrm{e}^{-k\theta}\vec{u}_1 = \left(b-\frac{v_0 k t}{\sqrt{1+k^2}}\right)\vec{u}_1</math></center>

Este vector se anulará en

<center><math>t = \frac{b\sqrt{1+k^2}}{v_0k}</math></center>

Este es el tiempo en llegar al centro.

Nótese que este valor de <math>t</math> corresponde a un valor de <math>\theta\to\infty</math>. Puesto que <math>\theta</math> representa el ángulo que el vector de posición forma con el eje X y que una circunferencia completa significa aumentar <math>\theta</math> en <math>2\pi</math>, vemos que la partícula da infinitas vueltas antes de llegar al origen, aunque para ello requiere un tiempo finito. Igualmente, aunque dé infinitas vueltas, la distancia recorrida por la partícula es finita e igual a

<center><math>\Delta s = v_0 t = \frac{b\sqrt{1+k^2}}{k}</math></center>

Esto es posible porque las sucesivas vueltas son cada vez más pequeñas.

===Variación de la distancia al origen===
Otra posibilidad para hallar el tiempo en llegar al origen es considerar la variación en el tiempo de la distancia al centro

<center><math>r = |\vec{r}| = b\mathrm{e}^{-k\theta}</math></center>

Derivando aquí respecto al tiempo

<center><math>\dot{r}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} =-kb\mathrm{e}^{-k\theta}\dot{\theta}=-\frac{kv_0}{\sqrt{1+k^2}}</math></center>

Obsérvese que la derivada del módulo de la posición '''no''' coincide con el módulo de la velocidad.

Vemos que la distancia al origen disminuye a ritmo constante (proporcionalmente a, pero no igual a, la celeridad). Inicialmente vale <math>b</math>, así que el tiempo en llegar al centro es

<center><math>t_f = \frac{b}{|\dot{r}|}= \frac{b\sqrt{1+k^2}}{kv_0}</math></center>

==Aceleración==
===Forma vectorial===
Para el cálculo de la aceleración tenemos un problema similar al de la velocidad. La cuestión es que la aceleracion no es la derivada de la velocidad respecto a <math>\theta</math>, sino respecto al tiempo, con lo que hay que tener mucho cuidado con qué se deriva y respecto a qué.

Partimos de las expresiones que ya conocemos para la velocidad

<center><math>\vec{v}=b\,\mathrm{e}^{-k\theta}(\vec{v}_2-k\vec{u}_1)\dot{\theta}</math></center>

Conocemos también la ley horaria

<center><math>b\,\mathrm{e}^{-k\theta}\sqrt{1+k^2}\dot{\theta}=v_0</math>{{tose}}<math>\theta=-\frac{1}{k}\ln\left(\frac{v_0kt}{b\sqrt{1+k^2}}\right)</math></center>

Una posibilidad sería entonces sustituir <math>\theta(t)</math> en la expresión de la velocidad y derivar lo que salga respecto al tiempo. Sin embargo debido a que en esta fórmula aparecen senos y cosenos de logaritmos, la posibilidad de equivocarse al derivar es muy alta.

La solución consiste en aplicar de nuevo la regla de la cadena. Vamos a considerar la velocidad como función del ángulo <math>\theta</math> y calcular la aceleración como

<center><math>\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}\theta}\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}\theta}\,\dot{\theta}</math></center>

Para ello necesitamos, en primer lugar la velocidad como función de <math>\theta</math>, que es algo que aun no tenemos. En la expresión de arriba aparece la velocidad como función de <math>\theta</math> y de <math>\dot{\theta}</math>, que no es lo mismo. Debe aparecer solo <math>\theta</math>, no las dos cosas.

Despejamos <math>\dot{\theta}</math> como función de <math>\theta</math>

<center><math>\dot{\theta}=\frac{v_0}{b\sqrt{1+k^2}}\mathrm{e}^{k\theta}</math></center>

y sustituimos en la expresión de la velocidad

<center><math>\vec{v}=v_0\frac{\vec{u}_2-k\vec{u}_1}{\sqrt{1+k^2}}</math></center>

Esta ya sí solo depende del ángulo <math>\theta</math>. Podría parecer que no lo hace, puesto que no aparece en la expresión, pero si está, escondido dentro de los vectores <math>\vec{u}_1</math> y <math>\vec{u}_2</math>, que no son vectores constantes, sino dependientes de la posición (y, por tanto, del tiempo).

Esta expresión nos dice también que el unitario tangente a la trayectoria es

<center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{v}=\frac{\vec{v}}{v_0}=\frac{\vec{u}_2-k\vec{u}_1}{\sqrt{1+k^2}}</math></center>

Aplicando ahora la regla de la cadena para hallar la aceleración tenemos

<center><math>\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}\theta}\,\dot{\theta}=\frac{v_0}{\sqrt{1+k^2}}\left(\frac{\mathrm{d}\vec{u}_2}{\mathrm{d}\theta}-k\frac{\mathrm{d}\vec{u}_1}{\mathrm{d}\theta}\right)\frac{v_0}{b\sqrt{1+k^2}}\mathrm{e}^{k\theta} </math></center>

Sustituyendo aquí las derivadas de los vectores unitarios llegamos a

<center><math>\vec{a}=\frac{v_0^2\mathrm{e}^{k\theta}}{b(1+k^2)}\left(-\vec{u}_1-k\vec{u}_2\right) </math></center>

===Aceleración tangencial===
La aceleración tangencial es nula, pues el movimiento es uniforme y su celeridad es constante

<center><math>|\vec{v}|=v_0</math>{{tose}}<math>\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0</math>{{tose}}<math>\vec{a}_t=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{T}=\vec{0}</math></center>

Podemos demostrarlo también a partir de las expresiones vectoriales de la velocidad y la aceleración

<center><math>\vec{v}=v_0\frac{-k\vec{u}_1+\vec{u}_2}{\sqrt{1+k^2}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}=-\frac{v_0^2\mathrm{e}^{k\theta}}{b(1+k^2)}\left(\vec{u}_1+k\vec{u}_2\right)</math></center>

Multiplicando la una por la otra

<center><math>\vec{a}\cdot\vec{v}=-\frac{v_0^3\mathrm{e}^{k\theta}}{b(1+k^2)^{3/2}}\left(-k\vec{u}_1+\vec{u}_2\right)\cdot\left(\vec{u}_1+k\vec{u}_2\right)</math></center>

pero, teniendo en cuenta que <math>\vec{u}_1</math> y <math>\vec{u}_2</math> forman una base ortonormal

<center><math>\left(-k\vec{u}_1+\vec{u}_2\right)\cdot\left(\vec{u}_1+k\vec{u}_2\right)=-k+k = 0</math></center>

y si la aceleración es perpendicular a la velocidad, la aceleración tangencial, por definición, es nula.

===Aceleración normal===
Si la aceleración tangencial es nula, la aceleración normal es toda la aceleración

<center><math>\vec{a}_n=\vec{a}=-\frac{v_0^2\mathrm{e}^{k\theta}}{b(1+k^2)}\left(\vec{u}_1+k\vec{u}_2\right)</math></center>

Esto nos permite calcular el vector normal a la trayectoria como

<center><math>|\vec{a}_n| = \frac{v_0^2\mathrm{e}^{k\theta}}{b(1+k^2)}\sqrt{1+k^2}</math>{{tose}}<math>\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n} = -\frac{\vec{u}_1+k\vec{u}_2}{\sqrt{1+k^2}}</math></center>

==Centros de curvatura==
===Radio de curvatura===
Una vez que tenemos la aceleración normal y la celeridad, hallamos el radio de curvatura en cada punto de la trayectoria

<center><math>R = \frac{v^2}{a_n}=\frac{v_0^2 b\sqrt{1+k^2}}{v_0^2\mathrm{e}^{k\theta}} = b\sqrt{1+k^2}\mathrm{e}^{-k\theta}</math></center>

Vemos que a medida que aumenta <math>\theta</math>, el radio de la curvatura se reduce, lo que corresponde a que la curva es cada vez más cerrada.

===Centros de curvatura===
Una vez que tenemos el radio de curvatura y el vector normal, podemos localizar los centros de curvatura

<center><math>\vec{r}_c = \vec{r}+R\vec{N}=b\vec{u}_1\mathrm{e}^{-k\theta}+ b\sqrt{1+k^2}\mathrm{e}^{-k\theta}\left(-\frac{\vec{u}_1+k\vec{u}_2}{\sqrt{1+k^2}}\right)=-bk\mathrm{e}^{-k\theta}\vec{u}_2</math></center>

Esto quiere decir que el conjunto de los sucesivos centros de curvatura (lo que se denomina técnicamente la ''evoluta'') forma otra espiral logarítmica.