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Problemas de Cinemática del sólido rígido (MR G.I.C.)

2026-09-03T20:57:49Z

Antonio: /* Ejemplos de reducciones cinemáticas */

= Problemas del boletín =

==[[Cuestión de cinemática: campo de velocidades de S.R., Diciembre 2012 (F1 GIA)|Campo de velocidades y vector rotación de un sólido rígido]]==
Determine los valores de los parámetros <math>\lambda</math>, <math>\mu</math> y <math>\nu</math> para que los vectores

<center><math>\vec{v}_O=v_0\!\ \vec{\imath}\mathrm{;}\quad\vec{v}_A=\lambda\!\ \vec{\jmath}+\frac{v_0}{2}\ \vec{k}\mathrm{;}\quad \vec{v}_B=v_0\!\ \vec{\imath}+\mu\!\ \vec{\jmath}+\nu\!\ \vec{k}</math></center>

describan las velocidades instantáneas de tres puntos de un sólido rígido, cuyas posiciones están dadas por las ternas de coordenadas cartesianas, <math>O(0, 0, 0</math>), <math>A(0, a, 0)</math> y <math>B(0, 0, b)</math>. Calcule también
las componentes del correspondiente vector rotación instantánea.

==[[Velocidad instantánea en tres puntos (MR G.I.C.) | Velocidad instantánea en tres puntos]]==
En un determinado instante, tres puntos de un sólido rígido en movimiento ocupan las posiciones dadas por
<center>
<math>
O(0,0,0); \qquad A(0,a,0); \qquad B(0,0,2a).
</math>
</center>
Las velocidades instantáneas de esos puntos, medidas en el mismo sistema de referencia son:
<center>
<math>
\vec{v}^O = v_0\,\vec{\imath}; \qquad \vec{v}^A=\dfrac{v_0}{2}\,\vec{k}; \qquad \vec{v}^B=v_0\,(\vec{\imath} - \vec{\jmath}).
</math>
</center>
#Calcula la reducción cinemática en el punto <math>O </math> de dicho movimiento instantáneo y averigua de qué tipo de movimiento se trata.
#Calcula el vector velocidad instantánea de los puntos con velocidad mínima.
#Obtén las expresión vectorial del lugar geométrico formado por los puntos con velocidad mínima.

==[[Ejemplos de reducciones cinemáticas (G.I.A.) | Ejemplos de reducciones cinemáticas]]==
Encuentra las reducciones cinemáticas instantáneas pedidas de cada uno de estos movimientos
# Una rueda de radio <math>R</math> que gira con velocidad angular constante <math>\omega</math> alrededor de un eje perpendicular a ella que pasa por su centro. Encuentra la reducción canónica.
# Una rueda de radio <math>R</math> rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal de modo que su centro avanza con velocidad uniforme <math>v_0\,</math>. Encuentra la reducción en el centro y la reducción canónica.
# Una rueda de radio <math>R</math> rueda y desliza con velocidad angular <math>\omega</math> alrededor de un eje perpendicular a ella, de modo que el punto de contacto con el suelo tiene una vez relativa a éste de módulo <math>v_{des}</math>. Encuentra la reducción en el punto de contacto y la reducción canónica.
# Un tornillo gira con velocidad angular uniforme <math>\omega</math> y avanza con velocidad uniforme <math>v</math> paralelamente a su eje. Encuentra la reducción en el punto más alto de la superficie frontal del tornillo y la reducción canónica.

==[[Triángulo en movimiento helicoidal|Triángulo en movimiento helicoidal]]==

El triángulo de vértices <math>A</math>, <math>B</math>, y <math>C</math> constituye un sólido rígido en movimiento respecto al sistema de referencia fijo <math>OXYZ</math>. De dicho movimiento se conocen los siguientes datos:
# Los vértices <math>A</math> y <math>B</math> permanecen en todo instante sobre el eje <math>OZ</math>, desplazándose ambos con igual velocidad instantánea <math>\vec{v}^A=\vec{v}^B=v(t)\,\vec{k}</math>.
# El vértice <math>C</math> se mueve describiendo la hélice <math>\Gamma</math>, que en el sistema <math>OXYZ</math> está descrita por las ecuaciones paramétricas:
[[Archivo:el_triangulo.gif|right]]

<center>
<math>
\Gamma:\vec{r}=\vec{r}(\theta)
\left\{
\begin{array}{l}
x(\theta) = R\,\cos\theta\\
y(\theta) = R\,\,\mathrm{sen}\,\theta\\
z(\theta) = h\,\theta\\
\end{array}
\right.
</math>
</center>
donde <math>R</math> y <math>h</math> son constantes conocidas.
Se pide:
# Indicar de forma razonada cual es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento en este movimiento. Determinar el vector rotación total en términos de los datos expresados en el enunciado.
# Expresar la componente normal de la aceleración del vértice <math>C</math> en un instante cualquiera, en función de los datos del enunciado.
# Para el caso en que <math>v(t)=v_0</math> (cte), y <math>h=R/2</math>, calcular la aceleración del vértice <math>C</math>. Determinar la ley horaria <math>s=s(t)</math> con que el punto <math>C</math> describe su trayectoria.

==[[Ejercicio_de_cinemática_del_sólido_rígido,_Febrero_2013_(F1_GIA)|Propiedades cinemáticas instantáneas de pieza triangular]]==
[[Archivo:ejer_cin_sr_feb_13_1.gif|right]]Una pieza triangular <math>ABC</math> se mueve respecto de un sistema de referencia <math>OXYZ</math>, comportándose como un sólido rígido. Los vértices <math>C</math> y <math>B</math> de la pieza van recorriendo los ejes <math>OZ</math> y <math>OY</math>, respecti-vamente, mientras que el vértice <math>A</math> se desplaza siempre contenido en el plano <math>OXY</math>. En un determinado instante, cuando los vértices ocupan las posiciones de coordenadas

<center><math>A(a,a,0)\mathrm{;}\quad B(0,2a,0)\mathrm{;}\quad C(0,0,2a)</math></center>

la velocidad instantánea del vértice <math>B</math> es <math>\vec{v}^B=v_0\!\ \vec{\jmath}</math>. Determine, para dicho instante de tiempo:

# Velocidad del vértice <math>A</math> y vector rotación instantánea.
# Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento.
# Derivada instantánea del vector rotación, sabiendo que el vértice <math>B</math> se mueve con velocidad instantánea constante.

==[[Disco desenrollándose de una cuerda (G.I.A.) | Disco desenrollándose de una cuerda]]==
[[Archivo:el_yo_yo_0.gif|right]]Un disco de radio <math>R</math> gira y cae, siempre contenido en el plano vertical <math>OXY</math>, mientras se desenrrolla de una cuerda que pende verticalmente, y cuya longitud aumenta según la ley horaria <math>l(t)=R+K\!\ t^2</math> (donde <math>K</math> es una constante conocida).
# Obtenga la reducción cinemática que describe el movimiento instantáneo del disco.
# Velocidad y aceleración instantáneas del punto <math>B</math> indicado en la figura.

Velocidad decreciente con la posición

2026-09-03T20:56:40Z

Antonio: /* Tiempo de viaje */

==Enunciado==
Mediante una serie de sensores se mide la velocidad de un vehículo en puntos equiespaciados, obteniéndose la tabla

{| class="bordeado"
|-
! <math>x\,(\mathrm{m})</math>
| 0.0
| 100.0
| 200.0
| 300.0
| 400.0
| 500.0
|-
! <math>v\,(\mathrm{km}/\mathrm{h})</math>
| 108
| 90
| 72
| 54
| 36
| 18
|}
# ¿Qué ley sencilla cumple la velocidad como función de la posición?
# Determine la aceleración como función de <math>x</math>. ¿Se trata de un movimiento uniformemente acelerado?
# Halle el valor de la aceleración en cada uno de los puntos de medida.
# Calcule el tiempo empleado en recorrer los 500 m. Si continúa con este movimiento, ¿cuánto tardará en recorrer 600 m?
==Velocidad como función de la posición==
Antes de nada, pasamos los valores de las velocidades al SI. Para pasar km/h a m/s hay que multiplicar por el factor de conversión

<center><math>\frac{10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}} = 1</math></center>

Esto nos da la tabla

{| class="bordeado"
|-
! <math>x\,(\mathrm{m})</math>
| 0.0
| 100.0
| 200.0
| 300.0
| 400.0
| 500.0
|-
! <math>v\,(\mathrm{m}/\mathrm{s})</math>
| 30
| 25
| 20
| 15
| 10
| 5
|}

y de aquí es inmediato ver qué ley cumple la velocidad como función de la posición:

<center><math>v(x) = 30-\frac{5x}{100} = 30-0.05x</math></center>

estando la posición medida en metros y la velocidad en m/s.

==Aceleración como función de la posición==
La aceleración se obtiene derivando la velocidad ''respecto al tiempo''. Puesto que lo que tenemos es la velocidad como función de la posición, para hallar la aceleración debemos emplear la regla de la cadena

<center><math>a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}</math></center>

La derivada de la posición respecto al tiempo es justamente la velocidad, por lo que

<center><math>a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,v = (-0.05)(30-0.05x) = -1.50+0.0025x\qquad (\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)</math></center>

donde la aceleración se mide en m y la aceleración en m/s².

Puesto que la aceleración va variando con la posición, no se trata de un movimiento uniformemente acelerado.
==Valores particulares de la aceleración==
Para hallar la aceleración en posiciones concretas basta con sustituir en la fórmula anterior o aplicar que en este caso

<center><math>a = -0.05v\,</math></center>

Esto nos da la tabla

{| class="bordeado"
|-
! <math>x\,(\mathrm{m})</math>
| 0.0
| 100.0
| 200.0
| 300.0
| 400.0
| 500.0
|-
! <math>a\,(\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)</math>
| -1.50
| -1.25
| -1.00
| -0.75
| -0.50
| -0.25
|}

Vemos que, como la velocidad, va disminuyendo linealmente con la posición.

==Tiempo de viaje==
Para obtener la posición como función del tiempo debemos integrar la ecuación

<center><math>v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 30-0.05x</math></center>

Sin embargo, esto no puede hacerse integrando alegremente respecto al tiempo (¡ni mucho menos respecto a la posición!), ya que en el segundo miembro aparece la propia posición que queremos hallar.

Esto se resuelve escribiendo la ecuación en la forma

<center><math>\mathrm{d}x = (30-0.05x)\,\mathrm{d}t \qquad\Rightarrow\qquad \frac{\mathrm{d}x}{30-0.05x}=\mathrm{d}t</math></center>

que nos da el tiempo <math>\mathrm{d}t</math> necesario para recorrer una pequeña distancia <math>\mathrm{d}x</math>. Sumando todos los diferenciales (esto es, integrando), obtenemos el tiempo necesario en llegar a cualquier posición.

<center><math>\int_0^x\frac{\mathrm{d}x}{30-0.05x}=\int_0^t\mathrm{d}t</math></center>

Calculando las dos integrales

<center><math>-\frac{1}{0.05}\ln\left(\frac{30-0.05x}{30}\right) = t\,</math></center>

Para <math>x = 500\,\mathrm{m}</math> se requiere un tiempo

<center><math>t_{500} = 20\ln(6)\,\mathrm{s}=35.84\,\mathrm{s}</math></center>

Parecería que, si en vez de recorrer 500 m pedimos que recorra 600, tardará como un 20% más. Pero no es así. Sustituyendo x por 600 nos queda

<center><math>t_{600}=-20\ln\left(\frac{0}{30}\right)\to \infty</math></center>

es decir, requiere un tiempo infinito para recorrer esta distancia. La razón es que la velocidad está decayendo exponencialmente con el tiempo, por lo que cada nuevo avance requiere cada vez más tiempo.

[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo (GIOI)]]

Problemas de Movimiento Plano (GITI)

2026-01-09T13:02:57Z

Antonio: /* 6.1. Movimiento de un aro en un pasador */

==[[Movimiento de un aro en un pasador|6.1. Movimiento de un aro en un pasador]]==
[[Archivo:aro-pasador.png|right]]

Sea un aro de centro <math>C</math> y radio <math>R</math> (sólido “2”) que se mueve, en un plano fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido <math>1</math>), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto <math>O</math>, y además se halla articulado en su punto <math>A</math> a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal <math>OX_1</math> (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes <math>AX_2Y_2</math> (sólido <math>2</math>) solidario con el aro en su movimiento.

# Determine gráfica y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
# Sabiendo que el ángulo <math>\theta</math>, que forman los ejes <math>OX_1</math> y <math>AX_2</math>, verifica la ley horaria <math>\theta(t)=\Omega t</math> (donde <math>\Omega</math> es una constante conocida), calcule <math>\vec{v}^{A}_{21}(t)</math> y <math>\vec{a}^{\, C}_{21}(t)</math>.

==[[Movimiento de barra en un pasador|6.2. Movimiento de barra en un pasador]]==
[[Archivo:barra-pasador.png|right]]
La barra <math>AB</math> (sólido “2”), de longitud <math>2a</math>, puede deslizar en su extremo A por el eje <math>OX_1</math> de la escuadra fija <math>OX_1Y_1</math> (sólido “1”), al mismo tiempo que desliza por el interior de un pasador orientable ubicado en el punto C del eje <math>OY_1</math>, a una distancia <math>a</math> del origen O. Sabiendo que la barra gira con velocidad angular constante <math>\Omega</math> (ley horaria <math>\theta(t)=\Omega t</math>, donde <math>\theta</math> es el ángulo definido en la figura), se pide:

# Determinar gráficamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
# Calcular las velocidades, <math>\vec{v}^{A}_{21}(t)</math> y <math>\vec{v}^{B}_{21}(t)</math>, y las aceleraciones, <math>\vec{a}^{A}_{21}(t)</math> y <math>\vec{a}^{B}_{21}(t)</math>, de los dos extremos de la barra en cualquier instante de tiempo.
# Determinar analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.

==[[Barra apoyada en placa|6.3. Barra apoyada en placa]]==
[[Archivo:barra-apoyada-caja.png|right]]
El esquema de la figura muestra una placa cuadrada de lado <math>a</math> (sólido “0”), uno de cuyos lados desliza sobre el eje horizontal fijo <math>OX_1</math> (sólido “1”), mientras que la placa permanece contenida siempre en el plano vertical fijo <math>OX_1Y_1</math>. Sobre el vértice A de dicha placa se apoya en todo instante una varilla delgada (sólido “2”), que gira con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{21}=\Omega \vec{k}_1</math>, alrededor de su extremo articulado en el punto fijo O (ver figura). Se pide:

# Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}</math>, <math>I_{02}</math> e <math>I_{01}</math>.
# Calcular: i) La velocidad del vértice A de la placa en el movimiento de ésta respecto de los ejes fijos (movimiento {01}), expresada en función de la posición del sistema: <math>\vec{v}_{\! 01}^A=\vec{v}_{01}^A(\theta)</math>. ii) La velocidad angular <math>\vec{\omega}_{02}</math>, correspondiente al movimiento relativo de la placa respecto de la varilla (movimiento {02}).
# Determinar analíticamente la posición del CIR del movimiento {02} (en función del ángulo <math>\theta</math>).

==[[Disco rodando en pared (Ex.Sep/12)|6.4. Disco rodando en pared (Ex.Sep/12)]]==
[[Archivo:disco-blanca.png|right]]

El plano vertical fijo <math>O_1X_1Y_1\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "2"), y una barra <math>BC\,</math> de longitud <math>L\,</math> (sólido "0"). El disco rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>O_1Y_1\,</math>, avanzando su centro <math>C\,</math> con velocidad constante <math>\vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v_0\,\vec{\jmath}_1\,</math>. Y, como consecuencia, también la barra se mueve, ya que su extremo <math>C\,</math> está articulado al centro del disco, mientras que su extremo <math>B\,</math> está articulado a un deslizador que lo obliga a recorrer el eje <math>O_1X_1\,</math>.

Como parámetro descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la barra <math>BC\,</math> con respecto a la vertical (ver figura). Se pide:

# Determinar gráficamente la posición de los tres centros instantáneos de rotación: <math>I_{21}\,</math>, <math>I_{20}\,</math> y <math>I_{01}\,</math>.
# Calcular todas las velocidades angulares en función de la posición, es decir: <math>\vec{\omega}_{21}(\theta)\,,</math> <math>\vec{\omega}_{01}(\theta)\,</math> y <math>\vec{\omega}_{20}(\theta)\,</math>.
# Calcular las aceleraciones <math>\vec{a}^{\, C}_{01}\,</math> y <math>\vec{a}^{\, A}_{21}\,</math> (ver <math>A\,</math> en la figura).


==[[Disco apoyado en placa|6.5. Disco apoyado en placa]]==
[[Archivo:disco-apoyado-caja.png|right]]
El sistema mecánico de la figura está constituido por los siguientes sólidos rígidos: El plano fijo <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido “1”); la placa cuadrada, de lado <math>L</math>, que desliza sobre el eje <math>O_1X_1</math>, manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él (sólido “3”); el disco, de centro en C y radio <math>R</math>, que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje <math>O_1Y_1</math> en el punto de contacto B, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto A (sólido “2”) y el sistema de ejes <math>AX_0Y_0</math>, definido de tal modo que el eje <math>AY_0</math> contiene
permanentemente al centro C del disco, mientras que el eje <math>AX_0</math> es tangente a dicho disco (sólido “0”).

# Para el instante considerado en la figura, determine gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}</math>, <math>I_{20}</math>, <math>I_{03}</math>, <math>I_{23}</math> e <math>I_{01}</math>.
# Utilizando como parámetro el ángulo <math>\theta</math> del dibujo (ángulo que forma el eje <math>AX_0</math> con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a {21} = {20} + {03} + {31} halle las siguientes reducciones cinemáticas en C: <math>\{\vec{\omega}_{20}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\;
C}_{20}(\theta,\dot{\theta})\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{03}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\;
C}_{03}(\theta,\dot{\theta})\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{31}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{31}(\theta,\dot{\theta})\}</math> y <math>\{\vec{\omega}_{21}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{21}(\theta,\dot{\theta})\}</math>.

==[[Disco en manivela ranurada|6.6. Disco en manivela ranurada]]==
[[Archivo:disco-manivela-ranurada.png|right]]
El sistema de la figura está constituido por un plano vertical fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido “1”) que en todo instante contiene a otros dos sólidos en movimiento: un disco de radio <math>R</math> y centro <math>C</math> (sólido “2”), que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal <math>OX_1</math>; y una manivela ranurada <math>OA</math> (sólido “0”), que es obligada a girar con velocidad angular constante <math>\Omega</math> alrededor de un eje permanente de rotación que pasa por el punto <math>O</math> y es perpendicular al plano fijo definido como sólido “1” (eje <math>OZ_1</math>). Los movimientos de ambos sólidos se hallan vinculados entre sí porque el centro C del disco está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la manivela.

Considerando el movimiento {20} como el movimiento problema, se pide:

# Haciendo uso de procedimientos gráficos, determinar la posición del CIR de dicho movimiento {20}.
# Utilizando como parámetro geométrico el ángulo <math>\theta</math> indicado en la figura, obtener la reducción cinemática del movimiento {20} en el punto C, <math>\{\vec{\omega}_{20} (\theta), \vec{v}_{20}^{\, C} (\theta)\}</math>.
# Clasificar el movimiento {20} en el instante en que <math>\theta=\pi/2</math> especificando si se trata de rotación, traslación, movimiento helicoidal o reposo.

==[[Movimiento de dos varillas articuladas|6.7. Movimiento de dos varillas articuladas]]==
[[Archivo:Dos-varillas-articuladas.png|right]]
El mecanismo de la figura está constituido por dos varillas rígidas (sólidos “2” y “0”), de grosor despreciable y longitud indefinida, que se mueven en el plano fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido “1”). La varilla “2” se desplaza verticalmente hacia arriba con velocidad constante <math>v</math>, manteniéndose siempre paralela al eje <math>OY_{\! 1}</math> y a una distancia <math>c</math> de éste; mientras que la varilla “0”, articulada a la anterior en su extremo común A, desliza por el interior de un pasador giratorio ubicado en el punto O del sólido “1”. Utilizando el ángulo <math>\theta</math> (definido en la figura) como parámetro descriptivo del movimiento, se pide:

# Reducción cinemática de los movimientos {21}, {20} y {01} en el punto O, es decir: <math>\{\vec{\omega}_{21};\;\vec{v}^{\,O}_{21}\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{20};\;\vec{v}^{\,O}_{20}\}</math> y <math>\{\vec{\omega}_{01};\;\vec{v}^{\,O}_{01}\}</math>.
# Determinación gráfica y determinación analítica de la posición del punto <math>I_{01}</math>, centro instantáneo de rotación del movimiento {01}.
# Cálculo de las aceleraciones <math>\vec{a}^{A}_{01}</math> y <math>\vec{a}^{\, O}_{01}</math>.

'''Nota:''' Para resolver el ejercicio, se propone el uso de la base vectorial asociada al sistema de ejes <math>AX_{0}Y_0</math> de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla “0” y cuyo eje <math>AX_{0}</math> es colineal con ella.

==[[Barra horizontal apoyada en disco|6.8. Barra horizontal apoyada en disco]]==
[[Archivo:barra-apoyada-disco.png|right]]
El sistema de la figura consta de un disco (sólido “0”), de centro O y radio <math>R</math>, que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal <math>O_1X_1</math>
de la escuadra fija <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido “1”); y de una barra de longitud indefinida (sólido “2”), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante <math>v_0</math>, manteniéndose siempre en contacto tangente con el perímetro del disco (punto <math>A</math>) y sin deslizar sobre éste. Se pide:

# Reducciones cinemáticas de los movimientos {21}, {01} y {20} en el centro del disco (punto O), es decir: <math>\{\vec{\omega}_{\! 21};\,\vec{v}^{\, O}_{21}\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{\,01};\,\vec{v}^{\, O}_{\,01}\}</math> y <math>\{\vec{\omega}_{\,20};\,\vec{v}^{\, O}_{20}\}</math>.
# Aceleración relativa barra-disco del punto de contacto <math>A</math>, es decir: <math>\vec{a}^{A}_{20}</math>.

==[[Placa en escuadra rotatoria|6.9. Placa en escuadra rotatoria]]==
[[Archivo:placa-escuadra.png|right]]
Se tiene un sistema formado por un plano horizontal (sólido “1”) en uno de cuyos puntos, O, se encuentra articulada una escuadra (sólido “0”) formada por dos barras ortogonales entre sí. Esta escuadra gira en torno a O, resultando variable el ángulo <math>\theta(t)</math> que forma la barra <math>OX_0</math> con el plano horizontal “1” (ver figura). Sobre la escuadra se encuentra permanentemente apoyada por sus vértices inferiores, A y B, una placa cuadrada de lado <math>L</math>, cuyo lado inferior AB mantiene en todo momento su horizontalidad respecto al plano “1”.

# En función del ángulo <math>\theta</math>, localice geométricamente de forma razonada el centro instantáneo de rotación del movimiento {20}. Exprese su vector de posición relativo al punto O tanto en la base ligada al sólido “0” como en la ligada al sólido “1”. ¿Dónde se localiza el CIR del movimiento {21}?
# En función de <math>\theta</math> y de <math>\dot{\theta}</math>, calcule las velocidades de deslizamiento de la placa “2” respecto a la escuadra “0” en los puntos de contacto A y B.

==[[Engranaje concéntrico|6.10. Engranaje concéntrico]]==
[[Archivo:Engranaje-concentrico.png|right]]
Se tiene un engranaje formado por un eje central sobre el cual va montado un disco de radio <math>a</math> (sólido “2”) y un anillo exterior estacionario (sólido “1”), de radio <math>b</math>. Entre el disco central y el anillo exterior se encuentra un sistema de dos discos iguales (“3”) y (“4”) que ruedan sin deslizar sobre ambas superficies. Los centros de estos discos se encuentran unidos por una barra articulada “5”. En un momento dado, el disco central se encuentra girando con velocidad angular <math>\Omega</math> respecto al anillo fijo exterior y los centros de los discos 3 y 4 se encuentran sobre el eje <math>OX_1\,</math>.

# Determine las velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{31}</math>, <math>\vec{\omega}_{41}</math> y <math>\vec{\omega}_{51}</math>.
# ¿Qué tipo de movimiento efectúa el disco 3 respecto al 4? ¿Con qué velocidad?

==[[No Boletín - Aro y varilla con un pasador (Ex.Ene/16)]]==
[[Archivo:varilla-aro.png|right]]

Sea una varilla rígida (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"), de tal modo que está obligada a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto <math>O\,</math>, y además se halla articulada en su extremo <math>A\,</math> a un deslizador que recorre un aro fijo (sólido "1") de radio <math>R\,</math> y centro en el punto <math>C\,</math> (de posición <math>\overrightarrow{OC}=R\,\vec{\imath}_1\,</math>).

Se define también la escuadra auxiliar <math>OX_0Y_0\,</math> (sólido "0") de la figura, cuyo eje <math>OX_0\,</math> es colineal con la varilla en todo instante, y en cuya base asociada <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0\}\,</math> deberán expresarse todas las magnitudes vectoriales solicitadas en este ejercicio.

Denominando <math>\theta\,</math> al ángulo que forma la varilla con el eje <math>OX_1\,</math> (ver figura), y sabiendo que
<math>\dot{\theta}=\Omega\,\mathrm{(cte)}\,</math>, se pide:

# Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación <math>I_{20}\,</math>, <math>I_{01}\,</math> e <math>I_{21}.\,</math>
# Cálculo de las velocidades <math>\vec{v}^{\,A}_{20}(\theta)\,</math>, <math>\vec{v}^{\,A}_{01}(\theta)\,</math> y <math>\vec{v}^{\,A}_{21}(\theta).\,</math>
# Cálculo de las aceleraciones <math>\vec{a}^{\,A}_{20}(\theta)\,</math>, <math>\vec{a}^{\,A}_{01}(\theta)\,</math> y <math>\vec{a}^{\,A}_{21}(\theta).\,</math>
# Cálculo de la velocidad <math>\vec{v}^{\,O}_{21}(\theta)\,</math> y la aceleración <math>\vec{a}^{\,O}_{21}(\theta).\,</math>
# Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación <math>I_{21}\,</math>, es decir, <math>\overrightarrow{
OI_{21}}(\theta).\,</math>

==[[No Boletín - Barra oblicua apoyada en disco (Ex.Dic/11)]]==
[[Archivo:barra-disco.png|right]]

Se tiene un sistema de tres sólidos: una superficie horizontal fija (sólido "1"), una barra (sólido "0") articulada en un punto <math>O\,</math> de la superficie horizontal, y un disco
(sólido "2") de radio <math>R\,</math>. La barra se encuentra apoyada en el disco. El disco rueda sin deslizar sobre el suelo, moviéndose hacia la izquierda, empujando a la barra en su movimiento, de forma que el ángulo <math>\theta(t)\,</math> va aumentando (ver figura). Localice gráficamente las posiciones de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}\,</math>, <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{01.}\,</math>

Suponga que el disco tiene radio <math>R=20\,\mathrm{cm}</math> y que en un instante dado su punto de contacto con el suelo <math>A\,</math> se encuentra a una distancia <math>D=20\,\mathrm{cm}</math> de <math>O\,.</math> En ese momento el ángulo <math>\theta\,</math> crece con derivada <math>\dot{\theta}=0.5\,\mathrm{rad/s}\,.</math> Para ese instante:

# Calcule las velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{21}\,</math>, <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> y <math>\vec{\omega}_{01.}\,</math>
# Indique los vectores de posición, respecto al sistema de ejes "1", de los centros instantáneos de rotación.
# Halle la velocidad de deslizamiento del disco respecto a la barra en el punto de contacto <math>P\,.</math>

==[[No Boletín - Cuestión sobre cálculo gráfico del C.I.R. (Ex.Sep/15)]]==
[[Archivo:dos-vel.png|right]]

Sea <math>OXY\,</math> el plano director en el movimiento plano de cierto sólido rígido. En el diagrama adjunto se representan las posiciones y velocidades de dos puntos (<math>A\,</math> y <math>B\,</math>) de dicho sólido en un instante dado. La cuadrícula del diagrama es tal que cada celdilla corresponde a la unidad en el SI (Sistema Internacional) de la magnitud representada.

# Determine el vector de posición del centro instantáneo de rotación <math>I.\,</math>
# Calcule la velocidad instantánea del punto del sólido rígido que se halla en <math>O\,</math>

==[[No Boletín - Disco rodando sobre escuadra giratoria (Ex.Ene/12)]]==
[[Archivo:disco-sobre-escuadra.png|right]]

Un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "2"), contenido en el plano <math>OX_0Y_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX_0\,</math> (sólido "0"), de tal modo que su centro <math>C\,</math> avanza con velocidad relativa constante <math>\vec{v}^{\, C}_{20}=v_0\,\vec{\imath}_{0}\,</math>. Al mismo tiempo, la escuadra <math>OX_0Y_0\,</math> (sólido "0"), articulada en su punto <math>O\,</math> al origen de coordenadas de la escuadra fija y coplanaria <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"), rota con velocidad angular absoluta constante <math>\vec{\omega}_{01}=\omega_{0}\,\vec{k}_1\,</math> alrededor del eje fijo <math>OZ_1\,</math>. La posición del sistema que se representa en la figura, y a la cual se refieren las siguientes preguntas, corresponde al instante <math>t=t^{*}\,</math>.

# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{21}\,</math>?
# Determine la aceleración instantánea <math>\vec{a}^{A}_{21}\,</math> (ver <math>A\,</math> en figura).
# ¿En qué caso particular el movimiento {21} es una traslación?

==[[No Boletín - Disco rueda sin deslizar sobre triángulo (Ex.Feb/17)]]==
[[Archivo:triangulo-disco.png|right]]
El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>O_1X_1Y_1\,</math> (sólido "1"), está constituido por un triángulo <math>ABC\,</math> (sólido "2") que desliza sobre el eje <math>O_1X_1\,</math>, manteniendo su lado <math>AC\,</math> completo en contacto con dicho eje; y por un disco (sólido "0"), de centro <math>O\,</math>, que rueda sin deslizar sobre el lado <math>AB\,</math> del triángulo, y a la vez rueda y desliza sobre el eje <math>O_1Y_1\,</math>.

¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{01}\,</math>?

<math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{01}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{01}\equiv F\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{01}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{01}\equiv D</math>

==[[No Boletín - Disco y varilla con un pasador (Ex.Feb/14)]]==
[[Archivo:varilla-disco-pasador.png|right]]

El plano vertical fijo <math>OX_{1}Y_{1}\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "2") y una varilla de grosor despreciable y longitud indefinida (sólido "0"). El
disco "2" rueda y desliza sobre el eje <math>OX_{1}\,</math> de tal modo que su centro <math>C\,</math> avanza con velocidad constante en el tiempo <math>\vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v\,\vec{\imath}_1\,</math> (siendo <math>v\,</math> una constante positiva conocida), mientras que en cada instante el punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OX_{1}\,</math> tiene velocidad instantánea <math>\vec{v}^{\, A}_{21}=2\,v\,\vec{\imath}_1\,</math>. Al mismo tiempo, la varilla "0", que tiene un extremo articulado al centro <math>C\,</math> del disco "2", se ve obligada a deslizar por el interior de un pasador orientable ubicado en el punto <math>O\,</math> del sólido "1".

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define en la figura el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la varilla con respecto al eje <math>OX_{1}\,</math>. Determine:

# Todas las reducciones cinemáticas en el punto <math>O\,</math>, es decir: <math>\{\vec{\omega}_{21};\,\vec{v}^{\, O}_{21}\}\,</math>, <math>\{\vec{\omega}_{20};\,\vec{v}^{\, O}_{20}\}\,</math> y <math>\,\{\vec{\omega}_{01};\,\vec{v}^{\, O}_{01}\}\,</math>.
# Las posiciones de los tres centros instantáneos de rotación: <math>I_{21}\,</math> (analíticamente), <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (gráficamente).
# Las aceleraciones <math>\vec{a}^{A}_{21}\,</math> y <math>\vec{a}^{I_{21}}_{21}\,</math>.

'''Nota:''' Para responder al primer apartado, se recomienda trabajar en la base vectorial asociada al sistema de ejes <math>CX_{0}Y_0\,</math> de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla "0" y cuyo eje <math>CX_{0}\,</math> es colineal con ella.

==[[No Boletín - Disco y varilla guiada (Ex.Ene/15)]]==
[[Archivo:disco-varilla-guiada.png|right]]

El mecanismo de la figura está formado por un disco rígido (sólido "2") de radio <math>R\,</math>, que rueda sin deslizar (punto <math>D\,</math>) sobre el eje horizontal <math>OX_1\,</math> de la escuadra fija <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"), y cuyo centro <math>C\,</math> avanza con velocidad constante <math>\vec{v}^{\,C}_{21}=v\,\vec{\imath}_1\,</math>; y por una varilla rígida (sólido "0") de grosor despreciable y longitud indefinida, la cual rueda sin deslizar (punto <math>B\,</math>) sobre el citado disco, mientras que su
extremo <math>A\,</math> está obligado a recorrer una guía horizontal fija de ecuación <math>y_{1}=R\,</math>.

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del mecanismo, se define el ángulo <math>\theta\,</math> de la figura. Se pide:

# Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}\,</math>, <math>I_{02}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>.
# Reducción cinemática del movimiento <math>\{21\}\,</math> en el punto <math>B\,</math>, es decir, <math>\{\vec{\omega}_{21}(\theta);\,\vec{v}^{\,B}_{21}(\theta)\}\,</math>.
# Reducción cinemática del movimiento <math>\{01\}\,</math> en el punto <math>A\,</math>, es decir, <math>\{\vec{\omega}_{01}(\theta);\,\vec{v}^{\,A}_{01}(\theta)\}\,</math>.
# Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación <math>I_{01}\,</math>, es decir,<math>\overrightarrow{AI_{01}}(\theta)\,</math>.

'''Aviso:''' Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de <math>\theta\,</math>, <math>R\,</math> y/o <math>v\,</math>, pero NO en función de <math>\dot{\theta}\,</math>.

==[[No Boletín - Disco y varilla sobre un escalón (Ex.Jun/13)]]==
[[Archivo:varilla-disco-escalon.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano <math>OX_{1}Y_{1}\,</math>, está constituido por un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "0") y una varilla de longitud indefinida (sólido "2"), ambos vinculados y moviéndose sobre un escalón (sólido "1"). El disco rueda sin deslizar sobre la parte superior del escalón (eje <math>OX_{1}\,</math>), mientras que su centro <math>C\,</math> avanza con una velocidad linealmente creciente con el tiempo <math>\vec{v}^{\, C}_{01}(t)=at\,\vec{\imath}_1\,</math> (siendo <math>a\,</math> una constante positiva conocida). La varilla tiene uno de sus extremos articulado al centro <math>C\,</math> del disco, y se mantiene apoyada en todo instante sobre el borde del escalón (punto <math>O\,</math>).

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define en la figura el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la varilla con respecto al eje <math>OX_{1}\,</math>. Para un instante genérico <math>t\,</math>, determine:

# Posición gráfica de los centros instantáneos de rotación de los movimientos {01}, {20} y {21}.
# Aceleración <math>\vec{a}^{D}_{01}\,</math> del punto del disco en contacto con la parte superior del escalón.
# Velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{21}\,</math> del punto de la varilla en contacto con el borde del escalón, velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> de la varilla respecto al disco, y aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{21}\,</math> de la varilla.

==[[No Boletín - Dos discos (Ex.Feb/14)]]==
[[Archivo:dos-discos.png|right]]

El disco móvil de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el disco fijo de centro <math>O\,</math> y radio <math>2R\,</math> (sólido "1"). Los centros de ambos discos se encuentran articulados a los extremos de una varilla (sólido "0") que rota con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0\,</math> (ver figura).

# ¿Dónde se hallan los centros instantáneos (o permanentes) de rotación <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{21}\,</math>?
# Determine la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{B}_{21}\,</math>
# Determine la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}\,</math>

==[[No Boletín - Dos discos II (Ex.Ene/15)]]==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el disco anterior a la vez que se mantiene en contacto tangente con el eje <math>OY\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <math>\mathrm{(a)}\,\vec{v}^{\, B}_{21}\times\vec{\jmath}=\vec{0}\,\,\mathrm{(b)}\,\vec{v}^{\, E}_{21}\cdot\vec{\jmath}=0\,\,\mathrm{(c)}\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\mathrm{(d)}\,\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{01}</math>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{21}\,\,</math>? <math>\mathrm{(a)}\,I_{21}\equiv E\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,I_{21}\equiv F\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,I_{21}\equiv G\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,I_{21}\equiv H</math>

==[[No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)]]==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

<math>\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}</math>

<math>\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math>

# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>?

<math>\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math>

==[[No Boletín - Dos discos y dos barras (Ex.Ene/19)]]==
[[Archivo:dos-discos-dos-barras.png|right]]

El sistema mecánico de la figura está constituido por cuatro sólidos móviles (las barras "0" y "4", y los discos "2" y "3"), los cuales se mantienen siempre contenidos en el plano fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). El disco "2", de radio <math>R\,</math>, rota con velocidad angular constante <math>2\,\omega\,</math> (en el sentido indicado en la figura) alrededor de su centro fijo <math>B\,</math>. El disco "3", de radio <math>2R\,</math>, rota con velocidad angular constante <math>2\,\omega\,</math> (en el sentido indicado en la figura) alrededor de su centro fijo <math>E\,</math>. Las barras "0" y "4", de longitudes indefinidas, experimentan sendas traslaciones verticales respecto al plano fijo <math>OX_1Y_1\,</math> al ser arrastradas respectivamente por las rotaciones de los discos con los que mantienen contacto permanente, ya que el disco "2" rueda sin deslizar sobre la barra "0", y el disco "3" rueda sin deslizar sobre la barra "4".

# ¿Con qué velocidades se trasladan las barras?
# ¿Cómo se clasifica el movimiento <math>\{23\}\,</math>?
# ¿Dónde está el centro instantáneo de rotación <math>I_{42}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración del punto <math>C\,</math> de contacto entre ambos discos en el movimiento <math>\{32\}\,</math>?

==[[No Boletín - Dos varillas (Ex.Ene/16)]]==
[[Archivo:varilla-varilla.png|right]]
El sistema mecánico de la figura está constituido por dos varillas móviles, <math>\,AB\,</math> (sólido "2") y <math>\,OD\,</math> (sólido "0"), ambas de grosor despreciable e igual longitud <math>\,2a,\,</math> y contenidas siempre en el plano fijo <math>\,OXY\,</math> (sólido "1"). Cada varilla se encuentra articulada en un punto fijo: la primera en su centro <math>\,C(a,0)\,</math> y la segunda en su extremo <math>\,O(0,0).\,</math> Además, ambas varillas se mueven vinculadas entre sí porque la varilla <math>\,OD\,</math> posee una
acanaladura longitudinal por la cual desliza el extremo <math>\,A\,</math> de la varilla <math>\,AB.\,</math> Se utiliza el ángulo <math>\,\theta ,\,</math> formado por la varilla <math>\,AB\,</math> y el eje <math>\,OX,\,</math> como parámetro descriptivo del movimiento del
sistema.

'''Nota:''' Obsérvese que, con ayuda del triángulo isósceles <math>\,OAC\,</math> de la figura, se puede determinar (en función de <math>\,\theta\,</math>) el ángulo formado por la varilla <math>\,OD\,</math> y el eje <math>\,OX,\,</math> o también el ángulo formado por ambas varillas.

Determine las siguientes magnitudes:

# Velocidad angular <math>\,\vec{\omega}_{20}\,</math>
# Velocidad <math>\,\vec{v}^{\,O} _{20}\,</math>
# Vector de posición <math>\,\overrightarrow{OI_{20}}</math> del centro instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}</math>

==[[No Boletín - Eje con un disco por encima y otro por debajo (Ex.Ene/13)]]==
[[Archivo:biciclo.png|right]]

Los sólidos "2" y "0" son dos discos de radio <math>R\,</math> vinculados entre sí al hallarse sus centros articulados, respectivamente, a los dos extremos de la varilla rígida <math>AB\,</math> (sólido "3"). Ambos discos están rodando sin deslizar sobre un eje horizontal
(sólido "1") simultánea y permanentemente, aunque -tal como muestra la figura- el disco "2" lo está haciendo por encima del eje, mientras que el disco "0" lo está haciendo por debajo del mismo.

# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math>?
# ¿Qué tipo de movimiento es el {31}?

==[[No Boletín - Guía ranurada horizontal y manivela (Ex.Sep/15)]]==
[[Archivo:ranurada-horizontal.png|right]]

El plano fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos en movimiento: una guía horizontal ranurada (sólido "0"), que se traslada verticalmente hacia abajo con celeridad constante <math>v_0\,</math>; y la manivela <math>OC\,</math> (sólido "2") de longitud <math>L\,</math>, que rota alrededor del eje fijo <math>OZ_1\,</math>. Los movimientos de los sólidos "2" y "0" se hallan vinculados entre sí porque el extremo <math>C\,</math> de la manivela está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la guía.

Utilizando el ángulo <math>\theta\,</math> definido en la figura como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se pide:

# Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación <math>I_{01}\,</math>, <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{20}.\,</math>
# Reducciones cinemáticas de los movimientos <math>\{01\}\,</math>, <math>\{20\}\,</math> y <math>\{21\}\,</math> en el punto <math>C.\,</math>
# Determinación de la velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{20}\,</math>, las aceleraciones <math>\vec{a}^{\, O}_{20}\,</math> y <math>\vec{a}^{\, C}_{21}\,</math>, y la aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{21}.\,</math>

'''Aviso:''' Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de <math>\,\theta\,</math>, <math>L\,\,</math> y/o <math>\,v_0\,</math>, pero NO en función de <math>\,\dot{\theta}\,\,</math> ni de <math>\,\ddot{\theta}.\,</math>

==[[No Boletín - Placa cuadrada deslizando sobre escuadra giratoria (Ex.Ene/18)]]==
[[Archivo:cuadrado-en-rampa.png|right]]
Una placa cuadrada (sólido "2"), contenida en el plano <math>OX_0Y_0\,</math>, desliza sobre el eje <math>OX_0\,</math> (sólido "0") con velocidad relativa constante <math>\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{20}(t)=v\,\vec{\imath}_0\,</math>. Al mismo tiempo, la escuadra <math>OX_0Y_0\,</math> (sólido "0"), articulada en el punto <math>O\,</math> a la escuadra fija y coplanaria <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"), rota alrededor del eje fijo <math>OZ_1\,</math> con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_1\,</math>.

# Determine el vector de posición del C.I.R. del movimiento <math>\{21\}\,</math>.
# Determine la aceleración del punto <math>O\,</math> en el movimiento <math>\{21\}\,</math>.

==[[No Boletín - Placa cuadrada que empuja a un disco (Ex.Sep/14)]]==
[[Archivo:placa-disco.png|right]]

El sistema de la figura está constituido por tres sólidos rígidos: la escuadra fija <math>OXY\,</math> (sólido "1"); una placa cuadrada (sólido "0") que se traslada con velocidad constante <math>\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}(t)=v_0\vec{\imath}\,</math> y cuyo lado inferior está completamente en contacto con el eje <math>OX\,</math>; y un disco (sólido "2"), de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, que rota con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{21}(t)=-\omega\,\vec{k}\,</math>, y que en todo instante mantiene contacto puntual con el eje <math>OX\,</math> (punto <math>A\,</math>) y con la placa cuadrada que lo empuja (punto <math>B\,</math>).

# ¿Cuánto vale la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{A}_{21}</math>?
# ¿Y la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{B}_{20}</math>?
# ¿Dónde se halla situado el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}</math>?

==[[No Boletín - Punto de aceleración nula (Ex.Feb/17)]]==
Considérese un sólido rígido que realiza un movimiento plano arbitrario pero con una velocidad angular <math>\vec{\omega}\,</math> constante en el tiempo y no nula. Sea <math>A\,</math> un punto cualquiera del sólido en el plano director (con velocidad <math>\vec{v}_{A}\,</math> y aceleración <math>\vec{a}_{A}\,</math>). Entonces, se puede comprobar que dicho sólido tiene en el plano director un punto <math>H</math> cuya aceleración es nula (<math>\vec{a}_{H}=\vec{0}\,</math>).

Determine el vector <math>\overrightarrow{AH}</math> que define la posición del punto de aceleración nula respecto al punto <math>A\,</math>.

==[[No Boletín - Varilla cuyos dos extremos deslizan (Ex.Dic/12)]]==
[[Archivo:escalera-wiki.png|right]]

La varilla <math>AB\,</math> (sólido "2"), de longitud <math>L\,</math>, realiza un movimiento plano respecto a la escuadra fija <math>OXY\,</math> (sólido "1"). Los extremos de dicha varilla se encuentran articulados a sendos deslizadores, de tal modo que <math>A\,</math> está obligado a moverse a lo largo del eje <math>OX\,</math>, mientras que <math>B\,</math> está obligado a moverse a lo largo del
eje <math>OY\,</math>.

# ¿Dónde está el C.I.R.{21} cuando la posición de la varilla es la representada en la figura?
# Para la ley horaria <math>\theta=\Omega\,t\,</math> (siendo <math>\Omega\,</math> constante), ¿son nulas la velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{21}</math> y/o la aceleración <math>\vec{a}^{\, O}_{21}</math>?

==[[No Boletín - Varilla ortogonal en manivela (Ex.Ene/13)]]==
[[Archivo:manivela-varilla.png|right]]

El plano vertical fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos rígidos en movimiento
vinculados entre sí: la manivela ranurada <math>OA\,</math> (sólido "0"), que realiza una rotación de eje permanente alrededor de <math>OZ_1\,</math>; y la varilla <math>BD\,</math> (sólido "2"), de longitud <math>2R\,</math>, la cual se mantiene siempre perpendicular a la manivela <math>OA\,</math> mientras su centro <math>C\,</math> recorre la ranura de la misma y su extremo <math>B\,</math> se apoya y desliza sobre el eje <math>OX_1\,</math> permanentemente.

Como parámetro descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la manivela <math>OA\,</math> con respecto al eje <math>OX_1\,</math> (ver figura). Se pide:

# Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación <math>I_{01}\,</math>, <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{21}\,</math>.
# Calcular todas las reducciones cinemáticas en el punto <math>B\,</math>, es decir, <math>\{\vec{\omega}_{01}(\theta,\dot{\theta});\,\vec{v}^{\, B}_{01}(\theta,\dot{\theta})\}\,</math>, <math>\{\vec{\omega}_{20}(\theta,\dot{\theta});\,\vec{v}^{\,
B}_{20}(\theta,\dot{\theta})\}\,</math> y <math>\{\vec{\omega}_{21}(\theta,\dot{\theta});\,\vec{v}^{\, B}_{21}(\theta,\dot{\theta})\}\,</math>.
# Determinar analíticamente la posición de <math>I_{21}\,</math> (en función de <math>\theta\,</math>).


[[Categoría:Problemas de Movimiento Plano (GITI)|0]]
[[Categoría:Problemas resueltos de Física I (GITI)|7]]

Problemas de Movimiento Plano (GITI)

2026-01-09T13:02:32Z

Antonio: /* 6.1. Movimiento de un aro en un pasador */

==[[Movimiento de un aro en un pasador|6.1. Movimiento de un aro en un pasador]]==
[[Archivo:aro-pasador.png|right]]

Sea un aro de centro <math>C</math> y radio <math>R</math> (sólido “2”) que se mueve, en un plano fijo OX_1Y_1 (sólido <math>1</math>), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto <math>O</math>, y además se halla articulado en su punto <math>A</math> a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal <math>OX_1</math> (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes <math>AX_2Y_2</math> (sólido <math>2</math>) solidario con el aro en su movimiento.

# Determine gráfica y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
# Sabiendo que el ángulo <math>\theta</math>, que forman los ejes <math>OX_1</math> y <math>AX_2</math>, verifica la ley horaria <math>\theta(t)=\Omega t</math> (donde <math>\Omega</math> es una constante conocida), calcule <math>\vec{v}^{A}_{21}(t)</math> y <math>\vec{a}^{\, C}_{21}(t)</math>.

==[[Movimiento de barra en un pasador|6.2. Movimiento de barra en un pasador]]==
[[Archivo:barra-pasador.png|right]]
La barra <math>AB</math> (sólido “2”), de longitud <math>2a</math>, puede deslizar en su extremo A por el eje <math>OX_1</math> de la escuadra fija <math>OX_1Y_1</math> (sólido “1”), al mismo tiempo que desliza por el interior de un pasador orientable ubicado en el punto C del eje <math>OY_1</math>, a una distancia <math>a</math> del origen O. Sabiendo que la barra gira con velocidad angular constante <math>\Omega</math> (ley horaria <math>\theta(t)=\Omega t</math>, donde <math>\theta</math> es el ángulo definido en la figura), se pide:

# Determinar gráficamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
# Calcular las velocidades, <math>\vec{v}^{A}_{21}(t)</math> y <math>\vec{v}^{B}_{21}(t)</math>, y las aceleraciones, <math>\vec{a}^{A}_{21}(t)</math> y <math>\vec{a}^{B}_{21}(t)</math>, de los dos extremos de la barra en cualquier instante de tiempo.
# Determinar analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.

==[[Barra apoyada en placa|6.3. Barra apoyada en placa]]==
[[Archivo:barra-apoyada-caja.png|right]]
El esquema de la figura muestra una placa cuadrada de lado <math>a</math> (sólido “0”), uno de cuyos lados desliza sobre el eje horizontal fijo <math>OX_1</math> (sólido “1”), mientras que la placa permanece contenida siempre en el plano vertical fijo <math>OX_1Y_1</math>. Sobre el vértice A de dicha placa se apoya en todo instante una varilla delgada (sólido “2”), que gira con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{21}=\Omega \vec{k}_1</math>, alrededor de su extremo articulado en el punto fijo O (ver figura). Se pide:

# Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}</math>, <math>I_{02}</math> e <math>I_{01}</math>.
# Calcular: i) La velocidad del vértice A de la placa en el movimiento de ésta respecto de los ejes fijos (movimiento {01}), expresada en función de la posición del sistema: <math>\vec{v}_{\! 01}^A=\vec{v}_{01}^A(\theta)</math>. ii) La velocidad angular <math>\vec{\omega}_{02}</math>, correspondiente al movimiento relativo de la placa respecto de la varilla (movimiento {02}).
# Determinar analíticamente la posición del CIR del movimiento {02} (en función del ángulo <math>\theta</math>).

==[[Disco rodando en pared (Ex.Sep/12)|6.4. Disco rodando en pared (Ex.Sep/12)]]==
[[Archivo:disco-blanca.png|right]]

El plano vertical fijo <math>O_1X_1Y_1\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "2"), y una barra <math>BC\,</math> de longitud <math>L\,</math> (sólido "0"). El disco rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>O_1Y_1\,</math>, avanzando su centro <math>C\,</math> con velocidad constante <math>\vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v_0\,\vec{\jmath}_1\,</math>. Y, como consecuencia, también la barra se mueve, ya que su extremo <math>C\,</math> está articulado al centro del disco, mientras que su extremo <math>B\,</math> está articulado a un deslizador que lo obliga a recorrer el eje <math>O_1X_1\,</math>.

Como parámetro descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la barra <math>BC\,</math> con respecto a la vertical (ver figura). Se pide:

# Determinar gráficamente la posición de los tres centros instantáneos de rotación: <math>I_{21}\,</math>, <math>I_{20}\,</math> y <math>I_{01}\,</math>.
# Calcular todas las velocidades angulares en función de la posición, es decir: <math>\vec{\omega}_{21}(\theta)\,,</math> <math>\vec{\omega}_{01}(\theta)\,</math> y <math>\vec{\omega}_{20}(\theta)\,</math>.
# Calcular las aceleraciones <math>\vec{a}^{\, C}_{01}\,</math> y <math>\vec{a}^{\, A}_{21}\,</math> (ver <math>A\,</math> en la figura).


==[[Disco apoyado en placa|6.5. Disco apoyado en placa]]==
[[Archivo:disco-apoyado-caja.png|right]]
El sistema mecánico de la figura está constituido por los siguientes sólidos rígidos: El plano fijo <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido “1”); la placa cuadrada, de lado <math>L</math>, que desliza sobre el eje <math>O_1X_1</math>, manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él (sólido “3”); el disco, de centro en C y radio <math>R</math>, que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje <math>O_1Y_1</math> en el punto de contacto B, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto A (sólido “2”) y el sistema de ejes <math>AX_0Y_0</math>, definido de tal modo que el eje <math>AY_0</math> contiene
permanentemente al centro C del disco, mientras que el eje <math>AX_0</math> es tangente a dicho disco (sólido “0”).

# Para el instante considerado en la figura, determine gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}</math>, <math>I_{20}</math>, <math>I_{03}</math>, <math>I_{23}</math> e <math>I_{01}</math>.
# Utilizando como parámetro el ángulo <math>\theta</math> del dibujo (ángulo que forma el eje <math>AX_0</math> con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a {21} = {20} + {03} + {31} halle las siguientes reducciones cinemáticas en C: <math>\{\vec{\omega}_{20}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\;
C}_{20}(\theta,\dot{\theta})\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{03}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\;
C}_{03}(\theta,\dot{\theta})\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{31}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{31}(\theta,\dot{\theta})\}</math> y <math>\{\vec{\omega}_{21}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{21}(\theta,\dot{\theta})\}</math>.

==[[Disco en manivela ranurada|6.6. Disco en manivela ranurada]]==
[[Archivo:disco-manivela-ranurada.png|right]]
El sistema de la figura está constituido por un plano vertical fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido “1”) que en todo instante contiene a otros dos sólidos en movimiento: un disco de radio <math>R</math> y centro <math>C</math> (sólido “2”), que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal <math>OX_1</math>; y una manivela ranurada <math>OA</math> (sólido “0”), que es obligada a girar con velocidad angular constante <math>\Omega</math> alrededor de un eje permanente de rotación que pasa por el punto <math>O</math> y es perpendicular al plano fijo definido como sólido “1” (eje <math>OZ_1</math>). Los movimientos de ambos sólidos se hallan vinculados entre sí porque el centro C del disco está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la manivela.

Considerando el movimiento {20} como el movimiento problema, se pide:

# Haciendo uso de procedimientos gráficos, determinar la posición del CIR de dicho movimiento {20}.
# Utilizando como parámetro geométrico el ángulo <math>\theta</math> indicado en la figura, obtener la reducción cinemática del movimiento {20} en el punto C, <math>\{\vec{\omega}_{20} (\theta), \vec{v}_{20}^{\, C} (\theta)\}</math>.
# Clasificar el movimiento {20} en el instante en que <math>\theta=\pi/2</math> especificando si se trata de rotación, traslación, movimiento helicoidal o reposo.

==[[Movimiento de dos varillas articuladas|6.7. Movimiento de dos varillas articuladas]]==
[[Archivo:Dos-varillas-articuladas.png|right]]
El mecanismo de la figura está constituido por dos varillas rígidas (sólidos “2” y “0”), de grosor despreciable y longitud indefinida, que se mueven en el plano fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido “1”). La varilla “2” se desplaza verticalmente hacia arriba con velocidad constante <math>v</math>, manteniéndose siempre paralela al eje <math>OY_{\! 1}</math> y a una distancia <math>c</math> de éste; mientras que la varilla “0”, articulada a la anterior en su extremo común A, desliza por el interior de un pasador giratorio ubicado en el punto O del sólido “1”. Utilizando el ángulo <math>\theta</math> (definido en la figura) como parámetro descriptivo del movimiento, se pide:

# Reducción cinemática de los movimientos {21}, {20} y {01} en el punto O, es decir: <math>\{\vec{\omega}_{21};\;\vec{v}^{\,O}_{21}\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{20};\;\vec{v}^{\,O}_{20}\}</math> y <math>\{\vec{\omega}_{01};\;\vec{v}^{\,O}_{01}\}</math>.
# Determinación gráfica y determinación analítica de la posición del punto <math>I_{01}</math>, centro instantáneo de rotación del movimiento {01}.
# Cálculo de las aceleraciones <math>\vec{a}^{A}_{01}</math> y <math>\vec{a}^{\, O}_{01}</math>.

'''Nota:''' Para resolver el ejercicio, se propone el uso de la base vectorial asociada al sistema de ejes <math>AX_{0}Y_0</math> de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla “0” y cuyo eje <math>AX_{0}</math> es colineal con ella.

==[[Barra horizontal apoyada en disco|6.8. Barra horizontal apoyada en disco]]==
[[Archivo:barra-apoyada-disco.png|right]]
El sistema de la figura consta de un disco (sólido “0”), de centro O y radio <math>R</math>, que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal <math>O_1X_1</math>
de la escuadra fija <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido “1”); y de una barra de longitud indefinida (sólido “2”), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante <math>v_0</math>, manteniéndose siempre en contacto tangente con el perímetro del disco (punto <math>A</math>) y sin deslizar sobre éste. Se pide:

# Reducciones cinemáticas de los movimientos {21}, {01} y {20} en el centro del disco (punto O), es decir: <math>\{\vec{\omega}_{\! 21};\,\vec{v}^{\, O}_{21}\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{\,01};\,\vec{v}^{\, O}_{\,01}\}</math> y <math>\{\vec{\omega}_{\,20};\,\vec{v}^{\, O}_{20}\}</math>.
# Aceleración relativa barra-disco del punto de contacto <math>A</math>, es decir: <math>\vec{a}^{A}_{20}</math>.

==[[Placa en escuadra rotatoria|6.9. Placa en escuadra rotatoria]]==
[[Archivo:placa-escuadra.png|right]]
Se tiene un sistema formado por un plano horizontal (sólido “1”) en uno de cuyos puntos, O, se encuentra articulada una escuadra (sólido “0”) formada por dos barras ortogonales entre sí. Esta escuadra gira en torno a O, resultando variable el ángulo <math>\theta(t)</math> que forma la barra <math>OX_0</math> con el plano horizontal “1” (ver figura). Sobre la escuadra se encuentra permanentemente apoyada por sus vértices inferiores, A y B, una placa cuadrada de lado <math>L</math>, cuyo lado inferior AB mantiene en todo momento su horizontalidad respecto al plano “1”.

# En función del ángulo <math>\theta</math>, localice geométricamente de forma razonada el centro instantáneo de rotación del movimiento {20}. Exprese su vector de posición relativo al punto O tanto en la base ligada al sólido “0” como en la ligada al sólido “1”. ¿Dónde se localiza el CIR del movimiento {21}?
# En función de <math>\theta</math> y de <math>\dot{\theta}</math>, calcule las velocidades de deslizamiento de la placa “2” respecto a la escuadra “0” en los puntos de contacto A y B.

==[[Engranaje concéntrico|6.10. Engranaje concéntrico]]==
[[Archivo:Engranaje-concentrico.png|right]]
Se tiene un engranaje formado por un eje central sobre el cual va montado un disco de radio <math>a</math> (sólido “2”) y un anillo exterior estacionario (sólido “1”), de radio <math>b</math>. Entre el disco central y el anillo exterior se encuentra un sistema de dos discos iguales (“3”) y (“4”) que ruedan sin deslizar sobre ambas superficies. Los centros de estos discos se encuentran unidos por una barra articulada “5”. En un momento dado, el disco central se encuentra girando con velocidad angular <math>\Omega</math> respecto al anillo fijo exterior y los centros de los discos 3 y 4 se encuentran sobre el eje <math>OX_1\,</math>.

# Determine las velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{31}</math>, <math>\vec{\omega}_{41}</math> y <math>\vec{\omega}_{51}</math>.
# ¿Qué tipo de movimiento efectúa el disco 3 respecto al 4? ¿Con qué velocidad?

==[[No Boletín - Aro y varilla con un pasador (Ex.Ene/16)]]==
[[Archivo:varilla-aro.png|right]]

Sea una varilla rígida (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"), de tal modo que está obligada a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto <math>O\,</math>, y además se halla articulada en su extremo <math>A\,</math> a un deslizador que recorre un aro fijo (sólido "1") de radio <math>R\,</math> y centro en el punto <math>C\,</math> (de posición <math>\overrightarrow{OC}=R\,\vec{\imath}_1\,</math>).

Se define también la escuadra auxiliar <math>OX_0Y_0\,</math> (sólido "0") de la figura, cuyo eje <math>OX_0\,</math> es colineal con la varilla en todo instante, y en cuya base asociada <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0\}\,</math> deberán expresarse todas las magnitudes vectoriales solicitadas en este ejercicio.

Denominando <math>\theta\,</math> al ángulo que forma la varilla con el eje <math>OX_1\,</math> (ver figura), y sabiendo que
<math>\dot{\theta}=\Omega\,\mathrm{(cte)}\,</math>, se pide:

# Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación <math>I_{20}\,</math>, <math>I_{01}\,</math> e <math>I_{21}.\,</math>
# Cálculo de las velocidades <math>\vec{v}^{\,A}_{20}(\theta)\,</math>, <math>\vec{v}^{\,A}_{01}(\theta)\,</math> y <math>\vec{v}^{\,A}_{21}(\theta).\,</math>
# Cálculo de las aceleraciones <math>\vec{a}^{\,A}_{20}(\theta)\,</math>, <math>\vec{a}^{\,A}_{01}(\theta)\,</math> y <math>\vec{a}^{\,A}_{21}(\theta).\,</math>
# Cálculo de la velocidad <math>\vec{v}^{\,O}_{21}(\theta)\,</math> y la aceleración <math>\vec{a}^{\,O}_{21}(\theta).\,</math>
# Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación <math>I_{21}\,</math>, es decir, <math>\overrightarrow{
OI_{21}}(\theta).\,</math>

==[[No Boletín - Barra oblicua apoyada en disco (Ex.Dic/11)]]==
[[Archivo:barra-disco.png|right]]

Se tiene un sistema de tres sólidos: una superficie horizontal fija (sólido "1"), una barra (sólido "0") articulada en un punto <math>O\,</math> de la superficie horizontal, y un disco
(sólido "2") de radio <math>R\,</math>. La barra se encuentra apoyada en el disco. El disco rueda sin deslizar sobre el suelo, moviéndose hacia la izquierda, empujando a la barra en su movimiento, de forma que el ángulo <math>\theta(t)\,</math> va aumentando (ver figura). Localice gráficamente las posiciones de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}\,</math>, <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{01.}\,</math>

Suponga que el disco tiene radio <math>R=20\,\mathrm{cm}</math> y que en un instante dado su punto de contacto con el suelo <math>A\,</math> se encuentra a una distancia <math>D=20\,\mathrm{cm}</math> de <math>O\,.</math> En ese momento el ángulo <math>\theta\,</math> crece con derivada <math>\dot{\theta}=0.5\,\mathrm{rad/s}\,.</math> Para ese instante:

# Calcule las velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{21}\,</math>, <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> y <math>\vec{\omega}_{01.}\,</math>
# Indique los vectores de posición, respecto al sistema de ejes "1", de los centros instantáneos de rotación.
# Halle la velocidad de deslizamiento del disco respecto a la barra en el punto de contacto <math>P\,.</math>

==[[No Boletín - Cuestión sobre cálculo gráfico del C.I.R. (Ex.Sep/15)]]==
[[Archivo:dos-vel.png|right]]

Sea <math>OXY\,</math> el plano director en el movimiento plano de cierto sólido rígido. En el diagrama adjunto se representan las posiciones y velocidades de dos puntos (<math>A\,</math> y <math>B\,</math>) de dicho sólido en un instante dado. La cuadrícula del diagrama es tal que cada celdilla corresponde a la unidad en el SI (Sistema Internacional) de la magnitud representada.

# Determine el vector de posición del centro instantáneo de rotación <math>I.\,</math>
# Calcule la velocidad instantánea del punto del sólido rígido que se halla en <math>O\,</math>

==[[No Boletín - Disco rodando sobre escuadra giratoria (Ex.Ene/12)]]==
[[Archivo:disco-sobre-escuadra.png|right]]

Un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "2"), contenido en el plano <math>OX_0Y_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX_0\,</math> (sólido "0"), de tal modo que su centro <math>C\,</math> avanza con velocidad relativa constante <math>\vec{v}^{\, C}_{20}=v_0\,\vec{\imath}_{0}\,</math>. Al mismo tiempo, la escuadra <math>OX_0Y_0\,</math> (sólido "0"), articulada en su punto <math>O\,</math> al origen de coordenadas de la escuadra fija y coplanaria <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"), rota con velocidad angular absoluta constante <math>\vec{\omega}_{01}=\omega_{0}\,\vec{k}_1\,</math> alrededor del eje fijo <math>OZ_1\,</math>. La posición del sistema que se representa en la figura, y a la cual se refieren las siguientes preguntas, corresponde al instante <math>t=t^{*}\,</math>.

# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{21}\,</math>?
# Determine la aceleración instantánea <math>\vec{a}^{A}_{21}\,</math> (ver <math>A\,</math> en figura).
# ¿En qué caso particular el movimiento {21} es una traslación?

==[[No Boletín - Disco rueda sin deslizar sobre triángulo (Ex.Feb/17)]]==
[[Archivo:triangulo-disco.png|right]]
El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>O_1X_1Y_1\,</math> (sólido "1"), está constituido por un triángulo <math>ABC\,</math> (sólido "2") que desliza sobre el eje <math>O_1X_1\,</math>, manteniendo su lado <math>AC\,</math> completo en contacto con dicho eje; y por un disco (sólido "0"), de centro <math>O\,</math>, que rueda sin deslizar sobre el lado <math>AB\,</math> del triángulo, y a la vez rueda y desliza sobre el eje <math>O_1Y_1\,</math>.

¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{01}\,</math>?

<math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{01}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{01}\equiv F\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{01}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{01}\equiv D</math>

==[[No Boletín - Disco y varilla con un pasador (Ex.Feb/14)]]==
[[Archivo:varilla-disco-pasador.png|right]]

El plano vertical fijo <math>OX_{1}Y_{1}\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "2") y una varilla de grosor despreciable y longitud indefinida (sólido "0"). El
disco "2" rueda y desliza sobre el eje <math>OX_{1}\,</math> de tal modo que su centro <math>C\,</math> avanza con velocidad constante en el tiempo <math>\vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v\,\vec{\imath}_1\,</math> (siendo <math>v\,</math> una constante positiva conocida), mientras que en cada instante el punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OX_{1}\,</math> tiene velocidad instantánea <math>\vec{v}^{\, A}_{21}=2\,v\,\vec{\imath}_1\,</math>. Al mismo tiempo, la varilla "0", que tiene un extremo articulado al centro <math>C\,</math> del disco "2", se ve obligada a deslizar por el interior de un pasador orientable ubicado en el punto <math>O\,</math> del sólido "1".

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define en la figura el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la varilla con respecto al eje <math>OX_{1}\,</math>. Determine:

# Todas las reducciones cinemáticas en el punto <math>O\,</math>, es decir: <math>\{\vec{\omega}_{21};\,\vec{v}^{\, O}_{21}\}\,</math>, <math>\{\vec{\omega}_{20};\,\vec{v}^{\, O}_{20}\}\,</math> y <math>\,\{\vec{\omega}_{01};\,\vec{v}^{\, O}_{01}\}\,</math>.
# Las posiciones de los tres centros instantáneos de rotación: <math>I_{21}\,</math> (analíticamente), <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (gráficamente).
# Las aceleraciones <math>\vec{a}^{A}_{21}\,</math> y <math>\vec{a}^{I_{21}}_{21}\,</math>.

'''Nota:''' Para responder al primer apartado, se recomienda trabajar en la base vectorial asociada al sistema de ejes <math>CX_{0}Y_0\,</math> de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla "0" y cuyo eje <math>CX_{0}\,</math> es colineal con ella.

==[[No Boletín - Disco y varilla guiada (Ex.Ene/15)]]==
[[Archivo:disco-varilla-guiada.png|right]]

El mecanismo de la figura está formado por un disco rígido (sólido "2") de radio <math>R\,</math>, que rueda sin deslizar (punto <math>D\,</math>) sobre el eje horizontal <math>OX_1\,</math> de la escuadra fija <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"), y cuyo centro <math>C\,</math> avanza con velocidad constante <math>\vec{v}^{\,C}_{21}=v\,\vec{\imath}_1\,</math>; y por una varilla rígida (sólido "0") de grosor despreciable y longitud indefinida, la cual rueda sin deslizar (punto <math>B\,</math>) sobre el citado disco, mientras que su
extremo <math>A\,</math> está obligado a recorrer una guía horizontal fija de ecuación <math>y_{1}=R\,</math>.

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del mecanismo, se define el ángulo <math>\theta\,</math> de la figura. Se pide:

# Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}\,</math>, <math>I_{02}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>.
# Reducción cinemática del movimiento <math>\{21\}\,</math> en el punto <math>B\,</math>, es decir, <math>\{\vec{\omega}_{21}(\theta);\,\vec{v}^{\,B}_{21}(\theta)\}\,</math>.
# Reducción cinemática del movimiento <math>\{01\}\,</math> en el punto <math>A\,</math>, es decir, <math>\{\vec{\omega}_{01}(\theta);\,\vec{v}^{\,A}_{01}(\theta)\}\,</math>.
# Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación <math>I_{01}\,</math>, es decir,<math>\overrightarrow{AI_{01}}(\theta)\,</math>.

'''Aviso:''' Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de <math>\theta\,</math>, <math>R\,</math> y/o <math>v\,</math>, pero NO en función de <math>\dot{\theta}\,</math>.

==[[No Boletín - Disco y varilla sobre un escalón (Ex.Jun/13)]]==
[[Archivo:varilla-disco-escalon.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano <math>OX_{1}Y_{1}\,</math>, está constituido por un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "0") y una varilla de longitud indefinida (sólido "2"), ambos vinculados y moviéndose sobre un escalón (sólido "1"). El disco rueda sin deslizar sobre la parte superior del escalón (eje <math>OX_{1}\,</math>), mientras que su centro <math>C\,</math> avanza con una velocidad linealmente creciente con el tiempo <math>\vec{v}^{\, C}_{01}(t)=at\,\vec{\imath}_1\,</math> (siendo <math>a\,</math> una constante positiva conocida). La varilla tiene uno de sus extremos articulado al centro <math>C\,</math> del disco, y se mantiene apoyada en todo instante sobre el borde del escalón (punto <math>O\,</math>).

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define en la figura el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la varilla con respecto al eje <math>OX_{1}\,</math>. Para un instante genérico <math>t\,</math>, determine:

# Posición gráfica de los centros instantáneos de rotación de los movimientos {01}, {20} y {21}.
# Aceleración <math>\vec{a}^{D}_{01}\,</math> del punto del disco en contacto con la parte superior del escalón.
# Velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{21}\,</math> del punto de la varilla en contacto con el borde del escalón, velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> de la varilla respecto al disco, y aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{21}\,</math> de la varilla.

==[[No Boletín - Dos discos (Ex.Feb/14)]]==
[[Archivo:dos-discos.png|right]]

El disco móvil de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el disco fijo de centro <math>O\,</math> y radio <math>2R\,</math> (sólido "1"). Los centros de ambos discos se encuentran articulados a los extremos de una varilla (sólido "0") que rota con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0\,</math> (ver figura).

# ¿Dónde se hallan los centros instantáneos (o permanentes) de rotación <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{21}\,</math>?
# Determine la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{B}_{21}\,</math>
# Determine la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}\,</math>

==[[No Boletín - Dos discos II (Ex.Ene/15)]]==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el disco anterior a la vez que se mantiene en contacto tangente con el eje <math>OY\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <math>\mathrm{(a)}\,\vec{v}^{\, B}_{21}\times\vec{\jmath}=\vec{0}\,\,\mathrm{(b)}\,\vec{v}^{\, E}_{21}\cdot\vec{\jmath}=0\,\,\mathrm{(c)}\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\mathrm{(d)}\,\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{01}</math>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{21}\,\,</math>? <math>\mathrm{(a)}\,I_{21}\equiv E\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,I_{21}\equiv F\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,I_{21}\equiv G\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,I_{21}\equiv H</math>

==[[No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)]]==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

<math>\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}</math>

<math>\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math>

# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>?

<math>\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math>

==[[No Boletín - Dos discos y dos barras (Ex.Ene/19)]]==
[[Archivo:dos-discos-dos-barras.png|right]]

El sistema mecánico de la figura está constituido por cuatro sólidos móviles (las barras "0" y "4", y los discos "2" y "3"), los cuales se mantienen siempre contenidos en el plano fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). El disco "2", de radio <math>R\,</math>, rota con velocidad angular constante <math>2\,\omega\,</math> (en el sentido indicado en la figura) alrededor de su centro fijo <math>B\,</math>. El disco "3", de radio <math>2R\,</math>, rota con velocidad angular constante <math>2\,\omega\,</math> (en el sentido indicado en la figura) alrededor de su centro fijo <math>E\,</math>. Las barras "0" y "4", de longitudes indefinidas, experimentan sendas traslaciones verticales respecto al plano fijo <math>OX_1Y_1\,</math> al ser arrastradas respectivamente por las rotaciones de los discos con los que mantienen contacto permanente, ya que el disco "2" rueda sin deslizar sobre la barra "0", y el disco "3" rueda sin deslizar sobre la barra "4".

# ¿Con qué velocidades se trasladan las barras?
# ¿Cómo se clasifica el movimiento <math>\{23\}\,</math>?
# ¿Dónde está el centro instantáneo de rotación <math>I_{42}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración del punto <math>C\,</math> de contacto entre ambos discos en el movimiento <math>\{32\}\,</math>?

==[[No Boletín - Dos varillas (Ex.Ene/16)]]==
[[Archivo:varilla-varilla.png|right]]
El sistema mecánico de la figura está constituido por dos varillas móviles, <math>\,AB\,</math> (sólido "2") y <math>\,OD\,</math> (sólido "0"), ambas de grosor despreciable e igual longitud <math>\,2a,\,</math> y contenidas siempre en el plano fijo <math>\,OXY\,</math> (sólido "1"). Cada varilla se encuentra articulada en un punto fijo: la primera en su centro <math>\,C(a,0)\,</math> y la segunda en su extremo <math>\,O(0,0).\,</math> Además, ambas varillas se mueven vinculadas entre sí porque la varilla <math>\,OD\,</math> posee una
acanaladura longitudinal por la cual desliza el extremo <math>\,A\,</math> de la varilla <math>\,AB.\,</math> Se utiliza el ángulo <math>\,\theta ,\,</math> formado por la varilla <math>\,AB\,</math> y el eje <math>\,OX,\,</math> como parámetro descriptivo del movimiento del
sistema.

'''Nota:''' Obsérvese que, con ayuda del triángulo isósceles <math>\,OAC\,</math> de la figura, se puede determinar (en función de <math>\,\theta\,</math>) el ángulo formado por la varilla <math>\,OD\,</math> y el eje <math>\,OX,\,</math> o también el ángulo formado por ambas varillas.

Determine las siguientes magnitudes:

# Velocidad angular <math>\,\vec{\omega}_{20}\,</math>
# Velocidad <math>\,\vec{v}^{\,O} _{20}\,</math>
# Vector de posición <math>\,\overrightarrow{OI_{20}}</math> del centro instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}</math>

==[[No Boletín - Eje con un disco por encima y otro por debajo (Ex.Ene/13)]]==
[[Archivo:biciclo.png|right]]

Los sólidos "2" y "0" son dos discos de radio <math>R\,</math> vinculados entre sí al hallarse sus centros articulados, respectivamente, a los dos extremos de la varilla rígida <math>AB\,</math> (sólido "3"). Ambos discos están rodando sin deslizar sobre un eje horizontal
(sólido "1") simultánea y permanentemente, aunque -tal como muestra la figura- el disco "2" lo está haciendo por encima del eje, mientras que el disco "0" lo está haciendo por debajo del mismo.

# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math>?
# ¿Qué tipo de movimiento es el {31}?

==[[No Boletín - Guía ranurada horizontal y manivela (Ex.Sep/15)]]==
[[Archivo:ranurada-horizontal.png|right]]

El plano fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos en movimiento: una guía horizontal ranurada (sólido "0"), que se traslada verticalmente hacia abajo con celeridad constante <math>v_0\,</math>; y la manivela <math>OC\,</math> (sólido "2") de longitud <math>L\,</math>, que rota alrededor del eje fijo <math>OZ_1\,</math>. Los movimientos de los sólidos "2" y "0" se hallan vinculados entre sí porque el extremo <math>C\,</math> de la manivela está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la guía.

Utilizando el ángulo <math>\theta\,</math> definido en la figura como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se pide:

# Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación <math>I_{01}\,</math>, <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{20}.\,</math>
# Reducciones cinemáticas de los movimientos <math>\{01\}\,</math>, <math>\{20\}\,</math> y <math>\{21\}\,</math> en el punto <math>C.\,</math>
# Determinación de la velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{20}\,</math>, las aceleraciones <math>\vec{a}^{\, O}_{20}\,</math> y <math>\vec{a}^{\, C}_{21}\,</math>, y la aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{21}.\,</math>

'''Aviso:''' Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de <math>\,\theta\,</math>, <math>L\,\,</math> y/o <math>\,v_0\,</math>, pero NO en función de <math>\,\dot{\theta}\,\,</math> ni de <math>\,\ddot{\theta}.\,</math>

==[[No Boletín - Placa cuadrada deslizando sobre escuadra giratoria (Ex.Ene/18)]]==
[[Archivo:cuadrado-en-rampa.png|right]]
Una placa cuadrada (sólido "2"), contenida en el plano <math>OX_0Y_0\,</math>, desliza sobre el eje <math>OX_0\,</math> (sólido "0") con velocidad relativa constante <math>\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{20}(t)=v\,\vec{\imath}_0\,</math>. Al mismo tiempo, la escuadra <math>OX_0Y_0\,</math> (sólido "0"), articulada en el punto <math>O\,</math> a la escuadra fija y coplanaria <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"), rota alrededor del eje fijo <math>OZ_1\,</math> con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_1\,</math>.

# Determine el vector de posición del C.I.R. del movimiento <math>\{21\}\,</math>.
# Determine la aceleración del punto <math>O\,</math> en el movimiento <math>\{21\}\,</math>.

==[[No Boletín - Placa cuadrada que empuja a un disco (Ex.Sep/14)]]==
[[Archivo:placa-disco.png|right]]

El sistema de la figura está constituido por tres sólidos rígidos: la escuadra fija <math>OXY\,</math> (sólido "1"); una placa cuadrada (sólido "0") que se traslada con velocidad constante <math>\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}(t)=v_0\vec{\imath}\,</math> y cuyo lado inferior está completamente en contacto con el eje <math>OX\,</math>; y un disco (sólido "2"), de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, que rota con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{21}(t)=-\omega\,\vec{k}\,</math>, y que en todo instante mantiene contacto puntual con el eje <math>OX\,</math> (punto <math>A\,</math>) y con la placa cuadrada que lo empuja (punto <math>B\,</math>).

# ¿Cuánto vale la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{A}_{21}</math>?
# ¿Y la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{B}_{20}</math>?
# ¿Dónde se halla situado el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}</math>?

==[[No Boletín - Punto de aceleración nula (Ex.Feb/17)]]==
Considérese un sólido rígido que realiza un movimiento plano arbitrario pero con una velocidad angular <math>\vec{\omega}\,</math> constante en el tiempo y no nula. Sea <math>A\,</math> un punto cualquiera del sólido en el plano director (con velocidad <math>\vec{v}_{A}\,</math> y aceleración <math>\vec{a}_{A}\,</math>). Entonces, se puede comprobar que dicho sólido tiene en el plano director un punto <math>H</math> cuya aceleración es nula (<math>\vec{a}_{H}=\vec{0}\,</math>).

Determine el vector <math>\overrightarrow{AH}</math> que define la posición del punto de aceleración nula respecto al punto <math>A\,</math>.

==[[No Boletín - Varilla cuyos dos extremos deslizan (Ex.Dic/12)]]==
[[Archivo:escalera-wiki.png|right]]

La varilla <math>AB\,</math> (sólido "2"), de longitud <math>L\,</math>, realiza un movimiento plano respecto a la escuadra fija <math>OXY\,</math> (sólido "1"). Los extremos de dicha varilla se encuentran articulados a sendos deslizadores, de tal modo que <math>A\,</math> está obligado a moverse a lo largo del eje <math>OX\,</math>, mientras que <math>B\,</math> está obligado a moverse a lo largo del
eje <math>OY\,</math>.

# ¿Dónde está el C.I.R.{21} cuando la posición de la varilla es la representada en la figura?
# Para la ley horaria <math>\theta=\Omega\,t\,</math> (siendo <math>\Omega\,</math> constante), ¿son nulas la velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{21}</math> y/o la aceleración <math>\vec{a}^{\, O}_{21}</math>?

==[[No Boletín - Varilla ortogonal en manivela (Ex.Ene/13)]]==
[[Archivo:manivela-varilla.png|right]]

El plano vertical fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos rígidos en movimiento
vinculados entre sí: la manivela ranurada <math>OA\,</math> (sólido "0"), que realiza una rotación de eje permanente alrededor de <math>OZ_1\,</math>; y la varilla <math>BD\,</math> (sólido "2"), de longitud <math>2R\,</math>, la cual se mantiene siempre perpendicular a la manivela <math>OA\,</math> mientras su centro <math>C\,</math> recorre la ranura de la misma y su extremo <math>B\,</math> se apoya y desliza sobre el eje <math>OX_1\,</math> permanentemente.

Como parámetro descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la manivela <math>OA\,</math> con respecto al eje <math>OX_1\,</math> (ver figura). Se pide:

# Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación <math>I_{01}\,</math>, <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{21}\,</math>.
# Calcular todas las reducciones cinemáticas en el punto <math>B\,</math>, es decir, <math>\{\vec{\omega}_{01}(\theta,\dot{\theta});\,\vec{v}^{\, B}_{01}(\theta,\dot{\theta})\}\,</math>, <math>\{\vec{\omega}_{20}(\theta,\dot{\theta});\,\vec{v}^{\,
B}_{20}(\theta,\dot{\theta})\}\,</math> y <math>\{\vec{\omega}_{21}(\theta,\dot{\theta});\,\vec{v}^{\, B}_{21}(\theta,\dot{\theta})\}\,</math>.
# Determinar analíticamente la posición de <math>I_{21}\,</math> (en función de <math>\theta\,</math>).


[[Categoría:Problemas de Movimiento Plano (GITI)|0]]
[[Categoría:Problemas resueltos de Física I (GITI)|7]]

Problemas de Movimiento Plano (GITI)

2026-01-09T13:01:56Z

Antonio: /* 6.1. Movimiento de un aro en un pasador */

Problemas de Movimiento Plano (GITI)

2026-01-09T13:01:37Z

Antonio: /* 6.1. Movimiento de un aro en un pasador */

==[[Movimiento de un aro en un pasador|6.1. Movimiento de un aro en un pasador]]==
[[Archivo:aro-pasador.png|right]]

Sea un aro de centro C y radio <math>R</math> (sólido “2”) que se mueve, en un plano fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido <math>1</math>), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto <math>O</math>, y además se halla articulado en su punto <math>A</math> a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal <math>OX_1</math> (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes <math>AX_2Y_2</math> (sólido <math>2</math>) solidario con el aro en su movimiento.

# Determine gráfica y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
# Sabiendo que el ángulo <math>\theta</math>, que forman los ejes <math>OX_1</math> y <math>AX_2</math>, verifica la ley horaria <math>\theta(t)=\Omega t</math> (donde <math>\Omega</math> es una constante conocida), calcule <math>\vec{v}^{A}_{21}(t)</math> y <math>\vec{a}^{\, C}_{21}(t)</math>.

==[[Movimiento de barra en un pasador|6.2. Movimiento de barra en un pasador]]==
[[Archivo:barra-pasador.png|right]]
La barra <math>AB</math> (sólido “2”), de longitud <math>2a</math>, puede deslizar en su extremo A por el eje <math>OX_1</math> de la escuadra fija <math>OX_1Y_1</math> (sólido “1”), al mismo tiempo que desliza por el interior de un pasador orientable ubicado en el punto C del eje <math>OY_1</math>, a una distancia <math>a</math> del origen O. Sabiendo que la barra gira con velocidad angular constante <math>\Omega</math> (ley horaria <math>\theta(t)=\Omega t</math>, donde <math>\theta</math> es el ángulo definido en la figura), se pide:

# Determinar gráficamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
# Calcular las velocidades, <math>\vec{v}^{A}_{21}(t)</math> y <math>\vec{v}^{B}_{21}(t)</math>, y las aceleraciones, <math>\vec{a}^{A}_{21}(t)</math> y <math>\vec{a}^{B}_{21}(t)</math>, de los dos extremos de la barra en cualquier instante de tiempo.
# Determinar analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.

==[[Barra apoyada en placa|6.3. Barra apoyada en placa]]==
[[Archivo:barra-apoyada-caja.png|right]]
El esquema de la figura muestra una placa cuadrada de lado <math>a</math> (sólido “0”), uno de cuyos lados desliza sobre el eje horizontal fijo <math>OX_1</math> (sólido “1”), mientras que la placa permanece contenida siempre en el plano vertical fijo <math>OX_1Y_1</math>. Sobre el vértice A de dicha placa se apoya en todo instante una varilla delgada (sólido “2”), que gira con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{21}=\Omega \vec{k}_1</math>, alrededor de su extremo articulado en el punto fijo O (ver figura). Se pide:

# Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}</math>, <math>I_{02}</math> e <math>I_{01}</math>.
# Calcular: i) La velocidad del vértice A de la placa en el movimiento de ésta respecto de los ejes fijos (movimiento {01}), expresada en función de la posición del sistema: <math>\vec{v}_{\! 01}^A=\vec{v}_{01}^A(\theta)</math>. ii) La velocidad angular <math>\vec{\omega}_{02}</math>, correspondiente al movimiento relativo de la placa respecto de la varilla (movimiento {02}).
# Determinar analíticamente la posición del CIR del movimiento {02} (en función del ángulo <math>\theta</math>).

==[[Disco rodando en pared (Ex.Sep/12)|6.4. Disco rodando en pared (Ex.Sep/12)]]==
[[Archivo:disco-blanca.png|right]]

El plano vertical fijo <math>O_1X_1Y_1\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "2"), y una barra <math>BC\,</math> de longitud <math>L\,</math> (sólido "0"). El disco rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>O_1Y_1\,</math>, avanzando su centro <math>C\,</math> con velocidad constante <math>\vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v_0\,\vec{\jmath}_1\,</math>. Y, como consecuencia, también la barra se mueve, ya que su extremo <math>C\,</math> está articulado al centro del disco, mientras que su extremo <math>B\,</math> está articulado a un deslizador que lo obliga a recorrer el eje <math>O_1X_1\,</math>.

Como parámetro descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la barra <math>BC\,</math> con respecto a la vertical (ver figura). Se pide:

# Determinar gráficamente la posición de los tres centros instantáneos de rotación: <math>I_{21}\,</math>, <math>I_{20}\,</math> y <math>I_{01}\,</math>.
# Calcular todas las velocidades angulares en función de la posición, es decir: <math>\vec{\omega}_{21}(\theta)\,,</math> <math>\vec{\omega}_{01}(\theta)\,</math> y <math>\vec{\omega}_{20}(\theta)\,</math>.
# Calcular las aceleraciones <math>\vec{a}^{\, C}_{01}\,</math> y <math>\vec{a}^{\, A}_{21}\,</math> (ver <math>A\,</math> en la figura).


==[[Disco apoyado en placa|6.5. Disco apoyado en placa]]==
[[Archivo:disco-apoyado-caja.png|right]]
El sistema mecánico de la figura está constituido por los siguientes sólidos rígidos: El plano fijo <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido “1”); la placa cuadrada, de lado <math>L</math>, que desliza sobre el eje <math>O_1X_1</math>, manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él (sólido “3”); el disco, de centro en C y radio <math>R</math>, que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje <math>O_1Y_1</math> en el punto de contacto B, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto A (sólido “2”) y el sistema de ejes <math>AX_0Y_0</math>, definido de tal modo que el eje <math>AY_0</math> contiene
permanentemente al centro C del disco, mientras que el eje <math>AX_0</math> es tangente a dicho disco (sólido “0”).

# Para el instante considerado en la figura, determine gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}</math>, <math>I_{20}</math>, <math>I_{03}</math>, <math>I_{23}</math> e <math>I_{01}</math>.
# Utilizando como parámetro el ángulo <math>\theta</math> del dibujo (ángulo que forma el eje <math>AX_0</math> con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a {21} = {20} + {03} + {31} halle las siguientes reducciones cinemáticas en C: <math>\{\vec{\omega}_{20}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\;
C}_{20}(\theta,\dot{\theta})\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{03}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\;
C}_{03}(\theta,\dot{\theta})\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{31}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{31}(\theta,\dot{\theta})\}</math> y <math>\{\vec{\omega}_{21}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{21}(\theta,\dot{\theta})\}</math>.

==[[Disco en manivela ranurada|6.6. Disco en manivela ranurada]]==
[[Archivo:disco-manivela-ranurada.png|right]]
El sistema de la figura está constituido por un plano vertical fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido “1”) que en todo instante contiene a otros dos sólidos en movimiento: un disco de radio <math>R</math> y centro <math>C</math> (sólido “2”), que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal <math>OX_1</math>; y una manivela ranurada <math>OA</math> (sólido “0”), que es obligada a girar con velocidad angular constante <math>\Omega</math> alrededor de un eje permanente de rotación que pasa por el punto <math>O</math> y es perpendicular al plano fijo definido como sólido “1” (eje <math>OZ_1</math>). Los movimientos de ambos sólidos se hallan vinculados entre sí porque el centro C del disco está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la manivela.

Considerando el movimiento {20} como el movimiento problema, se pide:

# Haciendo uso de procedimientos gráficos, determinar la posición del CIR de dicho movimiento {20}.
# Utilizando como parámetro geométrico el ángulo <math>\theta</math> indicado en la figura, obtener la reducción cinemática del movimiento {20} en el punto C, <math>\{\vec{\omega}_{20} (\theta), \vec{v}_{20}^{\, C} (\theta)\}</math>.
# Clasificar el movimiento {20} en el instante en que <math>\theta=\pi/2</math> especificando si se trata de rotación, traslación, movimiento helicoidal o reposo.

==[[Movimiento de dos varillas articuladas|6.7. Movimiento de dos varillas articuladas]]==
[[Archivo:Dos-varillas-articuladas.png|right]]
El mecanismo de la figura está constituido por dos varillas rígidas (sólidos “2” y “0”), de grosor despreciable y longitud indefinida, que se mueven en el plano fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido “1”). La varilla “2” se desplaza verticalmente hacia arriba con velocidad constante <math>v</math>, manteniéndose siempre paralela al eje <math>OY_{\! 1}</math> y a una distancia <math>c</math> de éste; mientras que la varilla “0”, articulada a la anterior en su extremo común A, desliza por el interior de un pasador giratorio ubicado en el punto O del sólido “1”. Utilizando el ángulo <math>\theta</math> (definido en la figura) como parámetro descriptivo del movimiento, se pide:

# Reducción cinemática de los movimientos {21}, {20} y {01} en el punto O, es decir: <math>\{\vec{\omega}_{21};\;\vec{v}^{\,O}_{21}\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{20};\;\vec{v}^{\,O}_{20}\}</math> y <math>\{\vec{\omega}_{01};\;\vec{v}^{\,O}_{01}\}</math>.
# Determinación gráfica y determinación analítica de la posición del punto <math>I_{01}</math>, centro instantáneo de rotación del movimiento {01}.
# Cálculo de las aceleraciones <math>\vec{a}^{A}_{01}</math> y <math>\vec{a}^{\, O}_{01}</math>.

'''Nota:''' Para resolver el ejercicio, se propone el uso de la base vectorial asociada al sistema de ejes <math>AX_{0}Y_0</math> de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla “0” y cuyo eje <math>AX_{0}</math> es colineal con ella.

==[[Barra horizontal apoyada en disco|6.8. Barra horizontal apoyada en disco]]==
[[Archivo:barra-apoyada-disco.png|right]]
El sistema de la figura consta de un disco (sólido “0”), de centro O y radio <math>R</math>, que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal <math>O_1X_1</math>
de la escuadra fija <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido “1”); y de una barra de longitud indefinida (sólido “2”), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante <math>v_0</math>, manteniéndose siempre en contacto tangente con el perímetro del disco (punto <math>A</math>) y sin deslizar sobre éste. Se pide:

# Reducciones cinemáticas de los movimientos {21}, {01} y {20} en el centro del disco (punto O), es decir: <math>\{\vec{\omega}_{\! 21};\,\vec{v}^{\, O}_{21}\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{\,01};\,\vec{v}^{\, O}_{\,01}\}</math> y <math>\{\vec{\omega}_{\,20};\,\vec{v}^{\, O}_{20}\}</math>.
# Aceleración relativa barra-disco del punto de contacto <math>A</math>, es decir: <math>\vec{a}^{A}_{20}</math>.

==[[Placa en escuadra rotatoria|6.9. Placa en escuadra rotatoria]]==
[[Archivo:placa-escuadra.png|right]]
Se tiene un sistema formado por un plano horizontal (sólido “1”) en uno de cuyos puntos, O, se encuentra articulada una escuadra (sólido “0”) formada por dos barras ortogonales entre sí. Esta escuadra gira en torno a O, resultando variable el ángulo <math>\theta(t)</math> que forma la barra <math>OX_0</math> con el plano horizontal “1” (ver figura). Sobre la escuadra se encuentra permanentemente apoyada por sus vértices inferiores, A y B, una placa cuadrada de lado <math>L</math>, cuyo lado inferior AB mantiene en todo momento su horizontalidad respecto al plano “1”.

# En función del ángulo <math>\theta</math>, localice geométricamente de forma razonada el centro instantáneo de rotación del movimiento {20}. Exprese su vector de posición relativo al punto O tanto en la base ligada al sólido “0” como en la ligada al sólido “1”. ¿Dónde se localiza el CIR del movimiento {21}?
# En función de <math>\theta</math> y de <math>\dot{\theta}</math>, calcule las velocidades de deslizamiento de la placa “2” respecto a la escuadra “0” en los puntos de contacto A y B.

==[[Engranaje concéntrico|6.10. Engranaje concéntrico]]==
[[Archivo:Engranaje-concentrico.png|right]]
Se tiene un engranaje formado por un eje central sobre el cual va montado un disco de radio <math>a</math> (sólido “2”) y un anillo exterior estacionario (sólido “1”), de radio <math>b</math>. Entre el disco central y el anillo exterior se encuentra un sistema de dos discos iguales (“3”) y (“4”) que ruedan sin deslizar sobre ambas superficies. Los centros de estos discos se encuentran unidos por una barra articulada “5”. En un momento dado, el disco central se encuentra girando con velocidad angular <math>\Omega</math> respecto al anillo fijo exterior y los centros de los discos 3 y 4 se encuentran sobre el eje <math>OX_1\,</math>.

# Determine las velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{31}</math>, <math>\vec{\omega}_{41}</math> y <math>\vec{\omega}_{51}</math>.
# ¿Qué tipo de movimiento efectúa el disco 3 respecto al 4? ¿Con qué velocidad?

==[[No Boletín - Aro y varilla con un pasador (Ex.Ene/16)]]==
[[Archivo:varilla-aro.png|right]]

Sea una varilla rígida (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"), de tal modo que está obligada a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto <math>O\,</math>, y además se halla articulada en su extremo <math>A\,</math> a un deslizador que recorre un aro fijo (sólido "1") de radio <math>R\,</math> y centro en el punto <math>C\,</math> (de posición <math>\overrightarrow{OC}=R\,\vec{\imath}_1\,</math>).

Se define también la escuadra auxiliar <math>OX_0Y_0\,</math> (sólido "0") de la figura, cuyo eje <math>OX_0\,</math> es colineal con la varilla en todo instante, y en cuya base asociada <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0\}\,</math> deberán expresarse todas las magnitudes vectoriales solicitadas en este ejercicio.

Denominando <math>\theta\,</math> al ángulo que forma la varilla con el eje <math>OX_1\,</math> (ver figura), y sabiendo que
<math>\dot{\theta}=\Omega\,\mathrm{(cte)}\,</math>, se pide:

# Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación <math>I_{20}\,</math>, <math>I_{01}\,</math> e <math>I_{21}.\,</math>
# Cálculo de las velocidades <math>\vec{v}^{\,A}_{20}(\theta)\,</math>, <math>\vec{v}^{\,A}_{01}(\theta)\,</math> y <math>\vec{v}^{\,A}_{21}(\theta).\,</math>
# Cálculo de las aceleraciones <math>\vec{a}^{\,A}_{20}(\theta)\,</math>, <math>\vec{a}^{\,A}_{01}(\theta)\,</math> y <math>\vec{a}^{\,A}_{21}(\theta).\,</math>
# Cálculo de la velocidad <math>\vec{v}^{\,O}_{21}(\theta)\,</math> y la aceleración <math>\vec{a}^{\,O}_{21}(\theta).\,</math>
# Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación <math>I_{21}\,</math>, es decir, <math>\overrightarrow{
OI_{21}}(\theta).\,</math>

==[[No Boletín - Barra oblicua apoyada en disco (Ex.Dic/11)]]==
[[Archivo:barra-disco.png|right]]

Se tiene un sistema de tres sólidos: una superficie horizontal fija (sólido "1"), una barra (sólido "0") articulada en un punto <math>O\,</math> de la superficie horizontal, y un disco
(sólido "2") de radio <math>R\,</math>. La barra se encuentra apoyada en el disco. El disco rueda sin deslizar sobre el suelo, moviéndose hacia la izquierda, empujando a la barra en su movimiento, de forma que el ángulo <math>\theta(t)\,</math> va aumentando (ver figura). Localice gráficamente las posiciones de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}\,</math>, <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{01.}\,</math>

Suponga que el disco tiene radio <math>R=20\,\mathrm{cm}</math> y que en un instante dado su punto de contacto con el suelo <math>A\,</math> se encuentra a una distancia <math>D=20\,\mathrm{cm}</math> de <math>O\,.</math> En ese momento el ángulo <math>\theta\,</math> crece con derivada <math>\dot{\theta}=0.5\,\mathrm{rad/s}\,.</math> Para ese instante:

# Calcule las velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{21}\,</math>, <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> y <math>\vec{\omega}_{01.}\,</math>
# Indique los vectores de posición, respecto al sistema de ejes "1", de los centros instantáneos de rotación.
# Halle la velocidad de deslizamiento del disco respecto a la barra en el punto de contacto <math>P\,.</math>

==[[No Boletín - Cuestión sobre cálculo gráfico del C.I.R. (Ex.Sep/15)]]==
[[Archivo:dos-vel.png|right]]

Sea <math>OXY\,</math> el plano director en el movimiento plano de cierto sólido rígido. En el diagrama adjunto se representan las posiciones y velocidades de dos puntos (<math>A\,</math> y <math>B\,</math>) de dicho sólido en un instante dado. La cuadrícula del diagrama es tal que cada celdilla corresponde a la unidad en el SI (Sistema Internacional) de la magnitud representada.

# Determine el vector de posición del centro instantáneo de rotación <math>I.\,</math>
# Calcule la velocidad instantánea del punto del sólido rígido que se halla en <math>O\,</math>

==[[No Boletín - Disco rodando sobre escuadra giratoria (Ex.Ene/12)]]==
[[Archivo:disco-sobre-escuadra.png|right]]

Un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "2"), contenido en el plano <math>OX_0Y_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX_0\,</math> (sólido "0"), de tal modo que su centro <math>C\,</math> avanza con velocidad relativa constante <math>\vec{v}^{\, C}_{20}=v_0\,\vec{\imath}_{0}\,</math>. Al mismo tiempo, la escuadra <math>OX_0Y_0\,</math> (sólido "0"), articulada en su punto <math>O\,</math> al origen de coordenadas de la escuadra fija y coplanaria <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"), rota con velocidad angular absoluta constante <math>\vec{\omega}_{01}=\omega_{0}\,\vec{k}_1\,</math> alrededor del eje fijo <math>OZ_1\,</math>. La posición del sistema que se representa en la figura, y a la cual se refieren las siguientes preguntas, corresponde al instante <math>t=t^{*}\,</math>.

# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{21}\,</math>?
# Determine la aceleración instantánea <math>\vec{a}^{A}_{21}\,</math> (ver <math>A\,</math> en figura).
# ¿En qué caso particular el movimiento {21} es una traslación?

==[[No Boletín - Disco rueda sin deslizar sobre triángulo (Ex.Feb/17)]]==
[[Archivo:triangulo-disco.png|right]]
El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>O_1X_1Y_1\,</math> (sólido "1"), está constituido por un triángulo <math>ABC\,</math> (sólido "2") que desliza sobre el eje <math>O_1X_1\,</math>, manteniendo su lado <math>AC\,</math> completo en contacto con dicho eje; y por un disco (sólido "0"), de centro <math>O\,</math>, que rueda sin deslizar sobre el lado <math>AB\,</math> del triángulo, y a la vez rueda y desliza sobre el eje <math>O_1Y_1\,</math>.

¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{01}\,</math>?

<math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{01}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{01}\equiv F\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{01}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{01}\equiv D</math>

==[[No Boletín - Disco y varilla con un pasador (Ex.Feb/14)]]==
[[Archivo:varilla-disco-pasador.png|right]]

El plano vertical fijo <math>OX_{1}Y_{1}\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "2") y una varilla de grosor despreciable y longitud indefinida (sólido "0"). El
disco "2" rueda y desliza sobre el eje <math>OX_{1}\,</math> de tal modo que su centro <math>C\,</math> avanza con velocidad constante en el tiempo <math>\vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v\,\vec{\imath}_1\,</math> (siendo <math>v\,</math> una constante positiva conocida), mientras que en cada instante el punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OX_{1}\,</math> tiene velocidad instantánea <math>\vec{v}^{\, A}_{21}=2\,v\,\vec{\imath}_1\,</math>. Al mismo tiempo, la varilla "0", que tiene un extremo articulado al centro <math>C\,</math> del disco "2", se ve obligada a deslizar por el interior de un pasador orientable ubicado en el punto <math>O\,</math> del sólido "1".

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define en la figura el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la varilla con respecto al eje <math>OX_{1}\,</math>. Determine:

# Todas las reducciones cinemáticas en el punto <math>O\,</math>, es decir: <math>\{\vec{\omega}_{21};\,\vec{v}^{\, O}_{21}\}\,</math>, <math>\{\vec{\omega}_{20};\,\vec{v}^{\, O}_{20}\}\,</math> y <math>\,\{\vec{\omega}_{01};\,\vec{v}^{\, O}_{01}\}\,</math>.
# Las posiciones de los tres centros instantáneos de rotación: <math>I_{21}\,</math> (analíticamente), <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (gráficamente).
# Las aceleraciones <math>\vec{a}^{A}_{21}\,</math> y <math>\vec{a}^{I_{21}}_{21}\,</math>.

'''Nota:''' Para responder al primer apartado, se recomienda trabajar en la base vectorial asociada al sistema de ejes <math>CX_{0}Y_0\,</math> de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla "0" y cuyo eje <math>CX_{0}\,</math> es colineal con ella.

==[[No Boletín - Disco y varilla guiada (Ex.Ene/15)]]==
[[Archivo:disco-varilla-guiada.png|right]]

El mecanismo de la figura está formado por un disco rígido (sólido "2") de radio <math>R\,</math>, que rueda sin deslizar (punto <math>D\,</math>) sobre el eje horizontal <math>OX_1\,</math> de la escuadra fija <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"), y cuyo centro <math>C\,</math> avanza con velocidad constante <math>\vec{v}^{\,C}_{21}=v\,\vec{\imath}_1\,</math>; y por una varilla rígida (sólido "0") de grosor despreciable y longitud indefinida, la cual rueda sin deslizar (punto <math>B\,</math>) sobre el citado disco, mientras que su
extremo <math>A\,</math> está obligado a recorrer una guía horizontal fija de ecuación <math>y_{1}=R\,</math>.

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del mecanismo, se define el ángulo <math>\theta\,</math> de la figura. Se pide:

# Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}\,</math>, <math>I_{02}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>.
# Reducción cinemática del movimiento <math>\{21\}\,</math> en el punto <math>B\,</math>, es decir, <math>\{\vec{\omega}_{21}(\theta);\,\vec{v}^{\,B}_{21}(\theta)\}\,</math>.
# Reducción cinemática del movimiento <math>\{01\}\,</math> en el punto <math>A\,</math>, es decir, <math>\{\vec{\omega}_{01}(\theta);\,\vec{v}^{\,A}_{01}(\theta)\}\,</math>.
# Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación <math>I_{01}\,</math>, es decir,<math>\overrightarrow{AI_{01}}(\theta)\,</math>.

'''Aviso:''' Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de <math>\theta\,</math>, <math>R\,</math> y/o <math>v\,</math>, pero NO en función de <math>\dot{\theta}\,</math>.

==[[No Boletín - Disco y varilla sobre un escalón (Ex.Jun/13)]]==
[[Archivo:varilla-disco-escalon.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano <math>OX_{1}Y_{1}\,</math>, está constituido por un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "0") y una varilla de longitud indefinida (sólido "2"), ambos vinculados y moviéndose sobre un escalón (sólido "1"). El disco rueda sin deslizar sobre la parte superior del escalón (eje <math>OX_{1}\,</math>), mientras que su centro <math>C\,</math> avanza con una velocidad linealmente creciente con el tiempo <math>\vec{v}^{\, C}_{01}(t)=at\,\vec{\imath}_1\,</math> (siendo <math>a\,</math> una constante positiva conocida). La varilla tiene uno de sus extremos articulado al centro <math>C\,</math> del disco, y se mantiene apoyada en todo instante sobre el borde del escalón (punto <math>O\,</math>).

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define en la figura el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la varilla con respecto al eje <math>OX_{1}\,</math>. Para un instante genérico <math>t\,</math>, determine:

# Posición gráfica de los centros instantáneos de rotación de los movimientos {01}, {20} y {21}.
# Aceleración <math>\vec{a}^{D}_{01}\,</math> del punto del disco en contacto con la parte superior del escalón.
# Velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{21}\,</math> del punto de la varilla en contacto con el borde del escalón, velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> de la varilla respecto al disco, y aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{21}\,</math> de la varilla.

==[[No Boletín - Dos discos (Ex.Feb/14)]]==
[[Archivo:dos-discos.png|right]]

El disco móvil de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el disco fijo de centro <math>O\,</math> y radio <math>2R\,</math> (sólido "1"). Los centros de ambos discos se encuentran articulados a los extremos de una varilla (sólido "0") que rota con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0\,</math> (ver figura).

# ¿Dónde se hallan los centros instantáneos (o permanentes) de rotación <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{21}\,</math>?
# Determine la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{B}_{21}\,</math>
# Determine la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}\,</math>

==[[No Boletín - Dos discos II (Ex.Ene/15)]]==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el disco anterior a la vez que se mantiene en contacto tangente con el eje <math>OY\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <math>\mathrm{(a)}\,\vec{v}^{\, B}_{21}\times\vec{\jmath}=\vec{0}\,\,\mathrm{(b)}\,\vec{v}^{\, E}_{21}\cdot\vec{\jmath}=0\,\,\mathrm{(c)}\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\mathrm{(d)}\,\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{01}</math>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{21}\,\,</math>? <math>\mathrm{(a)}\,I_{21}\equiv E\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,I_{21}\equiv F\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,I_{21}\equiv G\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,I_{21}\equiv H</math>

==[[No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)]]==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

<math>\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}</math>

<math>\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math>

# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>?

<math>\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math>

==[[No Boletín - Dos discos y dos barras (Ex.Ene/19)]]==
[[Archivo:dos-discos-dos-barras.png|right]]

El sistema mecánico de la figura está constituido por cuatro sólidos móviles (las barras "0" y "4", y los discos "2" y "3"), los cuales se mantienen siempre contenidos en el plano fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). El disco "2", de radio <math>R\,</math>, rota con velocidad angular constante <math>2\,\omega\,</math> (en el sentido indicado en la figura) alrededor de su centro fijo <math>B\,</math>. El disco "3", de radio <math>2R\,</math>, rota con velocidad angular constante <math>2\,\omega\,</math> (en el sentido indicado en la figura) alrededor de su centro fijo <math>E\,</math>. Las barras "0" y "4", de longitudes indefinidas, experimentan sendas traslaciones verticales respecto al plano fijo <math>OX_1Y_1\,</math> al ser arrastradas respectivamente por las rotaciones de los discos con los que mantienen contacto permanente, ya que el disco "2" rueda sin deslizar sobre la barra "0", y el disco "3" rueda sin deslizar sobre la barra "4".

# ¿Con qué velocidades se trasladan las barras?
# ¿Cómo se clasifica el movimiento <math>\{23\}\,</math>?
# ¿Dónde está el centro instantáneo de rotación <math>I_{42}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración del punto <math>C\,</math> de contacto entre ambos discos en el movimiento <math>\{32\}\,</math>?

==[[No Boletín - Dos varillas (Ex.Ene/16)]]==
[[Archivo:varilla-varilla.png|right]]
El sistema mecánico de la figura está constituido por dos varillas móviles, <math>\,AB\,</math> (sólido "2") y <math>\,OD\,</math> (sólido "0"), ambas de grosor despreciable e igual longitud <math>\,2a,\,</math> y contenidas siempre en el plano fijo <math>\,OXY\,</math> (sólido "1"). Cada varilla se encuentra articulada en un punto fijo: la primera en su centro <math>\,C(a,0)\,</math> y la segunda en su extremo <math>\,O(0,0).\,</math> Además, ambas varillas se mueven vinculadas entre sí porque la varilla <math>\,OD\,</math> posee una
acanaladura longitudinal por la cual desliza el extremo <math>\,A\,</math> de la varilla <math>\,AB.\,</math> Se utiliza el ángulo <math>\,\theta ,\,</math> formado por la varilla <math>\,AB\,</math> y el eje <math>\,OX,\,</math> como parámetro descriptivo del movimiento del
sistema.

'''Nota:''' Obsérvese que, con ayuda del triángulo isósceles <math>\,OAC\,</math> de la figura, se puede determinar (en función de <math>\,\theta\,</math>) el ángulo formado por la varilla <math>\,OD\,</math> y el eje <math>\,OX,\,</math> o también el ángulo formado por ambas varillas.

Determine las siguientes magnitudes:

# Velocidad angular <math>\,\vec{\omega}_{20}\,</math>
# Velocidad <math>\,\vec{v}^{\,O} _{20}\,</math>
# Vector de posición <math>\,\overrightarrow{OI_{20}}</math> del centro instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}</math>

==[[No Boletín - Eje con un disco por encima y otro por debajo (Ex.Ene/13)]]==
[[Archivo:biciclo.png|right]]

Los sólidos "2" y "0" son dos discos de radio <math>R\,</math> vinculados entre sí al hallarse sus centros articulados, respectivamente, a los dos extremos de la varilla rígida <math>AB\,</math> (sólido "3"). Ambos discos están rodando sin deslizar sobre un eje horizontal
(sólido "1") simultánea y permanentemente, aunque -tal como muestra la figura- el disco "2" lo está haciendo por encima del eje, mientras que el disco "0" lo está haciendo por debajo del mismo.

# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math>?
# ¿Qué tipo de movimiento es el {31}?

==[[No Boletín - Guía ranurada horizontal y manivela (Ex.Sep/15)]]==
[[Archivo:ranurada-horizontal.png|right]]

El plano fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos en movimiento: una guía horizontal ranurada (sólido "0"), que se traslada verticalmente hacia abajo con celeridad constante <math>v_0\,</math>; y la manivela <math>OC\,</math> (sólido "2") de longitud <math>L\,</math>, que rota alrededor del eje fijo <math>OZ_1\,</math>. Los movimientos de los sólidos "2" y "0" se hallan vinculados entre sí porque el extremo <math>C\,</math> de la manivela está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la guía.

Utilizando el ángulo <math>\theta\,</math> definido en la figura como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se pide:

# Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación <math>I_{01}\,</math>, <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{20}.\,</math>
# Reducciones cinemáticas de los movimientos <math>\{01\}\,</math>, <math>\{20\}\,</math> y <math>\{21\}\,</math> en el punto <math>C.\,</math>
# Determinación de la velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{20}\,</math>, las aceleraciones <math>\vec{a}^{\, O}_{20}\,</math> y <math>\vec{a}^{\, C}_{21}\,</math>, y la aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{21}.\,</math>

'''Aviso:''' Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de <math>\,\theta\,</math>, <math>L\,\,</math> y/o <math>\,v_0\,</math>, pero NO en función de <math>\,\dot{\theta}\,\,</math> ni de <math>\,\ddot{\theta}.\,</math>

==[[No Boletín - Placa cuadrada deslizando sobre escuadra giratoria (Ex.Ene/18)]]==
[[Archivo:cuadrado-en-rampa.png|right]]
Una placa cuadrada (sólido "2"), contenida en el plano <math>OX_0Y_0\,</math>, desliza sobre el eje <math>OX_0\,</math> (sólido "0") con velocidad relativa constante <math>\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{20}(t)=v\,\vec{\imath}_0\,</math>. Al mismo tiempo, la escuadra <math>OX_0Y_0\,</math> (sólido "0"), articulada en el punto <math>O\,</math> a la escuadra fija y coplanaria <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"), rota alrededor del eje fijo <math>OZ_1\,</math> con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_1\,</math>.

# Determine el vector de posición del C.I.R. del movimiento <math>\{21\}\,</math>.
# Determine la aceleración del punto <math>O\,</math> en el movimiento <math>\{21\}\,</math>.

==[[No Boletín - Placa cuadrada que empuja a un disco (Ex.Sep/14)]]==
[[Archivo:placa-disco.png|right]]

El sistema de la figura está constituido por tres sólidos rígidos: la escuadra fija <math>OXY\,</math> (sólido "1"); una placa cuadrada (sólido "0") que se traslada con velocidad constante <math>\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}(t)=v_0\vec{\imath}\,</math> y cuyo lado inferior está completamente en contacto con el eje <math>OX\,</math>; y un disco (sólido "2"), de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, que rota con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{21}(t)=-\omega\,\vec{k}\,</math>, y que en todo instante mantiene contacto puntual con el eje <math>OX\,</math> (punto <math>A\,</math>) y con la placa cuadrada que lo empuja (punto <math>B\,</math>).

# ¿Cuánto vale la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{A}_{21}</math>?
# ¿Y la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{B}_{20}</math>?
# ¿Dónde se halla situado el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}</math>?

==[[No Boletín - Punto de aceleración nula (Ex.Feb/17)]]==
Considérese un sólido rígido que realiza un movimiento plano arbitrario pero con una velocidad angular <math>\vec{\omega}\,</math> constante en el tiempo y no nula. Sea <math>A\,</math> un punto cualquiera del sólido en el plano director (con velocidad <math>\vec{v}_{A}\,</math> y aceleración <math>\vec{a}_{A}\,</math>). Entonces, se puede comprobar que dicho sólido tiene en el plano director un punto <math>H</math> cuya aceleración es nula (<math>\vec{a}_{H}=\vec{0}\,</math>).

Determine el vector <math>\overrightarrow{AH}</math> que define la posición del punto de aceleración nula respecto al punto <math>A\,</math>.

==[[No Boletín - Varilla cuyos dos extremos deslizan (Ex.Dic/12)]]==
[[Archivo:escalera-wiki.png|right]]

La varilla <math>AB\,</math> (sólido "2"), de longitud <math>L\,</math>, realiza un movimiento plano respecto a la escuadra fija <math>OXY\,</math> (sólido "1"). Los extremos de dicha varilla se encuentran articulados a sendos deslizadores, de tal modo que <math>A\,</math> está obligado a moverse a lo largo del eje <math>OX\,</math>, mientras que <math>B\,</math> está obligado a moverse a lo largo del
eje <math>OY\,</math>.

# ¿Dónde está el C.I.R.{21} cuando la posición de la varilla es la representada en la figura?
# Para la ley horaria <math>\theta=\Omega\,t\,</math> (siendo <math>\Omega\,</math> constante), ¿son nulas la velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{21}</math> y/o la aceleración <math>\vec{a}^{\, O}_{21}</math>?

==[[No Boletín - Varilla ortogonal en manivela (Ex.Ene/13)]]==
[[Archivo:manivela-varilla.png|right]]

El plano vertical fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos rígidos en movimiento
vinculados entre sí: la manivela ranurada <math>OA\,</math> (sólido "0"), que realiza una rotación de eje permanente alrededor de <math>OZ_1\,</math>; y la varilla <math>BD\,</math> (sólido "2"), de longitud <math>2R\,</math>, la cual se mantiene siempre perpendicular a la manivela <math>OA\,</math> mientras su centro <math>C\,</math> recorre la ranura de la misma y su extremo <math>B\,</math> se apoya y desliza sobre el eje <math>OX_1\,</math> permanentemente.

Como parámetro descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la manivela <math>OA\,</math> con respecto al eje <math>OX_1\,</math> (ver figura). Se pide:

# Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación <math>I_{01}\,</math>, <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{21}\,</math>.
# Calcular todas las reducciones cinemáticas en el punto <math>B\,</math>, es decir, <math>\{\vec{\omega}_{01}(\theta,\dot{\theta});\,\vec{v}^{\, B}_{01}(\theta,\dot{\theta})\}\,</math>, <math>\{\vec{\omega}_{20}(\theta,\dot{\theta});\,\vec{v}^{\,
B}_{20}(\theta,\dot{\theta})\}\,</math> y <math>\{\vec{\omega}_{21}(\theta,\dot{\theta});\,\vec{v}^{\, B}_{21}(\theta,\dot{\theta})\}\,</math>.
# Determinar analíticamente la posición de <math>I_{21}\,</math> (en función de <math>\theta\,</math>).


[[Categoría:Problemas de Movimiento Plano (GITI)|0]]
[[Categoría:Problemas resueltos de Física I (GITI)|7]]

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

2025-05-11T14:55:29Z

Antonio: /* Campo de una espira circular */

==Espira parcialmente inmersa en un campo magnético==
{{nivel|2}} El campo entre los polos de un imán se puede modelar como un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=B_0 \vec{k}</math> en el semiespacio <math>x>0</math>. Una espira cuadrada se encuentra sumergida parcialmente en este campo. La espira se encuentra en el plano XY, girada 45° respecto a los ejes, de forma que su centro se halla en <math>\overrightarrow{OC}=x\vec{\imath}</math> (''x'' puede ser tanto negativo como positivo). Por la espira circula una intensidad de corriente ''I''. Calcule la fuerza sobre cada lado de la espira, así como la fuerza neta (distínga los casos necesarios en ''x'').
<center>[[Archivo:espira-parcial-campo.png|400px]]</center>

[[Espira parcialmente inmersa en un campo magnético|Solución]]

==Espira girada dentro de un campo magnético==
{{nivel|2}} Una espira rectangular ABCD se encuentra en el interior de un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=10\vec{k}\,(\mathrm{mT})</math>. Los vértices de la espira se encuentran en
<center><math>\overrightarrow{OA}=3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}-4\vec{k}\qquad\qquad\overrightarrow{OB}=3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-4\vec{k}</math></center>

<center><math> \overrightarrow{OC}=-3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+4\vec{k}\qquad\qquad\overrightarrow{OD}=-3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}+4\vec{k}</math></center>
(distancias medidas en cm). Por la espira circula una corriente de 0.2 A en el sentido ABCD.
# Halle la fuerza magnética sobre cada lado de la espira, así como la fuerza total sobre la espira
# Considerando cada fuerza aplicada sobre el centro del lado correspondiente, halle el momento resultante, según la ley <math>\vec{M}_G=\sum_i\overrightarrow{OP}_i\times\vec{F}_i</math>
# Calcule el momento magnético de la espira <math>\vec{m}=IS\vec{n}</math> y compruebe que <math>\vec{M}_G=\vec{m}\times\vec{B}</math>

[[Espira girada dentro de un campo magnético|Solución]]

==Campo magnético producido por un segmento==
Halle el campo magnético producido por un segmento rectilíneo, por el cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math>, en cualquier punto del espacio. Para fijar ideas, sitúese el punto de medición del campo en <math>\overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\vec{\imath}</math> y el segmento sobre el eje OZ extendiéndose desde <math>\overrightarrow{OA}=z_1\vec{k}</math> a <math>\overrightarrow{OB}=z_2\vec{k}</math> (con la corriente de A a B). Posteriormente generalícese el resultado, con ayuda de las coordenadas cilíndricas.

[[Campo magnético producido por un segmento|Solución]]

==Campo creado por un hilo infinitamente largo==
A partir del resultado del problema “[[Campo magnético producido por un segmento]]” calcule, para todos los puntos del espacio, el campo magnético creado por un hilo rectilíneo infinitamente largo situado sobre el eje OZ y por el cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math> en el sentido del eje OZ positivo.

[[Campo creado por un hilo infinitamente largo|Solución]]

==Campo de dos hilos paralelos==
Dos hilos paralelos se hallan situados paralelamente al eje OZ, situados sobre <math>x=\pm a</math>, <math>y=0</math>.
# Determine el valor del campo magnético en todos los puntos del plano <math>x=0</math>, y en todos los puntos del plano <math>y=0</math> en los dos casos siguientes:
## Por los hilos circulan corrientes paralelas <math>+I_0</math>.
## Por los hilos circulan corrientes antiparalelas <math>\pm I_0</math>.
# Para el caso particular <math>a=2\,\mathrm{cm}</math>, <math>I_0=0.1\,\mathrm{A}</math> , ¿cuánto vale el campo magnético en el origen de coordenadas para los dos casos anteriores?
# ¿Cuánto vale la fuerza magnética que uno de los hilos ejerce sobre una porción de longitud <math>\ell</math> del otro?

[[Campo de dos hilos paralelos|Solución]]

==Campo de una espira rectangular==
A partir del resultado del problema “[[Campo magnético producido por un segmento]]”, halle el campo magnético en el centro de una espira rectangular de lados <math>b</math> y <math>h</math> por la cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math>.

[[Campo de una espira rectangular|Solución]]

==Campo magnético de una espira circular==
Halle, por integración directa, el campo magnético en los puntos del eje de una espira circular de radio <math>b</math>, por la cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math>. ¿Cuánto vale aproximadamente este campo en puntos alejados (<math>z\gg b</math>)?

[[Campo magnético de una espira circular|Solución]]

==Campo magnético de una bobina cilíndrica==
A partir del resultado del problema “[[Campo magnético de una espira circular]]” calcule el campo en los puntos del eje de una bobina cilíndrica de radio <math>b</math> y longitud <math>h</math>, con un número grande de vueltas, <math>N</math>. ¿A qué se reduce este resultado en el límite en que <math>b\ll h</math>?

[[Campo magnético de una bobina cilíndrica|Solución]]

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

2025-05-11T14:51:01Z

Antonio: /* Campo de una espira circular */

==Espira parcialmente inmersa en un campo magnético==
{{nivel|2}} El campo entre los polos de un imán se puede modelar como un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=B_0 \vec{k}</math> en el semiespacio <math>x>0</math>. Una espira cuadrada se encuentra sumergida parcialmente en este campo. La espira se encuentra en el plano XY, girada 45° respecto a los ejes, de forma que su centro se halla en <math>\overrightarrow{OC}=x\vec{\imath}</math> (''x'' puede ser tanto negativo como positivo). Por la espira circula una intensidad de corriente ''I''. Calcule la fuerza sobre cada lado de la espira, así como la fuerza neta (distínga los casos necesarios en ''x'').
<center>[[Archivo:espira-parcial-campo.png|400px]]</center>

[[Espira parcialmente inmersa en un campo magnético|Solución]]

==Espira girada dentro de un campo magnético==
{{nivel|2}} Una espira rectangular ABCD se encuentra en el interior de un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=10\vec{k}\,(\mathrm{mT})</math>. Los vértices de la espira se encuentran en
<center><math>\overrightarrow{OA}=3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}-4\vec{k}\qquad\qquad\overrightarrow{OB}=3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-4\vec{k}</math></center>

<center><math> \overrightarrow{OC}=-3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+4\vec{k}\qquad\qquad\overrightarrow{OD}=-3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}+4\vec{k}</math></center>
(distancias medidas en cm). Por la espira circula una corriente de 0.2 A en el sentido ABCD.
# Halle la fuerza magnética sobre cada lado de la espira, así como la fuerza total sobre la espira
# Considerando cada fuerza aplicada sobre el centro del lado correspondiente, halle el momento resultante, según la ley <math>\vec{M}_G=\sum_i\overrightarrow{OP}_i\times\vec{F}_i</math>
# Calcule el momento magnético de la espira <math>\vec{m}=IS\vec{n}</math> y compruebe que <math>\vec{M}_G=\vec{m}\times\vec{B}</math>

[[Espira girada dentro de un campo magnético|Solución]]

==Campo magnético producido por un segmento==
Halle el campo magnético producido por un segmento rectilíneo, por el cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math>, en cualquier punto del espacio. Para fijar ideas, sitúese el punto de medición del campo en <math>\overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\vec{\imath}</math> y el segmento sobre el eje OZ extendiéndose desde <math>\overrightarrow{OA}=z_1\vec{k}</math> a <math>\overrightarrow{OB}=z_2\vec{k}</math> (con la corriente de A a B). Posteriormente generalícese el resultado, con ayuda de las coordenadas cilíndricas.

[[Campo magnético producido por un segmento|Solución]]

==Campo creado por un hilo infinitamente largo==
A partir del resultado del problema “[[Campo magnético producido por un segmento]]” calcule, para todos los puntos del espacio, el campo magnético creado por un hilo rectilíneo infinitamente largo situado sobre el eje OZ y por el cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math> en el sentido del eje OZ positivo.

[[Campo creado por un hilo infinitamente largo|Solución]]

==Campo de dos hilos paralelos==
Dos hilos paralelos se hallan situados paralelamente al eje OZ, situados sobre <math>x=\pm a</math>, <math>y=0</math>.
# Determine el valor del campo magnético en todos los puntos del plano <math>x=0</math>, y en todos los puntos del plano <math>y=0</math> en los dos casos siguientes:
## Por los hilos circulan corrientes paralelas <math>+I_0</math>.
## Por los hilos circulan corrientes antiparalelas <math>\pm I_0</math>.
# Para el caso particular <math>a=2\,\mathrm{cm}</math>, <math>I_0=0.1\,\mathrm{A}</math> , ¿cuánto vale el campo magnético en el origen de coordenadas para los dos casos anteriores?
# ¿Cuánto vale la fuerza magnética que uno de los hilos ejerce sobre una porción de longitud <math>\ell</math> del otro?

[[Campo de dos hilos paralelos|Solución]]

==Campo de una espira rectangular==
A partir del resultado del problema “[[Campo magnético producido por un segmento]]”, halle el campo magnético en el centro de una espira rectangular de lados <math>b</math> y <math>h</math> por la cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math>.

[[Campo de una espira rectangular|Solución]]

==Campo de una espira circular==
Halle, por integración directa, el campo magnético en los puntos del eje de una espira circular de radio <math>b</math>, por la cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math>. ¿Cuánto vale aproximadamente este campo en puntos alejados (<math>z\gg b</math>)?

[[Campo de una espira circular|Solución]]

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

2025-05-11T14:50:46Z

Antonio: /* Campo de una espira rectangular */

==Espira parcialmente inmersa en un campo magnético==
{{nivel|2}} El campo entre los polos de un imán se puede modelar como un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=B_0 \vec{k}</math> en el semiespacio <math>x>0</math>. Una espira cuadrada se encuentra sumergida parcialmente en este campo. La espira se encuentra en el plano XY, girada 45° respecto a los ejes, de forma que su centro se halla en <math>\overrightarrow{OC}=x\vec{\imath}</math> (''x'' puede ser tanto negativo como positivo). Por la espira circula una intensidad de corriente ''I''. Calcule la fuerza sobre cada lado de la espira, así como la fuerza neta (distínga los casos necesarios en ''x'').
<center>[[Archivo:espira-parcial-campo.png|400px]]</center>

[[Espira parcialmente inmersa en un campo magnético|Solución]]

==Espira girada dentro de un campo magnético==
{{nivel|2}} Una espira rectangular ABCD se encuentra en el interior de un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=10\vec{k}\,(\mathrm{mT})</math>. Los vértices de la espira se encuentran en
<center><math>\overrightarrow{OA}=3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}-4\vec{k}\qquad\qquad\overrightarrow{OB}=3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-4\vec{k}</math></center>

<center><math> \overrightarrow{OC}=-3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+4\vec{k}\qquad\qquad\overrightarrow{OD}=-3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}+4\vec{k}</math></center>
(distancias medidas en cm). Por la espira circula una corriente de 0.2 A en el sentido ABCD.
# Halle la fuerza magnética sobre cada lado de la espira, así como la fuerza total sobre la espira
# Considerando cada fuerza aplicada sobre el centro del lado correspondiente, halle el momento resultante, según la ley <math>\vec{M}_G=\sum_i\overrightarrow{OP}_i\times\vec{F}_i</math>
# Calcule el momento magnético de la espira <math>\vec{m}=IS\vec{n}</math> y compruebe que <math>\vec{M}_G=\vec{m}\times\vec{B}</math>

[[Espira girada dentro de un campo magnético|Solución]]

==Campo magnético producido por un segmento==
Halle el campo magnético producido por un segmento rectilíneo, por el cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math>, en cualquier punto del espacio. Para fijar ideas, sitúese el punto de medición del campo en <math>\overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\vec{\imath}</math> y el segmento sobre el eje OZ extendiéndose desde <math>\overrightarrow{OA}=z_1\vec{k}</math> a <math>\overrightarrow{OB}=z_2\vec{k}</math> (con la corriente de A a B). Posteriormente generalícese el resultado, con ayuda de las coordenadas cilíndricas.

[[Campo magnético producido por un segmento|Solución]]

==Campo creado por un hilo infinitamente largo==
A partir del resultado del problema “[[Campo magnético producido por un segmento]]” calcule, para todos los puntos del espacio, el campo magnético creado por un hilo rectilíneo infinitamente largo situado sobre el eje OZ y por el cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math> en el sentido del eje OZ positivo.

[[Campo creado por un hilo infinitamente largo|Solución]]

==Campo de dos hilos paralelos==
Dos hilos paralelos se hallan situados paralelamente al eje OZ, situados sobre <math>x=\pm a</math>, <math>y=0</math>.
# Determine el valor del campo magnético en todos los puntos del plano <math>x=0</math>, y en todos los puntos del plano <math>y=0</math> en los dos casos siguientes:
## Por los hilos circulan corrientes paralelas <math>+I_0</math>.
## Por los hilos circulan corrientes antiparalelas <math>\pm I_0</math>.
# Para el caso particular <math>a=2\,\mathrm{cm}</math>, <math>I_0=0.1\,\mathrm{A}</math> , ¿cuánto vale el campo magnético en el origen de coordenadas para los dos casos anteriores?
# ¿Cuánto vale la fuerza magnética que uno de los hilos ejerce sobre una porción de longitud <math>\ell</math> del otro?

[[Campo de dos hilos paralelos|Solución]]

==Campo de una espira rectangular==
A partir del resultado del problema “[[Campo magnético producido por un segmento]]”, halle el campo magnético en el centro de una espira rectangular de lados <math>b</math> y <math>h</math> por la cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math>.

[[Campo de una espira rectangular|Solución]]

==Campo de una espira circular==
Halle, por integración directa, el campo magnético en los puntos del eje de una espira circular de radio <math>b</math>, por la cual circula una intensidad de corriente <math>I_</math>0. ¿Cuánto vale aproximadamente este campo en puntos alejados (<math>z\gg b</math>)?

[[Campo de una espira circular|Solución]]

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

2025-05-11T14:49:11Z

Antonio: /* Campo de una espira rectangular */

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

2025-05-11T14:48:52Z

Antonio:

==Espira parcialmente inmersa en un campo magnético==
{{nivel|2}} El campo entre los polos de un imán se puede modelar como un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=B_0 \vec{k}</math> en el semiespacio <math>x>0</math>. Una espira cuadrada se encuentra sumergida parcialmente en este campo. La espira se encuentra en el plano XY, girada 45° respecto a los ejes, de forma que su centro se halla en <math>\overrightarrow{OC}=x\vec{\imath}</math> (''x'' puede ser tanto negativo como positivo). Por la espira circula una intensidad de corriente ''I''. Calcule la fuerza sobre cada lado de la espira, así como la fuerza neta (distínga los casos necesarios en ''x'').
<center>[[Archivo:espira-parcial-campo.png|400px]]</center>

[[Espira parcialmente inmersa en un campo magnético|Solución]]

==Espira girada dentro de un campo magnético==
{{nivel|2}} Una espira rectangular ABCD se encuentra en el interior de un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=10\vec{k}\,(\mathrm{mT})</math>. Los vértices de la espira se encuentran en
<center><math>\overrightarrow{OA}=3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}-4\vec{k}\qquad\qquad\overrightarrow{OB}=3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-4\vec{k}</math></center>

<center><math> \overrightarrow{OC}=-3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+4\vec{k}\qquad\qquad\overrightarrow{OD}=-3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}+4\vec{k}</math></center>
(distancias medidas en cm). Por la espira circula una corriente de 0.2 A en el sentido ABCD.
# Halle la fuerza magnética sobre cada lado de la espira, así como la fuerza total sobre la espira
# Considerando cada fuerza aplicada sobre el centro del lado correspondiente, halle el momento resultante, según la ley <math>\vec{M}_G=\sum_i\overrightarrow{OP}_i\times\vec{F}_i</math>
# Calcule el momento magnético de la espira <math>\vec{m}=IS\vec{n}</math> y compruebe que <math>\vec{M}_G=\vec{m}\times\vec{B}</math>

[[Espira girada dentro de un campo magnético|Solución]]

==Campo magnético producido por un segmento==
Halle el campo magnético producido por un segmento rectilíneo, por el cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math>, en cualquier punto del espacio. Para fijar ideas, sitúese el punto de medición del campo en <math>\overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\vec{\imath}</math> y el segmento sobre el eje OZ extendiéndose desde <math>\overrightarrow{OA}=z_1\vec{k}</math> a <math>\overrightarrow{OB}=z_2\vec{k}</math> (con la corriente de A a B). Posteriormente generalícese el resultado, con ayuda de las coordenadas cilíndricas.

[[Campo magnético producido por un segmento|Solución]]

==Campo creado por un hilo infinitamente largo==
A partir del resultado del problema “[[Campo magnético producido por un segmento]]” calcule, para todos los puntos del espacio, el campo magnético creado por un hilo rectilíneo infinitamente largo situado sobre el eje OZ y por el cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math> en el sentido del eje OZ positivo.

[[Campo creado por un hilo infinitamente largo|Solución]]

==Campo de dos hilos paralelos==
Dos hilos paralelos se hallan situados paralelamente al eje OZ, situados sobre <math>x=\pm a</math>, <math>y=0</math>.
# Determine el valor del campo magnético en todos los puntos del plano <math>x=0</math>, y en todos los puntos del plano <math>y=0</math> en los dos casos siguientes:
## Por los hilos circulan corrientes paralelas <math>+I_0</math>.
## Por los hilos circulan corrientes antiparalelas <math>\pm I_0</math>.
# Para el caso particular <math>a=2\,\mathrm{cm}</math>, <math>I_0=0.1\,\mathrm{A}</math> , ¿cuánto vale el campo magnético en el origen de coordenadas para los dos casos anteriores?
# ¿Cuánto vale la fuerza magnética que uno de los hilos ejerce sobre una porción de longitud <math>\ell</math> del otro?

[[Campo de dos hilos paralelos|Solución]]

==Campo de una espira rectangular==
A partir del resultado del problema “[[Campo magnético producido por un segmento]]”, halle el campo magnético en el centro de una espira rectangular de lados <math>b</math> y <math>h</math> por la cual circula una corriente <math>I_0</math>.

[[Campo de una espira rectangular|Solución]]

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

2025-05-11T14:46:28Z

Antonio: /* Campo creado por un hilo infinitamente largo */

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

2025-05-11T14:46:05Z

Antonio: /* Campo creado por un hilo infinitamente largo */

==Espira parcialmente inmersa en un campo magnético==
{{nivel|2}} El campo entre los polos de un imán se puede modelar como un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=B_0 \vec{k}</math> en el semiespacio <math>x>0</math>. Una espira cuadrada se encuentra sumergida parcialmente en este campo. La espira se encuentra en el plano XY, girada 45° respecto a los ejes, de forma que su centro se halla en <math>\overrightarrow{OC}=x\vec{\imath}</math> (''x'' puede ser tanto negativo como positivo). Por la espira circula una intensidad de corriente ''I''. Calcule la fuerza sobre cada lado de la espira, así como la fuerza neta (distínga los casos necesarios en ''x'').
<center>[[Archivo:espira-parcial-campo.png|400px]]</center>

[[Espira parcialmente inmersa en un campo magnético|Solución]]

==Espira girada dentro de un campo magnético==
{{nivel|2}} Una espira rectangular ABCD se encuentra en el interior de un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=10\vec{k}\,(\mathrm{mT})</math>. Los vértices de la espira se encuentran en
<center><math>\overrightarrow{OA}=3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}-4\vec{k}\qquad\qquad\overrightarrow{OB}=3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-4\vec{k}</math></center>

<center><math> \overrightarrow{OC}=-3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+4\vec{k}\qquad\qquad\overrightarrow{OD}=-3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}+4\vec{k}</math></center>
(distancias medidas en cm). Por la espira circula una corriente de 0.2 A en el sentido ABCD.
# Halle la fuerza magnética sobre cada lado de la espira, así como la fuerza total sobre la espira
# Considerando cada fuerza aplicada sobre el centro del lado correspondiente, halle el momento resultante, según la ley <math>\vec{M}_G=\sum_i\overrightarrow{OP}_i\times\vec{F}_i</math>
# Calcule el momento magnético de la espira <math>\vec{m}=IS\vec{n}</math> y compruebe que <math>\vec{M}_G=\vec{m}\times\vec{B}</math>

[[Espira girada dentro de un campo magnético|Solución]]

==Campo magnético producido por un segmento==
Halle el campo magnético producido por un segmento rectilíneo, por el cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math>, en cualquier punto del espacio. Para fijar ideas, sitúese el punto de medición del campo en <math>\overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\vec{\imath}</math> y el segmento sobre el eje OZ extendiéndose desde <math>\overrightarrow{OA}=z_1\vec{k}</math> a <math>\overrightarrow{OB}=z_2\vec{k}</math> (con la corriente de A a B). Posteriormente generalícese el resultado, con ayuda de las coordenadas cilíndricas.

[[Campo magnético producido por un segmento|Solución]]

==Campo creado por un hilo infinitamente largo==
A partir del resultado del problema “[[Campo magnético producido por un segmento]]” calcule, para todos los puntos del espacio, el campo magnético creado por un hilo rectilíneo infinitamente largo situado sobre el eje OZ y por el cual circula una intensidad de corriente <math>I_0<math> en el sentido del eje OZ positivo.

[[Campo creado por un hilo infinitamente largo|Solución]]

==Campo de dos hilos paralelos==

## Por los hilos circulan corrientes paralelas <math>+I_0</math>.
## Por los hilos circulan corrientes antiparalelas <math>\pm I_0</math>.
# Para el caso particular <math>a=2\,\mathrm{cm}</math>, <math>I_0=0.1\,\mathrm{A}</math> , ¿cuánto vale el campo magnético en el origen de coordenadas para los dos casos anteriores?
# ¿Cuánto vale la fuerza magnética que uno de los hilos ejerce sobre una porción de longitud <math>\ell</math> del otro?

[[Campo de dos hilos paralelos|Solución]]

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

2025-05-11T14:45:05Z

Antonio: /* Campo creado por un hilo infinitamente largo */

==Espira parcialmente inmersa en un campo magnético==
{{nivel|2}} El campo entre los polos de un imán se puede modelar como un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=B_0 \vec{k}</math> en el semiespacio <math>x>0</math>. Una espira cuadrada se encuentra sumergida parcialmente en este campo. La espira se encuentra en el plano XY, girada 45° respecto a los ejes, de forma que su centro se halla en <math>\overrightarrow{OC}=x\vec{\imath}</math> (''x'' puede ser tanto negativo como positivo). Por la espira circula una intensidad de corriente ''I''. Calcule la fuerza sobre cada lado de la espira, así como la fuerza neta (distínga los casos necesarios en ''x'').
<center>[[Archivo:espira-parcial-campo.png|400px]]</center>

[[Espira parcialmente inmersa en un campo magnético|Solución]]

==Espira girada dentro de un campo magnético==
{{nivel|2}} Una espira rectangular ABCD se encuentra en el interior de un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=10\vec{k}\,(\mathrm{mT})</math>. Los vértices de la espira se encuentran en
<center><math>\overrightarrow{OA}=3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}-4\vec{k}\qquad\qquad\overrightarrow{OB}=3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-4\vec{k}</math></center>

<center><math> \overrightarrow{OC}=-3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+4\vec{k}\qquad\qquad\overrightarrow{OD}=-3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}+4\vec{k}</math></center>
(distancias medidas en cm). Por la espira circula una corriente de 0.2 A en el sentido ABCD.
# Halle la fuerza magnética sobre cada lado de la espira, así como la fuerza total sobre la espira
# Considerando cada fuerza aplicada sobre el centro del lado correspondiente, halle el momento resultante, según la ley <math>\vec{M}_G=\sum_i\overrightarrow{OP}_i\times\vec{F}_i</math>
# Calcule el momento magnético de la espira <math>\vec{m}=IS\vec{n}</math> y compruebe que <math>\vec{M}_G=\vec{m}\times\vec{B}</math>

[[Espira girada dentro de un campo magnético|Solución]]

==Campo magnético producido por un segmento==
Halle el campo magnético producido por un segmento rectilíneo, por el cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math>, en cualquier punto del espacio. Para fijar ideas, sitúese el punto de medición del campo en <math>\overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\vec{\imath}</math> y el segmento sobre el eje OZ extendiéndose desde <math>\overrightarrow{OA}=z_1\vec{k}</math> a <math>\overrightarrow{OB}=z_2\vec{k}</math> (con la corriente de A a B). Posteriormente generalícese el resultado, con ayuda de las coordenadas cilíndricas.

[[Campo magnético producido por un segmento|Solución]]

==Campo creado por un hilo infinitamente largo==
A partir del resultado del problema “[[Campo magnético producido por un segmento]]” calcule, para todos los puntos del espacio, el campo magnético creado por un hilo rectilíneo infinitamente largo situado sobre el eje OZ y por el cual circula una intensidad de corriente <math>I_0<math> en el sentido del eje OZ positivo.

[[Campo creado por un hilo infinitamente largo|Solución]]

==Campo de dos hilos paralelos==
Dos hilos paralelos se hallan situados paralelamente al eje OZ, situados sobre <math>x=\pm a</math>, <math>y=0</math>.
# Determine el valor del campo magnético en todos los puntos del plano <math>x=0</math>, y en todos los puntos del plano <math>y=0</math> en los dos casos siguientes:
## Por los hilos circulan corrientes paralelas <math>+I_0</math>.
## Por los hilos circulan corrientes antiparalelas <math>\pm I_0</math>.
# Para el caso particular <math>a=2\,\mathrm{cm}</math>, <math>I_0=0.1\,\mathrm{A}</math> , ¿cuánto vale el campo magnético en el origen de coordenadas para los dos casos anteriores?
# ¿Cuánto vale la fuerza magnética que uno de los hilos ejerce sobre una porción de longitud <math>\ell</math> del otro?

[[Campo de dos hilos paralelos|Solución]]

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

2025-05-09T16:01:33Z

Antonio: /* Campo creado por un hilo infinitamente largo */

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

2025-05-09T15:42:59Z

Antonio: /* Campo magnético producido por un segmento */

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

2025-05-09T15:42:33Z

Antonio: /* Espira girada dentro de un campo magnético */

Triángulo de resistencias

2025-05-08T18:20:30Z

Antonio: Página creada con «==Enunciado== Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura. <center>Archivo:Tres-resistencias.png</center> ==Solución== En este sistema la corriente se reparte por dos caminos en paralelo: el resistor que conecta directamente A y B y el camino formado por los dos resistores superiores que a su vez están en serie. La resistencia equivalente a los dos de arriba este <center><math>R_{12} = R_1+R_2=1…»

==Enunciado==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

==Solución==
En este sistema la corriente se reparte por dos caminos en paralelo: el resistor que conecta directamente A y B y el camino formado por los dos resistores superiores que a su vez están en serie.

La resistencia equivalente a los dos de arriba este

<center><math>R_{12} = R_1+R_2=12\,\Omega</math></center>

y esta resistencia está en paralelo con la inferior, lo que da una resistencia equivalente

<center><math>R_\mathrm{eq}=\frac{R_{12} R_3}{R_{12}+R_3}=\frac{12\cdot 6}{12+6}\,\Omega=4\,\Omega</math></center>

Densidad de corriente radial

2025-05-08T15:51:49Z

Antonio: /* Solución */

==Enunciado==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?
==Solución==
Podemos solucionar este problema de una manera general, suponiendo un radio r arbitrario y luego particularizando para los tres casos indicados.

De acuerdo con la ley de conservación de la carga, la derivada de la carga encerrada por una superficie es igual a

<center><math>\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\oint \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}</math></center>

Si aplicamos esta ley a una superficie esférica tenemos que, al ser la densidad de corriente un campo central

<center><math>\oint \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_{r=\mathrm{cte}} J(r)\vec{u}_r\cdot\left(\mathrm{d}S\vec{u}_r\right)=J(r)S=4\pi r^2 J</math></center>

y, por tanto,

<center><math>\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-4\pi r^2 J(r)=-4\pi A r^3(b-r)</math></center>

Tenemos los tres casos siguientes:

# Si <math>r < b</math> (en particular, si <math>r = b/2</math>) el segundo miembro es negativo y por tanto la carga está disminuyendo. La densidad de corriente va hacia fuera de esa esfera.
# Si <math>r=b</math> la derivada de la carga encerrada se anula. Esto quiere decir que en esa esfera la carga total permanece constante.
# Si <math>r > b</math> (en particular, si <math>r =2b</math>) el segundo miembro es positivo y por tanto la carga está aumentandoo. La densidad de corriente va hacia el interior de esa esfera.

Densidad de corriente radial

2025-05-08T15:51:29Z

Antonio: /* Solución */

==Enunciado==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?
==Solución==
Podemos solucionar este problema de una manera general, suponiendo un radio r arbitrario y luego particularizando para los tres casos indicados.

De acuerdo con la ley de conservación de la carga, la derivada de la carga encerrada por una superficie es igual a

<center><math>\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\oint \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}</math></center>

Si aplicamos esta ley a una superficie esférica tenemos que, al ser la densidad de corriente un campo central

<center><math>\oint \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_{r=\mathrm{cte}} J(r)\vec{u}_r\cdot\left(\mathrm{d}S\vec{u}_r\right)=J(r)S=4\pi r^2 J</math></center>

y, por tanto,

<center><math>\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-4\pi r^2 J(r)=-4\pi A r^3(b-r)</math></center>

Tenemos los tres casos siguientes:

# Si <math>r < b</math> (en particular, si <math>r = b/2</math>) el segundo miembro es negativo y por tanto la carga está disminuyendo. La densidad de corriente va hacia fuera de esa esfera.

# Si <math>r=b</math> la derivada de la carga encerrada se anula. Esto quiere decir que en esa esfera la carga total permanece constante.

# Si <math>r > b</math> (en particular, si <math>r =2b</math>) el segundo miembro es positivo y por tanto la carga está aumentandoo. La densidad de corriente va hacia el interior de esa esfera.

Densidad de corriente radial

2025-05-08T15:51:02Z

Antonio: Página creada con «==Enunciado== En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como <center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center> con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera. # ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de rad…»

==Enunciado==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?
==Solución==
Podemos solucionar este problema de una manera general, suponiendo un radio r arbitrario y luego particularizando para los tres casos indicados.

De acuerdo con la ley de conservación de la carga, la derivada de la carga encerrada por una superficie es igual a

<center><math>\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\oint \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}</math></center>

Si aplicamos esta ley a una superficie esférica tenemos que, al ser la densidad de corriente un campo central

<center><math>\oint \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_{r=\mathrm{cte}) J(r)\vec{u}_r\cdot\left(\mathrm{d}S\vec{u}_r\right)=J(r)S=4\pi r^2 J</math></center>

y, por tanto,

<center><math>\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-4\pi r^2 J(r)=-4\pi A r^3(b-r)</math></center>

Tenemos los tres casos siguientes:

# Si <math>r < b</math> (en particular, si <math>r = b/2</math>) el segundo miembro es negativo y por tanto la carga está disminuyendo. La densidad de corriente va hacia fuera de esa esfera.

# Si <math>r=b</math> la derivada de la carga encerrada se anula. Esto quiere decir que en esa esfera la carga total permanece constante.

# Si <math>r > b</math> (en particular, si <math>r =2b</math>) el segundo miembro es positivo y por tanto la carga está aumentandoo. La densidad de corriente va hacia el interior de esa esfera.

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

2025-05-07T07:29:36Z

Antonio: /* Espira girada dentro de un campo magnético */

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

2025-05-07T07:29:17Z

Antonio: /* Espira girada dentro de un campo magnético */

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

2025-05-07T07:29:03Z

Antonio: /* Espira girada dentro de un campo magnético */

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

2025-05-07T07:28:19Z

Antonio: /* Espira girada dentro de un campo magnético */

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

2025-05-07T06:59:23Z

Antonio:

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-03T07:59:07Z

Antonio: /* Conexión de tres bombillas */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png]]</center>

# ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

# Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

==Circuito con dos transitorios==
Se tiene el circuito de la figura, formado por un resistor, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Suponga que inicialmente el condensador está descargado
# En <math>t=0</math> se cierra el interruptor en la posición A. Determine la ecuación diferencial para la carga del condensador como función del tiempo.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga en el condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Calcule la energía almacenada en el condensador en el estado de equilibrio final y la energía total disipada en la resistencia durante el proceso de carga y el trabajo total realizado por el condensador en este proceso.
# Suponga que, una vez está el sistema en equilibrio y, sin descargar el condensador, se pasa el interruptor de la posición A a la B. Determine la nueva ecuación diferencial para la carga del condensador.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga del condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Para este proceso calcule la energía total disipada en el resistor durante el proceso de descarga.

[[Archivo:circuito-dos-transitorios.png|center]]

[[Circuito con dos transitorios|Solución]]

==EquivalenciaΔ-Y para resistores==
Como en el caso de los condensadores del problema “[[Transformaci%C3%B3n_%CE%94-Y_(delta-estrella)|Transofrmación Δ-Y (delta-estrella)]]”, existe una transformación Δ-Y (delta-estrella) para resistencias (que, de hecho, es la más usual). Se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres resistores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres resistores unidos a un nodo central sin conexión exterior.
<center>
[[Archivo:circuito-3R-delta.png|400px]]   [[Archivo:circuito-3R-estrella.png|400px]]
</center>
# Demuestre que, dadas las resistencias <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>, las valores de <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math> son
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{12}=\dfrac{P}{R_{3}}&\qquad& R_{13}=\dfrac{P}{R_{2}}&\qquad& R_{23}=\dfrac{P}{R_{1}}\\ &&&& \\
&&P=R_{1} R_{2}+R_{1} R_{3}+R_{2} R_{3}&&\end{array}</math></center>
<ol start=2>
<li>Demuestre las relaciones inversas: dadas las resistencias de la delta, <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math>, las resistencias de la estrella, <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>. vienen dadas por</li>
</ol>
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{1}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{2}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{3}=\frac{R_{13} R_{23}}{S}\\ &&&& \\
&&S=R_{12}+R_{13}+R_{23}&&\end{array}</math></center>
<ol start=3>
<li>Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las resistencias valen <math>R_{12}=100\,\Omega</math>, <math>R_{13}=400\,\Omega</math>, <math>R_{23}=500\,\Omega</math>.</li>
<li>Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual <math>R_1=30\,\Omega</math>, <math>R_2=20\,\Omega</math>,<math>R_3=12\,\Omega</math>.</li>
<li>Para los apartados (3) y (4), suponga que <math>V_1=10\,V</math>, <math>V_2=5\,V</math>, <math>V_3=0\,V</math>. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la potencia disipada por efecto Joule y compruebe que se llega al mismo resultado.</li>
</ol>

[[EquivalenciaΔ-Y para resistores|Solución]]

==Resistencia equivalente de 5 resistores==
Calcule la resistencia equivalente al sistema de 5 resistores de la figura

[[Archivo:circuito-5-resistores-eq.png|center]]

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-03T07:58:42Z

Antonio: /* Conexión de tres bombillas */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png]]</center>

* ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

* Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

==Circuito con dos transitorios==
Se tiene el circuito de la figura, formado por un resistor, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Suponga que inicialmente el condensador está descargado
# En <math>t=0</math> se cierra el interruptor en la posición A. Determine la ecuación diferencial para la carga del condensador como función del tiempo.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga en el condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Calcule la energía almacenada en el condensador en el estado de equilibrio final y la energía total disipada en la resistencia durante el proceso de carga y el trabajo total realizado por el condensador en este proceso.
# Suponga que, una vez está el sistema en equilibrio y, sin descargar el condensador, se pasa el interruptor de la posición A a la B. Determine la nueva ecuación diferencial para la carga del condensador.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga del condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Para este proceso calcule la energía total disipada en el resistor durante el proceso de descarga.

[[Archivo:circuito-dos-transitorios.png|center]]

[[Circuito con dos transitorios|Solución]]

==EquivalenciaΔ-Y para resistores==
Como en el caso de los condensadores del problema “[[Transformaci%C3%B3n_%CE%94-Y_(delta-estrella)|Transofrmación Δ-Y (delta-estrella)]]”, existe una transformación Δ-Y (delta-estrella) para resistencias (que, de hecho, es la más usual). Se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres resistores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres resistores unidos a un nodo central sin conexión exterior.
<center>
[[Archivo:circuito-3R-delta.png|400px]]   [[Archivo:circuito-3R-estrella.png|400px]]
</center>
# Demuestre que, dadas las resistencias <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>, las valores de <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math> son
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{12}=\dfrac{P}{R_{3}}&\qquad& R_{13}=\dfrac{P}{R_{2}}&\qquad& R_{23}=\dfrac{P}{R_{1}}\\ &&&& \\
&&P=R_{1} R_{2}+R_{1} R_{3}+R_{2} R_{3}&&\end{array}</math></center>
<ol start=2>
<li>Demuestre las relaciones inversas: dadas las resistencias de la delta, <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math>, las resistencias de la estrella, <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>. vienen dadas por</li>
</ol>
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{1}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{2}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{3}=\frac{R_{13} R_{23}}{S}\\ &&&& \\
&&S=R_{12}+R_{13}+R_{23}&&\end{array}</math></center>
<ol start=3>
<li>Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las resistencias valen <math>R_{12}=100\,\Omega</math>, <math>R_{13}=400\,\Omega</math>, <math>R_{23}=500\,\Omega</math>.</li>
<li>Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual <math>R_1=30\,\Omega</math>, <math>R_2=20\,\Omega</math>,<math>R_3=12\,\Omega</math>.</li>
<li>Para los apartados (3) y (4), suponga que <math>V_1=10\,V</math>, <math>V_2=5\,V</math>, <math>V_3=0\,V</math>. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la potencia disipada por efecto Joule y compruebe que se llega al mismo resultado.</li>
</ol>

[[EquivalenciaΔ-Y para resistores|Solución]]

==Resistencia equivalente de 5 resistores==
Calcule la resistencia equivalente al sistema de 5 resistores de la figura

[[Archivo:circuito-5-resistores-eq.png|center]]

Archivo:Tres-bombillas.png

2025-05-03T07:58:22Z

Antonio: Antonio subió una nueva versión de Archivo:Tres-bombillas.png

Archivo:Circuito-5-resistores-eq.png

2025-05-01T17:40:43Z

Antonio:

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-01T17:40:26Z

Antonio: /* Resistencia equivalente de 5 resistores */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png|300px]]</center>

* ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

* Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

==Circuito con dos transitorios==
Se tiene el circuito de la figura, formado por un resistor, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Suponga que inicialmente el condensador está descargado
# En <math>t=0</math> se cierra el interruptor en la posición A. Determine la ecuación diferencial para la carga del condensador como función del tiempo.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga en el condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Calcule la energía almacenada en el condensador en el estado de equilibrio final y la energía total disipada en la resistencia durante el proceso de carga y el trabajo total realizado por el condensador en este proceso.
# Suponga que, una vez está el sistema en equilibrio y, sin descargar el condensador, se pasa el interruptor de la posición A a la B. Determine la nueva ecuación diferencial para la carga del condensador.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga del condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Para este proceso calcule la energía total disipada en el resistor durante el proceso de descarga.

[[Archivo:circuito-dos-transitorios.png|center]]

[[Circuito con dos transitorios|Solución]]

==EquivalenciaΔ-Y para resistores==
Como en el caso de los condensadores del problema “[[Transformaci%C3%B3n_%CE%94-Y_(delta-estrella)|Transofrmación Δ-Y (delta-estrella)]]”, existe una transformación Δ-Y (delta-estrella) para resistencias (que, de hecho, es la más usual). Se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres resistores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres resistores unidos a un nodo central sin conexión exterior.
<center>
[[Archivo:circuito-3R-delta.png|400px]]   [[Archivo:circuito-3R-estrella.png|400px]]
</center>
# Demuestre que, dadas las resistencias <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>, las valores de <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math> son
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{12}=\dfrac{P}{R_{3}}&\qquad& R_{13}=\dfrac{P}{R_{2}}&\qquad& R_{23}=\dfrac{P}{R_{1}}\\ &&&& \\
&&P=R_{1} R_{2}+R_{1} R_{3}+R_{2} R_{3}&&\end{array}</math></center>
<ol start=2>
<li>Demuestre las relaciones inversas: dadas las resistencias de la delta, <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math>, las resistencias de la estrella, <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>. vienen dadas por</li>
</ol>
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{1}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{2}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{3}=\frac{R_{13} R_{23}}{S}\\ &&&& \\
&&S=R_{12}+R_{13}+R_{23}&&\end{array}</math></center>
<ol start=3>
<li>Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las resistencias valen <math>R_{12}=100\,\Omega</math>, <math>R_{13}=400\,\Omega</math>, <math>R_{23}=500\,\Omega</math>.</li>
<li>Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual <math>R_1=30\,\Omega</math>, <math>R_2=20\,\Omega</math>,<math>R_3=12\,\Omega</math>.</li>
<li>Para los apartados (3) y (4), suponga que <math>V_1=10\,V</math>, <math>V_2=5\,V</math>, <math>V_3=0\,V</math>. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la potencia disipada por efecto Joule y compruebe que se llega al mismo resultado.</li>
</ol>

[[EquivalenciaΔ-Y para resistores|Solución]]

==Resistencia equivalente de 5 resistores==
Calcule la resistencia equivalente al sistema de 5 resistores de la figura

[[Archivo:circuito-5-resistores-eq.png|center]]

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-01T17:40:10Z

Antonio: /* Resistencia equivalente de 5 resistores */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png|300px]]</center>

* ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

* Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

==Circuito con dos transitorios==
Se tiene el circuito de la figura, formado por un resistor, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Suponga que inicialmente el condensador está descargado
# En <math>t=0</math> se cierra el interruptor en la posición A. Determine la ecuación diferencial para la carga del condensador como función del tiempo.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga en el condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Calcule la energía almacenada en el condensador en el estado de equilibrio final y la energía total disipada en la resistencia durante el proceso de carga y el trabajo total realizado por el condensador en este proceso.
# Suponga que, una vez está el sistema en equilibrio y, sin descargar el condensador, se pasa el interruptor de la posición A a la B. Determine la nueva ecuación diferencial para la carga del condensador.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga del condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Para este proceso calcule la energía total disipada en el resistor durante el proceso de descarga.

[[Archivo:circuito-dos-transitorios.png|center]]

[[Circuito con dos transitorios|Solución]]

==EquivalenciaΔ-Y para resistores==
Como en el caso de los condensadores del problema “[[Transformaci%C3%B3n_%CE%94-Y_(delta-estrella)|Transofrmación Δ-Y (delta-estrella)]]”, existe una transformación Δ-Y (delta-estrella) para resistencias (que, de hecho, es la más usual). Se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres resistores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres resistores unidos a un nodo central sin conexión exterior.
<center>
[[Archivo:circuito-3R-delta.png|400px]]   [[Archivo:circuito-3R-estrella.png|400px]]
</center>
# Demuestre que, dadas las resistencias <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>, las valores de <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math> son
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{12}=\dfrac{P}{R_{3}}&\qquad& R_{13}=\dfrac{P}{R_{2}}&\qquad& R_{23}=\dfrac{P}{R_{1}}\\ &&&& \\
&&P=R_{1} R_{2}+R_{1} R_{3}+R_{2} R_{3}&&\end{array}</math></center>
<ol start=2>
<li>Demuestre las relaciones inversas: dadas las resistencias de la delta, <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math>, las resistencias de la estrella, <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>. vienen dadas por</li>
</ol>
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{1}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{2}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{3}=\frac{R_{13} R_{23}}{S}\\ &&&& \\
&&S=R_{12}+R_{13}+R_{23}&&\end{array}</math></center>
<ol start=3>
<li>Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las resistencias valen <math>R_{12}=100\,\Omega</math>, <math>R_{13}=400\,\Omega</math>, <math>R_{23}=500\,\Omega</math>.</li>
<li>Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual <math>R_1=30\,\Omega</math>, <math>R_2=20\,\Omega</math>,<math>R_3=12\,\Omega</math>.</li>
<li>Para los apartados (3) y (4), suponga que <math>V_1=10\,V</math>, <math>V_2=5\,V</math>, <math>V_3=0\,V</math>. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la potencia disipada por efecto Joule y compruebe que se llega al mismo resultado.</li>
</ol>

[[EquivalenciaΔ-Y para resistores|Solución]]

==Resistencia equivalente de 5 resistores==
Calcule la resistencia equivalente al sistema de 5 resistores de la figura

[[circuito-5-resistores-eq.png|center]]

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-01T17:39:53Z

Antonio: /* EquivalenciaΔ-Y para resistores */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png|300px]]</center>

* ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

* Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

==Circuito con dos transitorios==
Se tiene el circuito de la figura, formado por un resistor, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Suponga que inicialmente el condensador está descargado
# En <math>t=0</math> se cierra el interruptor en la posición A. Determine la ecuación diferencial para la carga del condensador como función del tiempo.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga en el condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Calcule la energía almacenada en el condensador en el estado de equilibrio final y la energía total disipada en la resistencia durante el proceso de carga y el trabajo total realizado por el condensador en este proceso.
# Suponga que, una vez está el sistema en equilibrio y, sin descargar el condensador, se pasa el interruptor de la posición A a la B. Determine la nueva ecuación diferencial para la carga del condensador.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga del condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Para este proceso calcule la energía total disipada en el resistor durante el proceso de descarga.

[[Archivo:circuito-dos-transitorios.png|center]]

[[Circuito con dos transitorios|Solución]]

==EquivalenciaΔ-Y para resistores==
Como en el caso de los condensadores del problema “[[Transformaci%C3%B3n_%CE%94-Y_(delta-estrella)|Transofrmación Δ-Y (delta-estrella)]]”, existe una transformación Δ-Y (delta-estrella) para resistencias (que, de hecho, es la más usual). Se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres resistores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres resistores unidos a un nodo central sin conexión exterior.
<center>
[[Archivo:circuito-3R-delta.png|400px]]   [[Archivo:circuito-3R-estrella.png|400px]]
</center>
# Demuestre que, dadas las resistencias <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>, las valores de <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math> son
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{12}=\dfrac{P}{R_{3}}&\qquad& R_{13}=\dfrac{P}{R_{2}}&\qquad& R_{23}=\dfrac{P}{R_{1}}\\ &&&& \\
&&P=R_{1} R_{2}+R_{1} R_{3}+R_{2} R_{3}&&\end{array}</math></center>
<ol start=2>
<li>Demuestre las relaciones inversas: dadas las resistencias de la delta, <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math>, las resistencias de la estrella, <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>. vienen dadas por</li>
</ol>
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{1}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{2}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{3}=\frac{R_{13} R_{23}}{S}\\ &&&& \\
&&S=R_{12}+R_{13}+R_{23}&&\end{array}</math></center>
<ol start=3>
<li>Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las resistencias valen <math>R_{12}=100\,\Omega</math>, <math>R_{13}=400\,\Omega</math>, <math>R_{23}=500\,\Omega</math>.</li>
<li>Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual <math>R_1=30\,\Omega</math>, <math>R_2=20\,\Omega</math>,<math>R_3=12\,\Omega</math>.</li>
<li>Para los apartados (3) y (4), suponga que <math>V_1=10\,V</math>, <math>V_2=5\,V</math>, <math>V_3=0\,V</math>. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la potencia disipada por efecto Joule y compruebe que se llega al mismo resultado.</li>
</ol>

[[EquivalenciaΔ-Y para resistores|Solución]]

==Resistencia equivalente de 5 resistores==
Calcule la resistencia equivalente al sistema de 5 resistores de la figura

[[circuito-5-resistores-eq.png|center]]

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-01T17:38:02Z

Antonio: /* EquivalenciaΔ-Y para resistores */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png|300px]]</center>

* ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

* Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

==Circuito con dos transitorios==
Se tiene el circuito de la figura, formado por un resistor, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Suponga que inicialmente el condensador está descargado
# En <math>t=0</math> se cierra el interruptor en la posición A. Determine la ecuación diferencial para la carga del condensador como función del tiempo.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga en el condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Calcule la energía almacenada en el condensador en el estado de equilibrio final y la energía total disipada en la resistencia durante el proceso de carga y el trabajo total realizado por el condensador en este proceso.
# Suponga que, una vez está el sistema en equilibrio y, sin descargar el condensador, se pasa el interruptor de la posición A a la B. Determine la nueva ecuación diferencial para la carga del condensador.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga del condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Para este proceso calcule la energía total disipada en el resistor durante el proceso de descarga.

[[Archivo:circuito-dos-transitorios.png|center]]

[[Circuito con dos transitorios|Solución]]

==EquivalenciaΔ-Y para resistores==
Como en el caso de los condensadores del problema “[[Transformaci%C3%B3n_%CE%94-Y_(delta-estrella)|Transofrmación Δ-Y (delta-estrella)]]”, existe una transformación Δ-Y (delta-estrella) para resistencias (que, de hecho, es la más usual). Se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres resistores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres resistores unidos a un nodo central sin conexión exterior.
<center>
[[Archivo:circuito-3R-delta.png|400px]]   [[Archivo:circuito-3R-estrella.png|400px]]
</center>
# Demuestre que, dadas las resistencias <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>, las valores de <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math> son
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{12}=\dfrac{P}{R_{3}}&\qquad& R_{13}=\dfrac{P}{R_{2}}&\qquad& R_{23}=\dfrac{P}{R_{1}}\\ &&&& \\
&&P=R_{1} R_{2}+R_{1} R_{3}+R_{2} R_{3}&&\end{array}</math></center>
<ol start=2>
<li>Demuestre las relaciones inversas: dadas las resistencias de la delta, <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math>, las resistencias de la estrella, <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>. vienen dadas por</li>
</ol>
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{1}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{2}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{3}=\frac{R_{13} R_{23}}{S}\\ &&&& \\
&&S=R_{12}+R_{13}+R_{23}&&\end{array}</math></center>
<ol start=3>
<li>Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las resistencias valen <math>R_{12}=100\,\Omega</math>, <math>R_{13}=400\,\Omega</math>, <math>R_{23}=500\,\Omega</math>.</li>
<li>Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual <math>R_1=30\,\Omega</math>, <math>R_2=20\,\Omega</math>,<math>R_3=12\,\Omega</math>.</li>
<li>Para los apartados (3) y (4), suponga que <math>V_1=10\,V</math>, <math>V_2=5\,V</math>, <math>V_3=0\,V</math>. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la potencia disipada por efecto Joule y compruebe que se llega al mismo resultado.</li>
</ol>

[[EquivalenciaΔ-Y para resistores|Solución]]

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-01T17:37:44Z

Antonio: /* EquivalenciaΔ-Y para resistores */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png|300px]]</center>

* ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

* Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

==Circuito con dos transitorios==
Se tiene el circuito de la figura, formado por un resistor, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Suponga que inicialmente el condensador está descargado
# En <math>t=0</math> se cierra el interruptor en la posición A. Determine la ecuación diferencial para la carga del condensador como función del tiempo.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga en el condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Calcule la energía almacenada en el condensador en el estado de equilibrio final y la energía total disipada en la resistencia durante el proceso de carga y el trabajo total realizado por el condensador en este proceso.
# Suponga que, una vez está el sistema en equilibrio y, sin descargar el condensador, se pasa el interruptor de la posición A a la B. Determine la nueva ecuación diferencial para la carga del condensador.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga del condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Para este proceso calcule la energía total disipada en el resistor durante el proceso de descarga.

[[Archivo:circuito-dos-transitorios.png|center]]

[[Circuito con dos transitorios|Solución]]

==EquivalenciaΔ-Y para resistores==
Como en el caso de los condensadores del problema “[[Transformaci%C3%B3n_%CE%94-Y_(delta-estrella)|Transofrmación Δ-Y (delta-estrella)]]”, existe una transformación Δ-Y (delta-estrella) para resistencias (que, de hecho, es la más usual). Se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres resistores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres resistores unidos a un nodo central sin conexión exterior.
<center>
[[Archivo:circuito-3R-delta.png|400px]] [[Archivo:circuito-3R-estrella.png|400px]]
</center>
# Demuestre que, dadas las resistencias <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>, las valores de <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math> son
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{12}=\dfrac{P}{R_{3}}&\qquad& R_{13}=\dfrac{P}{R_{2}}&\qquad& R_{23}=\dfrac{P}{R_{1}}\\ &&&& \\
&&P=R_{1} R_{2}+R_{1} R_{3}+R_{2} R_{3}&&\end{array}</math></center>
<ol start=2>
<li>Demuestre las relaciones inversas: dadas las resistencias de la delta, <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math>, las resistencias de la estrella, <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>. vienen dadas por</li>
</ol>
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{1}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{2}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{3}=\frac{R_{13} R_{23}}{S}\\ &&&& \\
&&S=R_{12}+R_{13}+R_{23}&&\end{array}</math></center>
<ol start=3>
<li>Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las resistencias valen <math>R_{12}=100\,\Omega</math>, <math>R_{13}=400\,\Omega</math>, <math>R_{23}=500\,\Omega</math>.</li>
<li>Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual <math>R_1=30\,\Omega</math>, <math>R_2=20\,\Omega</math>,<math>R_3=12\,\Omega</math>.</li>
<li>Para los apartados (3) y (4), suponga que <math>V_1=10\,V</math>, <math>V_2=5\,V</math>, <math>V_3=0\,V</math>. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la potencia disipada por efecto Joule y compruebe que se llega al mismo resultado.</li>
</ol>

[[EquivalenciaΔ-Y para resistores|Solución]]

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-01T17:37:27Z

Antonio: /* EquivalenciaΔ-Y para resistores */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png|300px]]</center>

* ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

* Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

==Circuito con dos transitorios==
Se tiene el circuito de la figura, formado por un resistor, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Suponga que inicialmente el condensador está descargado
# En <math>t=0</math> se cierra el interruptor en la posición A. Determine la ecuación diferencial para la carga del condensador como función del tiempo.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga en el condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Calcule la energía almacenada en el condensador en el estado de equilibrio final y la energía total disipada en la resistencia durante el proceso de carga y el trabajo total realizado por el condensador en este proceso.
# Suponga que, una vez está el sistema en equilibrio y, sin descargar el condensador, se pasa el interruptor de la posición A a la B. Determine la nueva ecuación diferencial para la carga del condensador.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga del condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Para este proceso calcule la energía total disipada en el resistor durante el proceso de descarga.

[[Archivo:circuito-dos-transitorios.png|center]]

[[Circuito con dos transitorios|Solución]]

==EquivalenciaΔ-Y para resistores==
Como en el caso de los condensadores del problema “[[Transformaci%C3%B3n_%CE%94-Y_(delta-estrella)|Transofrmación Δ-Y (delta-estrella)]]”, existe una transformación Δ-Y (delta-estrella) para resistencias (que, de hecho, es la más usual). Se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres resistores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres resistores unidos a un nodo central sin conexión exterior.
<center>
[[Archivo:circuito-3R-delta.png|400px]][[Archivo:circuito-3R-estrella.png|400px]]
</center>
# Demuestre que, dadas las resistencias <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>, las valores de <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math> son
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{12}=\dfrac{P}{R_{3}}&\qquad& R_{13}=\dfrac{P}{R_{2}}&\qquad& R_{23}=\dfrac{P}{R_{1}}\\ &&&& \\
&&P=R_{1} R_{2}+R_{1} R_{3}+R_{2} R_{3}&&\end{array}</math></center>
<ol start=2>
<li>Demuestre las relaciones inversas: dadas las resistencias de la delta, <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math>, las resistencias de la estrella, <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>. vienen dadas por</li>
</ol>
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{1}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{2}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{3}=\frac{R_{13} R_{23}}{S}\\ &&&& \\
&&S=R_{12}+R_{13}+R_{23}&&\end{array}</math></center>
<ol start=3>
<li>Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las resistencias valen <math>R_{12}=100\,\Omega</math>, <math>R_{13}=400\,\Omega</math>, <math>R_{23}=500\,\Omega</math>.</li>
<li>Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual <math>R_1=30\,\Omega</math>, <math>R_2=20\,\Omega</math>,<math>R_3=12\,\Omega</math>.</li>
<li>Para los apartados (3) y (4), suponga que <math>V_1=10\,V</math>, <math>V_2=5\,V</math>, <math>V_3=0\,V</math>. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la potencia disipada por efecto Joule y compruebe que se llega al mismo resultado.</li>
</ol>

[[EquivalenciaΔ-Y para resistores|Solución]]

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-01T17:36:57Z

Antonio: /* EquivalenciaΔ-Y para resistores */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png|300px]]</center>

* ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

* Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

==Circuito con dos transitorios==
Se tiene el circuito de la figura, formado por un resistor, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Suponga que inicialmente el condensador está descargado
# En <math>t=0</math> se cierra el interruptor en la posición A. Determine la ecuación diferencial para la carga del condensador como función del tiempo.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga en el condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Calcule la energía almacenada en el condensador en el estado de equilibrio final y la energía total disipada en la resistencia durante el proceso de carga y el trabajo total realizado por el condensador en este proceso.
# Suponga que, una vez está el sistema en equilibrio y, sin descargar el condensador, se pasa el interruptor de la posición A a la B. Determine la nueva ecuación diferencial para la carga del condensador.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga del condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Para este proceso calcule la energía total disipada en el resistor durante el proceso de descarga.

[[Archivo:circuito-dos-transitorios.png|center]]

[[Circuito con dos transitorios|Solución]]

==EquivalenciaΔ-Y para resistores==
Como en el caso de los condensadores del problema “[[Transformaci%C3%B3n_%CE%94-Y_(delta-estrella)|Transofrmación Δ-Y (delta-estrella)]]”, existe una transformación Δ-Y (delta-estrella) para resistencias (que, de hecho, es la más usual). Se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres resistores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres resistores unidos a un nodo central sin conexión exterior.

[[Archivo:circuito-3R-delta.png|350px]][[Archivo:circuito-3R-estrella.png|350px]]
# Demuestre que, dadas las resistencias <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>, las valores de <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math> son
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{12}=\dfrac{P}{R_{3}}&\qquad& R_{13}=\dfrac{P}{R_{2}}&\qquad& R_{23}=\dfrac{P}{R_{1}}\\ &&&& \\
&&P=R_{1} R_{2}+R_{1} R_{3}+R_{2} R_{3}&&\end{array}</math></center>
<ol start=2>
<li>Demuestre las relaciones inversas: dadas las resistencias de la delta, <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math>, las resistencias de la estrella, <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>. vienen dadas por</li>
</ol>
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{1}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{2}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{3}=\frac{R_{13} R_{23}}{S}\\ &&&& \\
&&S=R_{12}+R_{13}+R_{23}&&\end{array}</math></center>
<ol start=3>
<li>Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las resistencias valen <math>R_{12}=100\,\Omega</math>, <math>R_{13}=400\,\Omega</math>, <math>R_{23}=500\,\Omega</math>.</li>
<li>Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual <math>R_1=30\,\Omega</math>, <math>R_2=20\,\Omega</math>,<math>R_3=12\,\Omega</math>.</li>
<li>Para los apartados (3) y (4), suponga que <math>V_1=10\,V</math>, <math>V_2=5\,V</math>, <math>V_3=0\,V</math>. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la potencia disipada por efecto Joule y compruebe que se llega al mismo resultado.</li>
</ol>

[[EquivalenciaΔ-Y para resistores|Solución]]

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-01T17:36:05Z

Antonio: /* EquivalenciaΔ-Y para resistores */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png|300px]]</center>

* ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

* Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

==Circuito con dos transitorios==
Se tiene el circuito de la figura, formado por un resistor, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Suponga que inicialmente el condensador está descargado
# En <math>t=0</math> se cierra el interruptor en la posición A. Determine la ecuación diferencial para la carga del condensador como función del tiempo.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga en el condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Calcule la energía almacenada en el condensador en el estado de equilibrio final y la energía total disipada en la resistencia durante el proceso de carga y el trabajo total realizado por el condensador en este proceso.
# Suponga que, una vez está el sistema en equilibrio y, sin descargar el condensador, se pasa el interruptor de la posición A a la B. Determine la nueva ecuación diferencial para la carga del condensador.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga del condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Para este proceso calcule la energía total disipada en el resistor durante el proceso de descarga.

[[Archivo:circuito-dos-transitorios.png|center]]

[[Circuito con dos transitorios|Solución]]

==EquivalenciaΔ-Y para resistores==
Como en el caso de los condensadores del problema “[[Transformaci%C3%B3n_%CE%94-Y_(delta-estrella)|Transofrmación Δ-Y (delta-estrella)]]”, existe una transformación Δ-Y (delta-estrella) para resistencias (que, de hecho, es la más usual). Se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres resistores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres resistores unidos a un nodo central sin conexión exterior.

[[Archivo:circuito-3R-delta.png|350px|center]][[Archivo:circuito-3R-estrella.png|350px|center]]
# Demuestre que, dadas las resistencias <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>, las valores de <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math> son
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{12}=\dfrac{P}{R_{3}}&\qquad& R_{13}=\dfrac{P}{R_{2}}&\qquad& R_{23}=\dfrac{P}{R_{1}}\\ &&&& \\
&&P=R_{1} R_{2}+R_{1} R_{3}+R_{2} R_{3}&&\end{array}</math></center>
<ol start=2>
<li>Demuestre las relaciones inversas: dadas las resistencias de la delta, <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math>, las resistencias de la estrella, <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>. vienen dadas por</li>
</ol>
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{1}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{2}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{3}=\frac{R_{13} R_{23}}{S}\\ &&&& \\
&&S=R_{12}+R_{13}+R_{23}&&\end{array}</math></center>
<ol start=3>
<li>Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las resistencias valen <math>R_{12}=100\,\Omega</math>, <math>R_{13}=400\,\Omega</math>, <math>R_{23}=500\,\Omega</math>.</li>
<li>Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual <math>R_1=30\,\Omega</math>, <math>R_2=20\,\Omega</math>,<math>R_3=12\,\Omega</math>.</li>
<li>Para los apartados (3) y (4), suponga que <math>V_1=10\,V</math>, <math>V_2=5\,V</math>, <math>V_3=0\,V</math>. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la potencia disipada por efecto Joule y compruebe que se llega al mismo resultado.</li>
</ol>

[[EquivalenciaΔ-Y para resistores|Solución]]

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-01T17:34:43Z

Antonio: /* EquivalenciaΔ-Y para resistores */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png|300px]]</center>

* ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

* Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

==Circuito con dos transitorios==
Se tiene el circuito de la figura, formado por un resistor, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Suponga que inicialmente el condensador está descargado
# En <math>t=0</math> se cierra el interruptor en la posición A. Determine la ecuación diferencial para la carga del condensador como función del tiempo.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga en el condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Calcule la energía almacenada en el condensador en el estado de equilibrio final y la energía total disipada en la resistencia durante el proceso de carga y el trabajo total realizado por el condensador en este proceso.
# Suponga que, una vez está el sistema en equilibrio y, sin descargar el condensador, se pasa el interruptor de la posición A a la B. Determine la nueva ecuación diferencial para la carga del condensador.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga del condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Para este proceso calcule la energía total disipada en el resistor durante el proceso de descarga.

[[Archivo:circuito-dos-transitorios.png|center]]

[[Circuito con dos transitorios|Solución]]

==EquivalenciaΔ-Y para resistores==
Como en el caso de los condensadores del problema &Ldquo;[Transformaci%C3%B3n_%CE%94-Y_(delta-estrella)]]”, existe una transformación Δ-Y (delta-estrella) para resistencias (que, de hecho, es la más usual). Se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres resistores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres resistores unidos a un nodo central sin conexión exterior.

[[Archivo:circuito-3R-delta.png|350px|center]][[Archivo:circuito-3R-estrella.png|350px|center]]
# Demuestre que, dadas las resistencias <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>, las valores de <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math> son
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{12}=\dfrac{P}{R_{3}}&\qquad& R_{13}=\dfrac{P}{R_{2}}&\qquad& R_{23}=\dfrac{P}{R_{1}}\\ &&&& \\
&&P=R_{1} R_{2}+R_{1} R_{3}+R_{2} R_{3}&&\end{array}</math></center>
<ol start=2>
<li>Demuestre las relaciones inversas: dadas las resistencias de la delta, <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math>, las resistencias de la estrella, <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>. vienen dadas por</li>
</ol>
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{1}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{2}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{3}=\frac{R_{13} R_{23}}{S}\\ &&&& \\
&&S=R_{12}+R_{13}+R_{23}&&\end{array}</math></center>
<ol start=3>
<li>Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las resistencias valen <math>R_{12}=100\,\Omega</math>, <math>R_{13}=400\,\Omega</math>, <math>R_{23}=500\,\Omega</math>.</li>
<li>Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual <math>R_1=30\,\Omega</math>, <math>R_2=20\,\Omega</math>,<math>R_3=12\,\Omega</math>.</li>
<li>Para los apartados (3) y (4), suponga que <math>V_1=10\,V</math>, <math>V_2=5\,V</math>, <math>V_3=0\,V</math>. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la potencia disipada por efecto Joule y compruebe que se llega al mismo resultado.</li>
</ol>

[[EquivalenciaΔ-Y para resistores|Solución]]

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-01T17:33:46Z

Antonio: /* EquivalenciaΔ-Y para resistores */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png|300px]]</center>

* ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

* Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

==Circuito con dos transitorios==
Se tiene el circuito de la figura, formado por un resistor, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Suponga que inicialmente el condensador está descargado
# En <math>t=0</math> se cierra el interruptor en la posición A. Determine la ecuación diferencial para la carga del condensador como función del tiempo.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga en el condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Calcule la energía almacenada en el condensador en el estado de equilibrio final y la energía total disipada en la resistencia durante el proceso de carga y el trabajo total realizado por el condensador en este proceso.
# Suponga que, una vez está el sistema en equilibrio y, sin descargar el condensador, se pasa el interruptor de la posición A a la B. Determine la nueva ecuación diferencial para la carga del condensador.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga del condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Para este proceso calcule la energía total disipada en el resistor durante el proceso de descarga.

[[Archivo:circuito-dos-transitorios.png|center]]

[[Circuito con dos transitorios|Solución]]

==EquivalenciaΔ-Y para resistores==
Como en el caso de los condensadores del problema &Ldquo;[[http://laplace.us.es/wiki/index.php/Transformaci%C3%B3n_%CE%94-Y_(delta-estrella)]]”, existe una transformación Δ-Y (delta-estrella) para resistencias (que, de hecho, es la más usual). Se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres resistores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres resistores unidos a un nodo central sin conexión exterior.

[[Archivo:circuito-3R-delta.png|350px|center]][[Archivo:circuito-3R-estrella.png|350px|center]]
# Demuestre que, dadas las resistencias <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>, las valores de <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math> son
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{12}=\dfrac{P}{R_{3}}&\qquad& R_{13}=\dfrac{P}{R_{2}}&\qquad& R_{23}=\dfrac{P}{R_{1}}\\ &&&& \\
&&P=R_{1} R_{2}+R_{1} R_{3}+R_{2} R_{3}&&\end{array}</math></center>
<ol start=2>
<li>Demuestre las relaciones inversas: dadas las resistencias de la delta, <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math>, las resistencias de la estrella, <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>. vienen dadas por</li>
</ol>
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{1}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{2}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{3}=\frac{R_{13} R_{23}}{S}\\ &&&& \\
&&S=R_{12}+R_{13}+R_{23}&&\end{array}</math></center>
<ol start=2>
<li>Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las resistencias valen <math>R_{12}=100\,\Omega</math>, <math>R_{13}=400\,\Omega</math>, <math>R_{23}=500\,\Omega</math>.</li>
<li>Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual <math>R_1=30\,\Omega</math>, <math>R_2=20\,\Omega</math>,<math>R_3=12\,\Omega</math>.</li>
<li>Para los apartados (3) y (4), suponga que <math>V_1=10\,V</math>, <math>V_2=5\,V</math>, <math>V_3=0\,V</math>. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la potencia disipada por efecto Joule y compruebe que se llega al mismo resultado.</li>
</ol>

[[EquivalenciaΔ-Y para resistores|Solución]]

Archivo:Circuito-3R-estrella.png

2025-05-01T17:29:32Z

Antonio:

Archivo:Circuito-3R-delta.png

2025-05-01T17:29:15Z

Antonio:

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-01T17:28:31Z

Antonio: /* Equivalencia Δ-Y para resistores */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png|300px]]</center>

* ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

* Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

==Circuito con dos transitorios==
Se tiene el circuito de la figura, formado por un resistor, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Suponga que inicialmente el condensador está descargado
# En <math>t=0</math> se cierra el interruptor en la posición A. Determine la ecuación diferencial para la carga del condensador como función del tiempo.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga en el condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Calcule la energía almacenada en el condensador en el estado de equilibrio final y la energía total disipada en la resistencia durante el proceso de carga y el trabajo total realizado por el condensador en este proceso.
# Suponga que, una vez está el sistema en equilibrio y, sin descargar el condensador, se pasa el interruptor de la posición A a la B. Determine la nueva ecuación diferencial para la carga del condensador.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga del condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Para este proceso calcule la energía total disipada en el resistor durante el proceso de descarga.

[[Archivo:circuito-dos-transitorios.png|center]]

[[Circuito con dos transitorios|Solución]]

==EquivalenciaΔ-Y para resistores==
Como en el caso de los condensadores del problema &Ldquo;[[http://laplace.us.es/wiki/index.php/Transformaci%C3%B3n_%CE%94-Y_(delta-estrella)]]”, existe una transformación Δ-Y (delta-estrella) para resistencias (que, de hecho, es la más usual). Se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres resistores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres resistores unidos a un nodo central sin conexión exterior.

[[Archivo:circuito-3R-delta.png|400px|center]][[Archivo:circuito-3R-estrella.png|400px|center]]
# Demuestre que, dadas las resistencias <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>, las valores de <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math> son
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{12}=\dfrac{P}{R_{3}}&\qquad& R_{13}=\dfrac{P}{R_{2}}&\qquad& R_{23}=\dfrac{P}{R_{1}}\\ &&&& \\
&&P=R_{1} R_{2}+R_{1} R_{3}+R_{2} R_{3}&&\end{array}</math></center>
# Demuestre las relaciones inversas: dadas las resistencias de la delta, <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math>, las resistencias de la estrella, <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>. vienen dadas por
<center><math>\begin{array}{ccccc}R_{1}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{2}=\dfrac{R_{12} R_{13}}{S}&\qquad& R_{3}=\frac{R_{13} R_{23}}{S}\\ &&&& \\
&&S=R_{12}+R_{13}+R_{23}&&\end{array}</math></center>
# Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las resistencias valen <math>R_{12}=100\,\Omega</math>, <math>R_{13}=400\,\Omega</math>, <math>R_{23}=500\,\Omega</math>.
# Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual <math>R_1=30\,\Omega</math>, <math>R_2=20\,\Omega</math>,<math>R_3=12\,\Omega</math>.
# Para los apartados (3) y (4), suponga que <math>V_1=10\,V</math>, <math>V_2=5\,V</math>, <math>V_3=0\,V</math>. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la potencia disipada por efecto Joule y compruebe que se llega al mismo resultado.

[[EquivalenciaΔ-Y para resistores|Solución]]

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-01T16:54:15Z

Antonio: /* Circuito con dos transitorios */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png|300px]]</center>

* ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

* Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

==Circuito con dos transitorios==
Se tiene el circuito de la figura, formado por un resistor, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Suponga que inicialmente el condensador está descargado
# En <math>t=0</math> se cierra el interruptor en la posición A. Determine la ecuación diferencial para la carga del condensador como función del tiempo.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga en el condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Calcule la energía almacenada en el condensador en el estado de equilibrio final y la energía total disipada en la resistencia durante el proceso de carga y el trabajo total realizado por el condensador en este proceso.
# Suponga que, una vez está el sistema en equilibrio y, sin descargar el condensador, se pasa el interruptor de la posición A a la B. Determine la nueva ecuación diferencial para la carga del condensador.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga del condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Para este proceso calcule la energía total disipada en el resistor durante el proceso de descarga.

[[Archivo:circuito-dos-transitorios.png|center]]

[[Circuito con dos transitorios|Solución]]

==Equivalencia Δ-Y para resistores==

Archivo:Circuito-dos-transitorios.png

2025-05-01T16:37:19Z

Antonio:

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-01T16:36:58Z

Antonio: /* Circuito con dos transitorios */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png|300px]]</center>

* ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

* Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

==Circuito con dos transitorios==
Se tiene el circuito de la figura, formado por un resistor, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Suponga que inicialmente el condensador está descargado
# En <math>t=0</math> se cierra el interruptor en la posición A. Determine la ecuación diferencial para la carga del condensador como función del tiempo.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga en el condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Calcule la energía almacenada en el condensador en el estado de equilibrio final y la energía total disipada en la resistencia durante el proceso de carga y el trabajo total realizado por el condensador en este proceso.
# Suponga que, una vez está el sistema en equilibrio y, sin descargar el condensador, se pasa el interruptor de la posición A a la B. Determine la nueva ecuación diferencial para la carga del condensador.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga del condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Para este proceso calcule la energía total disipada en el resistor durante el proceso de descarga.

[[Archivo:circuito-dos-transitorios.png|center]]

[[Circuito con dos transitorios|Solución]]

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-01T16:35:59Z

Antonio: /* Corriente en tres hilos paralelos */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png|300px]]</center>

* ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

* Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

==Circuito con dos transitorios==
Se tiene el circuito de la figura, formado por un resistor, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Suponga que inicialmente el condensador está descargado
# En <math>t=0</math> se cierra el interruptor en la posición A. Determine la ecuación diferencial para la carga del condensador como función del tiempo.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga en el condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Calcule la energía almacenada en el condensador en el estado de equilibrio final y la energía total disipada en la resistencia durante el proceso de carga y el trabajo total realizado por el condensador en este proceso.
# Suponga que, una vez está el sistema en equilibrio y, sin descargar el condensador, se pasa el interruptor de la posición A a la B. Determine la nueva ecuación diferencial para la carga del condensador.
# Resuelva esta ecuación diferencial y halle la carga del condensador y la intensidad de corriente por el resistor como función del tiempo.
# Para este proceso calcule la energía total disipada en el resistor durante el proceso de descarga.

[[Archivo:circuito-dos-transitorios.png|center]

Archivo:Corriente-3-hilos-paralelos.png

2025-05-01T12:51:24Z

Antonio:

Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

2025-05-01T12:50:28Z

Antonio: /* Circuito formado por dos cuadrados */

==Densidad de corriente radial==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?

[[Densidad de corriente radial|Solución]]

==Cable bimetálico==
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''acero revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de acero de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

Datos: <math>\sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, <math>\sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>

[[Cable bimetálico|Solución]]

==Paso de un pulso de corriente==
Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica <math>R_1</math> circula una corriente variable en el tiempo, tal
que su valor es

<center><math>I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}</math></center>

# Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre <math>t\to -\infty</math> y <math>t\to\infty</math>.
# Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

[[Paso de un pulso de corriente|Solución]]

==Asociación de dos bombillas en serie==
Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

[[Asociación de dos bombillas en serie|Solución]]

==Conexión de tres bombillas==
Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por &otimes;) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

<center>[[Archivo:tres-bombillas.png|300px]]</center>

* ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

* Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

[[Conexión de tres bombillas|Solución]]

==Triángulo de resistencias==
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

<center>[[Archivo:Tres-resistencias.png]]</center>

[[Triángulo de resistencias|Solución]]

==Condensador con pérdidas==
En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math> entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon</math> y con una pequeña conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m <math>\mathcal{E}</math>.

# Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
# Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
# Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
# Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. <math>\mathcal{E}</math> y resistencia interna <math>r</math>, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
# Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como <math>V(t)</math>, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
# ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

<center>[[Archivo:condensador-real.png]]</center>

[[Condensador con pérdidas|Solución]]


==Sistema de 5 resistencias==
Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

# Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
## <math>R_5=1\,\mathrm{M}\Omega</math>
## <math>R_5=1\,\mathrm{m}\Omega</math>
## <math>R_5 = 25\,\Omega</math>
# Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

<center>[[Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png]]</center>

[[Sistema de 5 resistencias (GIOI)|Solución]]

==Cinco resistencias iguales==
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

<center>[[Archivo:5-resistencias.png|500px]]</center>
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''C'' se deja abierto y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' se deja abierto y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|1}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, ''B'' y ''C'' se conectan a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de 6mV y ''B'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''B'' una de −24mV y ''C'' se conecta a tierra.
# {{nivel|2}} En ''A'' se conecta una fuente de 24mV, en ''C'' una de −24mV y ''B'' se conecta a tierra.

[[Cinco resistencias iguales|Solución]]

==Circuito con dos fuentes y tres resistores==
Calcule las intensidades que circulan por cada una de los tres resistores en el circuito de dos mallas de la figura.

<center>[[Archivo:2-fuentes-3-resistores.png|500px]]</center>

[[Circuito con dos fuentes y tres resistores|Solución]]

==Circuito con cuatro resistores y un condensador==
Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistores, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,
# ¿cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
# ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada uno de los otros resistores y en el condensador?
# ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada uno de los resistores?

<center>[[Archivo:4-resistores-1-condensador.png|800px]]</center>

[[Circuito con cuatro resistores y un condensador|Solución]]

==Esfera unida a tres resistores==
Una esfera metálica de radio ''b'' está conectada a tres resistores iguales de resistencia ''R''. Uno de estos resistores está conectado por su otro extremo a una fuente de tensión <math>V_0>0</math> y los otros dos tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es <math>3V_0/4</math>. Para ese instante…
# ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen ''Q'' y <math>\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t</math>?
# ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
# ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

[[Archivo:Esfera-tres-resistores.png|800px|center]]

[[Esfera unida a tres resistores|Solución]]

==Esfera que se conecta a una fuente de tensión==
Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga <math>Q_1=10\,\mathrm{nC}</math>. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

<center>[[Archivo:esfera-fuente.png]]</center>

# Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
# Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
# ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial <math>V(t)</math> de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de <math>V(t)</math> frente al tiempo.

'''Dato:''' <math>1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}</math>

[[Esfera que se conecta a una fuente de tensión|Solución]]

==Potencia de un generador real==
{{nivel|1}} El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica <math>\dot{W}_\mathrm{out}</math> sale del generador real?

<center>[[Archivo:pila-generador-real.png|300px]]</center>

[[Potencia de un generador real|Solución]]



==Tres resistencias y un condensador==
Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

<center>[[Archivo:3R-1C.png|800px]]</center>
# ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
# ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
# ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

[[Tres resistencias y un condensador|Solución]]

==Circuito formado por dos cuadrados==
Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 1 mm² de sección transversal y de un material de conductividad <math>\sigma=10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura.
Entre las esquinas opuestas del sistema se aplica una diferencia de potencial de 1.4 V.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas que forman el sistema.
# Si se coloca un voltímetro para medir la d.d.p, entre el nodo central superior y el central inferior (con la polaridad positiva en el nodo superior), ¿cuánto marcará el voltímetro?
# Calcule la resistencia equivalente del conjunto.
# Halle la potencia eléctrica que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

[[Archivo:circuito-dos-cuadrados.png|center]]

[[Circuito formado por dos cuadrados|Solución]]

==Corriente en tres hilos paralelos==
Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0 \times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,V</math> y el “3” a tierra.
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
# Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.
# Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
## Con los dos interruptores cerrados.
## Con los dos interruptores abiertos.

[[Archivo:corriente-3-hilos-paralelos.png|800px|center]]

[[Corriente en tres hilos paralelos|Solución]]

Archivo:5-resistencias.png

2025-05-01T12:04:09Z

Antonio: Antonio subió una nueva versión de Archivo:5-resistencias.png